Самостоятельно-двойное действие Палатини

В этой статье есть несколько проблем. Помогите улучшить ее или обсудите эти проблемы на странице обсуждения . ( Узнайте, как и когда удалять эти сообщения ) В статье содержится список общих ссылок , но в ней отсутствуют соответствующие встроенные цитаты .Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, добавив более точные цитаты. ( август 2013 г. )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) Эта статья может оказаться слишком сложной для понимания большинством читателей .Пожалуйста, помогите улучшить его, чтобы сделать его понятным для неспециалистов , не удаляя технические детали. ( август 2013 г. )( Узнайте, как и когда удалить это сообщение ) ( Узнайте, как и когда удалить это сообщение )

Переменные Аштекара , которые были новым каноническим формализмом общей теории относительности , породили новые надежды на каноническое квантование общей теории относительности и в конечном итоге привели к петлевой квантовой гравитации . Смолин и другие независимо друг от друга обнаружили, что на самом деле существует лагранжева формулировка теории, рассмотрев самодуальную формулировку тетрадического принципа действия Палатини общей теории относительности. ^{[1] [2] [3]} Эти доказательства были даны в терминах спиноров. Чисто тензорное доказательство новых переменных в терминах триад было дано Голдбергом ^[4] , а в терминах тетрад — Хенно и др. ^[5]

Действие Палатини для общей теории относительности имеет в качестве независимых переменных тетраду и спиновую связь . Гораздо больше подробностей и выводов можно найти в статье тетрадическое действие Палатини . Спиновая связь определяет ковариантную производную . Метрика пространства-времени восстанавливается из тетрады по формуле Мы определяем кривизну как${\displaystyle e_{I}^{\альфа}}$ ${\displaystyle {\omega _{\alpha }}^{IJ}}$ ${\displaystyle D_{\альфа}}$${\displaystyle g_{\alpha \beta }=e_{\alpha }^{I}e_ {\beta }^{J}\eta _{IJ}.}$

${\displaystyle {\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}=\partial _{\alpha }{\omega _{\beta }}^{IJ}-\partial _{\beta }{\omega _{\alpha }}^{IJ}+\omega _{\alpha }^{IK}{\omega _{\beta K}}^{J}-\omega _{\beta }^{IK}{\omega _{\alpha K}}^{J}.}$

Скаляр Риччи этой кривизны определяется как . Действие Палатини для общей теории относительности имеет вид${\displaystyle e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}}$

${\displaystyle S=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }\;{\Omega _{\alpha \beta }}^ {ЭйДжей}[\омега ],}$

где . Вариация относительно спиновой связи подразумевает, что спиновая связь определяется условием совместимости и, следовательно, становится обычной ковариантной производной . Следовательно, связь становится функцией тетрад, а кривизна заменяется кривизной . Тогда, является фактическим скаляром Риччи . Вариация относительно тетрады дает уравнение Эйнштейна${\displaystyle e={\sqrt {-g}}}$${\displaystyle {\omega _{\alpha }}^{IJ}}$${\displaystyle D_{\alpha }e_{I}^{\beta }=0}$${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$${\displaystyle {\Omega _{\alpha \beta }}^{IJ}}$${\displaystyle {R_{\alpha \beta }}^{IJ}}$${\displaystyle \nabla _{\alpha }}$${\displaystyle e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }{R_ {\alpha \beta }}^{IJ}}$${\displaystyle R}$

${\displaystyle R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }R=0.}$

Нам понадобится то, что называется полностью антисимметричным тензором или символом Леви-Чивиты , , который равен либо +1, либо −1 в зависимости от того, является ли четной или нечетной перестановкой , соответственно, и нулю, если любые два индекса принимают одинаковое значение. Внутренние индексы повышаются с помощью метрики Минковского .${\displaystyle \varepsilon _ {IJKL}}$${\displaystyle IJKL}$${\displaystyle 0123}$${\displaystyle \varepsilon _ {IJKL}}$${\displaystyle \eta ^{IJ}}$

Теперь, учитывая любой антисимметричный тензор , мы определяем его двойственный как${\displaystyle T^{IJ}}$

${\displaystyle *T^{IJ}={1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}.}$

Самодуальная часть любого тензора определяется как${\displaystyle T^{IJ}}$

${\displaystyle {}^{+}T^{IJ}:={1 \over 2}\left(T^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)}$

с антисамодвойственной частью, определяемой как

${\displaystyle {}^{-}T^{IJ}:={1 \over 2}\left(T^{IJ}+{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)}$

(появление мнимой единицы связано с сигнатурой Минковского , как мы увидим ниже).${\displaystyle i}$

Теперь, если задан любой антисимметричный тензор , мы можем разложить его как${\displaystyle T^{IJ}}$

${\displaystyle T^{IJ}={\frac {1}{2}}\left(T^{IJ}-{\frac {i}{2}}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)+{\frac {1}{2}}\left(T^{IJ}+{\frac {i}{2}}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)={}^{+}T^{IJ}+{}^{-}T^{IJ}}$

где и являются самодвойственной и антисамодвойственной частями соответственно. Определим проектор на (анти)самодвойственную часть любого тензора как${\displaystyle {}^{+}T^{IJ}}$${\displaystyle {}^{-}T^{IJ}}$${\displaystyle T^{IJ}}$

${\displaystyle P^{(\pm )}={1 \over 2}(1\mp i*).}$

Значение этих проекторов можно сделать явным. Давайте сосредоточимся на ,${\displaystyle P^{+}}$

${\displaystyle \left(P^{+}T\right)^{IJ}=\left({1 \over 2}(1-i*)T\right)^{IJ}={1 \over 2}\left({\delta ^{I}}_{K}{\delta ^{J}}_{L}-i{1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}\right)T^{KL}={1 \over 2}\left(T^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)={}^{+}T^{IJ}.}$

Затем

${\displaystyle {}^{\pm }T^{IJ}=\left(P^{(\pm )}T\right)^{IJ}.}$

Важным объектом является скобка Ли, определяемая формулой

${\displaystyle [F,G]^{IJ}:=F^{IK}{G_{K}}^{J}-G^{IK}{F_{K}}^{J},}$

он появляется в тензоре кривизны (см. последние два члена уравнения 1), он также определяет алгебраическую структуру. Имеем результаты (доказанные ниже):

${\displaystyle P^{(\pm )}[F,G]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,G\right]^{IJ}=\left[F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}\qquad Eq.2}$

и

${\displaystyle [F,G]=\left[P^{+}F,P^{+}G\right]+\left[P^{-}F,P^{-}G\right].}$

То есть скобка Ли, которая определяет алгебру, распадается на две отдельные независимые части. Запишем

${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }={\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }^{+}+{\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }^{-}}$

где содержит только самодвойственные (антисамодвойственные) элементы${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }^{\pm }}$${\displaystyle {\mathfrak {so}}(1,3)_{\mathbb {C} }.}$

Мы определяем самодвойственную часть, , соединения как${\displaystyle {A_{\alpha }}^{IJ}}$${\displaystyle {\omega _{\alpha }}^{IJ}}$

${\displaystyle {A_{\alpha }}^{IJ}={1 \over 2}\left({\omega _{\alpha }}^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}{\omega _{\alpha }}^{KL}\right),}$

что можно записать более компактно

${\displaystyle {A_{\alpha }}^{IJ}=\left(P^{+}\omega _{\alpha }\right)^{IJ}.}$

Определить как кривизну самодвойственной связности${\displaystyle {F_{\alpha \beta }}^{IJ}}$

${\displaystyle {F_{\alpha \beta }}^{IJ}=\partial _{\alpha }{A_{\beta }}^{IJ}-\partial _{\beta }{A_{\alpha }}^{IJ}+{A_{\alpha }}^{IK}{A_{\beta K}}^{J}-{A_{\beta }}^{IK}{A_{\alpha K}}^{J}.}$

Используя уравнение 2, легко увидеть, что кривизна самодвойственной связи является самодвойственной частью кривизны связи,

${\displaystyle {\begin{aligned}{F_{\alpha \beta }}^{IJ}&=\partial _{\alpha }\left(P^{+}\omega _{\beta }\right)^{IJ}-\partial _{\beta }\left(P^{+}\omega _{\alpha }\right)^{IJ}+\left[P^{+}\omega _{\alpha },P^{+}\omega _{\beta }\right]^{IJ}\\&=\left(P^{+}2\partial _{[\alpha }\omega _{\beta ]}\right)^{IJ}+\left(P^{+}[\omega _{\alpha },\omega _{\beta }]\right)^{IJ}\\&=\left(P^{+}\Omega _{\alpha \beta }\right)^{IJ}\end{aligned}}}$

Самодвойственное действие - это

${\displaystyle S=\int d^{4}x\;e\;e_{I}^{\alpha }e_{J}^{\beta }\;{F_{\alpha \beta }}^{IJ}.}$

Поскольку связь сложная, мы имеем дело с комплексной общей теорией относительности, и для восстановления реальной теории должны быть заданы соответствующие условия. Можно повторить те же вычисления, что и для действия Палатини, но теперь относительно самодуальной связи . Изменяя поле тетрады, получаем самодуальный аналог уравнения Эйнштейна:${\displaystyle {A_{\alpha }}^{IJ}}$

${\displaystyle {}^{+}R_{\alpha \beta }-{1 \over 2}g_{\alpha \beta }{}^{+}R=0.}$

То, что кривизна самодвойственной связи является самодвойственной частью кривизны связи, помогает упростить формализм 3+1 (подробности разложения в формализм 3+1 будут приведены ниже). Полученный гамильтонов формализм напоминает формализм калибровочной теории Янга -Миллса (этого не происходит с формализмом Палатини 3+1, который в основном сворачивается до обычного формализма ADM).

Результаты вычислений, выполненных здесь, можно найти в главе 3 заметок Переменные Аштекара в классической теории относительности. ^[6] Метод доказательства следует методу, приведенному в разделе II Гамильтониана Аштекара для общей теории относительности . ^[7] Нам необходимо установить некоторые результаты для (анти)самодуальных лоренцевых тензоров.

Так как имеет сигнатуру , то следует, что${\displaystyle \eta _{IJ}}$${\displaystyle (-,+,+,+)}$

${\displaystyle \varepsilon ^{IJKL}=-\varepsilon _{IJKL}.}$

чтобы увидеть это рассмотреть,

${\displaystyle \varepsilon ^{0123}=\eta ^{0I}\eta ^{1J}\eta ^{2K}\eta ^{3L}\varepsilon _{IJKL}=(-1)(1)(1)(1)\varepsilon _{0123}=-\varepsilon _{0123}.}$

Используя это определение, можно получить следующие тождества:

${\displaystyle {\begin{aligned}\varepsilon ^{IJKO}\varepsilon _{LMNO}&=-6\delta _{[L}^{I}\delta _{M}^{J}\delta _{N]}^{K}&&{\text{Eq. 3}}\\\varepsilon ^{IJMN}\varepsilon _{KLMN}&=-4\delta _{[K}^{I}\delta _{L]}^{J}=-2\left(\delta _{K}^{I}\delta _{L}^{J}-\delta _{L}^{I}\delta _{K}^{J}\right)&&{\text{Eq. 4}}\end{aligned}}}$

(квадратные скобки обозначают антисимметризацию по индексам).

Из уравнения 4 следует, что квадрат оператора двойственности равен минус единица,

${\displaystyle **T^{IJ}={1 \over 4}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}{\varepsilon _{MN}}^{KL}T^{MN}=-T^{IJ}}$

Знак минус здесь обусловлен знаком минус в уравнении 4, который в свою очередь обусловлен сигнатурой Минковского. Если бы мы использовали евклидову сигнатуру, т.е. , вместо этого был бы положительный знак. Мы определяем быть самодвойственным тогда и только тогда, когда${\displaystyle (+,+,+,+)}$${\displaystyle S^{IJ}}$

${\displaystyle *S^{IJ}=iS^{IJ}.}$

(с евклидовой сигнатурой условие самодвойственности было бы ). Скажем , самодвойственно, запишите его как действительную и мнимую часть,${\displaystyle *S^{IJ}=S^{IJ}}$${\displaystyle S^{IJ}}$

${\displaystyle S^{IJ}={1 \over 2}T^{IJ}+{\frac {i}{2}}U^{IJ}.}$

Запишите самодвойственное условие в терминах и ,${\displaystyle U}$${\displaystyle V}$

${\displaystyle *\left(T^{IJ}+iU^{IJ}\right)={1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}\left(T^{KL}+iU^{KL}\right)=i\left(T^{IJ}+iU^{IJ}\right).}$

Приравнивая действительные части, мы считываем

${\displaystyle U^{IJ}=-{1 \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}}$

и так

${\displaystyle S^{IJ}={1 \over 2}\left(T^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon _{KL}}^{IJ}T^{KL}\right)}$

где действительная часть .${\displaystyle T^{IJ}}$${\displaystyle 2S^{IJ}}$

Доказательство уравнения 2 простое. Начнем с вывода начального результата. Все остальные важные формулы легко следуют из него. Из определения скобки Ли и с использованием основного тождества уравнения 3 имеем

${\displaystyle {\begin{aligned}*[F,*G]^{IJ}&={\frac {1}{2}}{\varepsilon _{MN}}^{IJ}\left(F^{MK}{(*G)_{K}}^{N}-(*G)^{MK}{F_{K}}^{N}\right)\\&={\frac {1}{2}}{\varepsilon _{MN}}^{IJ}\left(F^{MK}{\frac {1}{2}}{\varepsilon _{OPK}}^{N}G^{OP}-{\frac {1}{2}}{\varepsilon _{OP}}^{MK}G^{OP}{F_{K}}^{N}\right)\\&={1 \over 4}\left({\varepsilon _{MN}}^{IJ}{\varepsilon _{OP}}^{KN}+{\varepsilon _{NM}}^{IJ}{\varepsilon _{OP}}^{NK}\right){F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={1 \over 2}{\varepsilon _{MN}}^{IJ}{\varepsilon _{OP}}^{KN}{F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={1 \over 2}\varepsilon ^{MIJN}\varepsilon _{OPKN}{F_{M}}^{K}G^{OP}\\&=-{\frac {1}{2}}\varepsilon ^{KIJN}\varepsilon _{OPMN}{F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={\frac {1}{2}}\left(\delta _{O}^{K}\delta _{P}^{I}\delta _{M}^{J}+\delta _{M}^{K}\delta _{O}^{I}\delta _{P}^{J}+\delta _{P}^{K}\delta _{M}^{I}\delta _{O}^{J}-\delta _{P}^{K}\delta _{O}^{I}\delta _{M}^{J}-\delta _{M}^{K}\delta _{P}^{I}\delta _{O}^{J}-\delta _{O}^{K}\delta _{M}^{I}\delta _{P}^{J}\right){F^{M}}_{K}G^{OP}\\&={\frac {1}{2}}\left({F^{J}}_{K}G^{KI}+{F^{K}}_{K}G^{IJ}+{F^{I}}_{K}G^{JK}-{F^{J}}_{K}G^{IK}-{F^{K}}_{K}G^{JI}-{F^{I}}_{K}G^{KJ}\right)\\&=-F^{IK}{G_{K}}^{J}+G^{IK}{F_{K}}^{J}\\&=-[F,G]^{IJ}\end{aligned}}}$

Это дает формулу

${\displaystyle *[F,*G]^{IJ}=-[F,G]^{IJ}\qquad Eq.5.}$

Теперь, используя уравнение 5 в сочетании с , получаем${\displaystyle **=-1}$

${\displaystyle *(-[F,G]^{IJ})=*(*[F,*G]^{IJ})=**[F,*G]^{IJ}=-[F,*G]^{IJ}.}$

Итак, у нас есть

${\displaystyle *[F,G]^{IJ}=[F,*G]^{IJ}\qquad Eq.6.}$

Учитывать

${\displaystyle *[F,G]^{IJ}=-*[G,F]^{IJ}=-[G,*F]^{IJ}=[*F,G]^{IJ}.}$

где на первом шаге мы использовали антисимметрию скобки Ли, чтобы поменять местами и , на втором шаге мы использовали и на последнем шаге мы снова использовали антисимметрию скобки Ли. Итак, у нас есть${\displaystyle F}$${\displaystyle G}$${\displaystyle Eq.6}$

${\displaystyle *[F,G]^{IJ}=[*F,G]^{IJ}\qquad Eq.7.}$

Затем

${\displaystyle {\begin{aligned}\left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}&={1 \over 2}\left([F,G]^{IJ}\mp i*[F,G]^{IJ}\right)\\&={1 \over 2}\left([F,G]^{IJ}+[F,\mp i*G]^{IJ}\right)\\&=\left[F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}&&{\text{Eq. 8}}\end{aligned}}}$

где мы использовали уравнение 6, переходя от первой строки ко второй. Аналогично у нас есть

${\displaystyle \left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}=[P^{(\pm )}F,G]^{IJ}\qquad Eq.9}$

используя уравнение 7. Теперь, поскольку это проекция , она удовлетворяет , что можно легко проверить прямым вычислением:${\displaystyle P^{(\pm )}}$${\displaystyle (P^{(\pm )})^{2}=P^{(\pm )}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{}(P^{(\pm )})^{2}&={1 \over 4}(1\mp i*)(1\mp i*)\\{}&={1 \over 4}(1-**\mp 2i*)\\{}&={1 \over 4}(2\mp 2i*)\\{}&=P^{(\pm )}\end{aligned}}}$

Применяя это в сочетании с уравнением 8 и уравнением 9, получаем

${\displaystyle {\begin{aligned}{}\left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}&=\left((P^{(\pm )})^{2}[F,G]\right)^{IJ}\\&=\left(P^{(\pm )}[F,P^{(\pm )}G]\right)^{IJ}\\{}&=[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G]^{IJ}\qquad Eq.10.\end{aligned}}}$

Из ур. 10 и ур. 9 имеем

${\displaystyle \left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G+P^{(\mp )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}+\left[P^{(\pm )}F,P^{(\mp )}G\right]^{IJ}}$

где мы использовали, что любой может быть записан как сумма его самодвойственной и антисамодвойственной частей, т.е. Это подразумевает:${\displaystyle G}$${\displaystyle G=P^{(\pm )}G+P^{(\mp )}G}$

${\displaystyle {\begin{aligned}{}\left[P^{+}F,P^{-}G\right]^{IJ}&=0\\{}\left[P^{-}F,P^{+}G\right]^{IJ}&=0\end{aligned}}}$

В целом у нас есть,

${\displaystyle \left(P^{(\pm )}[F,G]\right)^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,G\right]^{IJ}=\left[F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}=\left[P^{(\pm )}F,P^{(\pm )}G\right]^{IJ}}$

что является нашим главным результатом, уже изложенным выше в ур. 2. Мы также имеем, что любая скобка распадается как

${\displaystyle [F,G]^{IJ}=\left[P^{+}F+P^{-}F,P^{+}G+P^{-}F\right]^{IJ}=\left[P^{+}F,P^{+}G\right]^{IJ}+\left[P^{-}F,P^{-}G\right]^{IJ}.}$

на часть, которая зависит только от самодвойственных тензоров Лоренца и сама является самодвойственной частью , и часть, которая зависит только от антисамодвойственных тензоров Лоренца и сама является антисамодвойственной частью${\displaystyle [F,G]^{IJ},}$${\displaystyle [F,G]^{IJ}.}$

Приведенное здесь доказательство следует доказательству, данному в лекциях Хорхе Пуллина ^[8].

Действие Палатини

${\displaystyle S(e,\omega )=\int d^{4}xee_{I}^{a}e_{J}^{b}{\Omega _{ab}}^{IJ}[\omega ]\qquad Eq.11}$

где тензор Риччи, , рассматривается как построенный исключительно из связи , не используя поле фрейма. Вариация относительно тетрады дает уравнения Эйнштейна, записанные в терминах тетрад, но для тензора Риччи, построенного из связи, которая не имеет априорной связи с тетрадой. Вариация относительно связи говорит нам, что связь удовлетворяет обычному условию совместимости${\displaystyle {\Omega _{ab}}^{IJ}}$${\displaystyle \omega _{a}^{IJ}}$

${\displaystyle D_{b}e_{a}^{I}=0.}$

Это определяет связь в терминах тетрады, и мы восстанавливаем обычный тензор Риччи.

Самодуальное действие для общей теории относительности приведено выше.

${\displaystyle S(e,A)=\int d^{4}xee_{I}^{a}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}[A]}$

где - кривизна , самодвойственная часть ,${\displaystyle F}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \omega }$

${\displaystyle A_{a}^{IJ}={1 \over 2}\left(\omega _{a}^{IJ}-{i \over 2}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}\omega _{a}^{MN}\right).}$

Было показано, что это самодвойственная часть${\displaystyle F[A]}$${\displaystyle \Omega [\omega ].}$

Пусть будет проектором на трехмерную поверхность и определим векторные поля${\displaystyle q_{b}^{a}=\delta _{b}^{a}+n^{a}n_{b}}$

${\displaystyle E_{I}^{a}=q_{b}^{a}e_{I}^{b},}$

которые ортогональны .${\displaystyle n^{a}}$

Письмо

${\displaystyle E_{I}^{a}=\left(\delta _{b}^{a}+n_{b}n^{a}\right)e_{I}^{b}}$

тогда мы можем написать

${\displaystyle {\begin{aligned}\int &d^{4}x\left(eE_{I}^{a}E_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}-2eE_{I}^{a}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)=\\&=\int d^{4}x\left(e\left(\delta _{c}^{a}+n_{c}n^{a}\right)e_{I}^{c}\left(\delta _{d}^{b}+n_{d}n^{b}\right)e_{J}^{d}{F_{ab}}^{IJ}-2e\left(\delta _{c}^{a}+n_{c}n^{a}\right)e_{I}^{c}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)\\&=\int d^{4}x\left(ee_{I}^{a}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}+en_{c}n^{a}e_{I}^{c}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}+ee_{I}^{a}n_{d}n^{b}e_{J}^{d}{F_{ab}}^{IJ}+en_{c}n^{a}n_{d}n^{b}E_{I}^{c}E_{J}^{d}{F_{ab}}^{IJ}-2ee_{I}^{a}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}-2n_{c}n^{a}e_{I}^{c}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)\\&=\int d^{4}xee_{I}^{a}e_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}\\&=S(E,A)\end{aligned}}}$

где мы использовали и .${\displaystyle {F_{ab}}^{IJ}={F_{ba}}^{JI}}$${\displaystyle n^{a}n^{b}F_{ab}^{i}=0}$

Итак, действие можно записать

${\displaystyle S(E,A)=\int d^{4}x\left(eE_{I}^{a}E_{J}^{b}{F_{ab}}^{IJ}-2eE_{I}^{a}e_{J}^{d}n_{d}n^{b}{F_{ab}}^{IJ}\right)\qquad Eq.12}$

У нас есть . Теперь мы определяем${\displaystyle e=N{\sqrt {q}}}$

${\displaystyle {\tilde {E}}_{I}^{a}={\sqrt {q}}E_{I}^{a}}$

Внутренний тензор самодвойственен тогда и только тогда, когда${\displaystyle S^{IJ}}$

${\displaystyle *S^{IJ}:={1 \over 2}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}S^{MN}=iS^{IJ}}$

и учитывая, что кривизна самодвойственна, мы имеем${\displaystyle {F_{ab}}^{IJ}}$

${\displaystyle {F_{ab}}^{IJ}=-i{1 \over 2}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}{F_{ab}}^{MN}}$

Подставляя это в действие (Уравнение 12), имеем:

${\displaystyle S(E,A)=\int d^{4}x\left(-i{\frac {1}{2}}\left({\frac {N}{\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}{\varepsilon ^{IJ}}_{MN}{F_{ab}}^{MN}-2Nn^{b}{\tilde {E}}_{I}^{a}n_{J}{F_{ab}}^{IJ}\right)}$

где мы обозначили . Выбираем калибр и (это означает ). Пишем , что в этом калибре . Следовательно,${\displaystyle n_{J}=e_{J}^{d}n_{d}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{0}^{a}=0}$${\displaystyle n^{I}=\delta _{0}^{I}}$${\displaystyle n_{I}=\eta _{IJ}n^{J}=\eta _{00}\delta _{0}^{I}=-\delta _{0}^{I}}$${\displaystyle \varepsilon _{IJKL}n^{L}=\varepsilon _{IJK}}$${\displaystyle \varepsilon _{IJK0}=\varepsilon _{IJK}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}S(E,A)&=\int d^{4}x\left(-i{1 \over 2}\left({N \over {\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}\left({\varepsilon ^{IJ}}_{M0}{F_{ab}}^{M0}+{\varepsilon ^{IJ}}_{0M}{F_{ab}}^{0M}\right)-2Nn^{b}{\tilde {E}}_{I}^{a}n_{J}{F_{ab}}^{IJ}\right)\\&=\int d^{4}x\left(-i\left({N \over {\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}{\varepsilon ^{IJ}}_{M}{F_{ab}}^{M0}+2Nn^{b}{\tilde {E}}_{I}^{a}{F_{ab}}^{I0}\right)\end{aligned}}}$

Индексы варьируются и мы обозначаем их строчными буквами в данный момент. По самодвойственности ,${\displaystyle I,J,M}$${\displaystyle 1,2,3}$${\displaystyle A_{a}^{IJ}}$

${\displaystyle A_{a}^{i0}=-i{1 \over 2}{\varepsilon ^{i0}}_{jk}A_{a}^{jk}=i{1 \over 2}{\varepsilon ^{i}}_{jk}A_{a}^{jk}=iA_{a}^{i}.}$

где мы использовали

${\displaystyle {\varepsilon ^{i0}}_{jk}=-{\varepsilon ^{i}}_{0jk}=-{\varepsilon ^{i}}_{jk0}=-{\varepsilon ^{i}}_{jk}.}$

Это подразумевает

${\displaystyle {\begin{aligned}{F_{ab}}^{i0}&=\partial _{a}A_{b}^{i0}-\partial _{b}A_{a}^{i0}+A_{a}^{ik}{A_{bk}}^{0}-A_{b}^{ik}{A_{ak}}^{0}\\&=i\left(\partial _{a}A_{b}^{i}-\partial _{b}A_{a}^{i}+A_{a}^{ik}A_{bk}-A_{b}^{ik}A_{ak}\right)\\&=i\left(\partial _{a}A_{b}^{i}-\partial _{b}A_{a}^{i}+\varepsilon _{ijk}A_{a}^{j}A_{b}^{k}\right)\\&=iF_{ab}^{i}\end{aligned}}}$

Заменяем во втором члене в действии на . Нам нужно${\displaystyle Nn^{b}}$${\displaystyle t^{b}-n^{b}}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}=t^{a}\partial _{a}A_{b}^{i}+A_{a}^{i}\partial _{b}t^{a}}$

и

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)=\partial _{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}\left(t^{a}A_{a}^{k}\right)}$

чтобы получить

${\displaystyle {\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}-{\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)=t^{a}\left(\partial _{a}A_{b}^{i}-\partial _{b}A_{a}^{i}+\varepsilon _{ijk}A_{a}^{j}A_{b}^{k}\right)=t^{a}F_{ab}^{i}.}$

Действие становится

${\displaystyle {\begin{aligned}S&=\int d^{4}x\left(-i\left({N \over {\sqrt {q}}}\right){\tilde {E}}_{I}^{a}{\tilde {E}}_{J}^{b}{\varepsilon ^{IJ}}_{M}{F_{ab}}^{M0}-2\left(t^{a}-N^{a}\right){\tilde {E}}_{I}^{b}{F_{ab}}^{I0}\right)\\&=\int d^{4}x\left(-2i{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}+2i{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)+2iN^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b}F_{ab}^{i}-\left({N \over {\sqrt {q}}}\right)\varepsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}\right)\end{aligned}}}$

где мы поменяли местами фиктивные переменные и во втором члене первой строки. Интегрируя по частям во втором члене,${\displaystyle a}$${\displaystyle b}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\int d^{4}x{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {D}}_{b}\left(t^{a}A_{a}^{i}\right)&=\int dtd^{3}x{\tilde {E}}_{i}^{b}\left(\partial _{b}(t^{a}A_{a}^{i})+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}(t^{a}A_{a}^{k})\right)\\&=-\int dtd^{3}xt^{a}A_{a}^{i}\left(\partial _{b}{\tilde {E}}_{i}^{b}+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}{\tilde {E}}_{k}^{b}\right)\\&=-\int d^{4}xt^{a}A_{a}^{i}{\mathcal {D}}_{b}{\tilde {E}}_{i}^{b}\end{aligned}}}$

где мы отбросили граничный член и где мы использовали формулу для ковариантной производной по векторной плотности :${\displaystyle {\tilde {V}}_{i}^{b}}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{b}{\tilde {V}}_{i}^{b}=\partial _{b}{\tilde {V}}_{i}^{b}+\varepsilon _{ijk}A_{b}^{j}{\tilde {V}}_{k}^{b}.}$

Окончательная форма требуемого нам действия:

${\displaystyle S=\int d^{4}x\left(-2i{\tilde {E}}_{i}^{b}{\mathcal {L}}_{t}A_{b}^{i}-2i\left(t^{a}A_{a}^{i}\right){\mathcal {D}}_{b}{\tilde {E}}_{i}^{b}+2iN^{a}{\tilde {E}}_{i}^{b}F_{ab}^{i}+\left({N \over {\sqrt {q}}}\right)\varepsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}\right)}$

Существует член вида " ", поэтому величина является сопряженным импульсом к . Следовательно, мы можем сразу записать${\displaystyle p{\dot {q}}}$${\displaystyle {\tilde {E}}_{i}^{a}}$${\displaystyle A_{a}^{i}}$

${\displaystyle \left\{A_{a}^{i}(x),{\tilde {E}}_{j}^{b}(y)\right\}={i \over 2}\delta _{a}^{b}\delta _{j}^{i}\delta ^{3}(x,y).}$

Изменение действия по отношению к нединамическим величинам , то есть временной компоненте четырехсвязности, функции сдвига и функции промаха, дает ограничения${\displaystyle (t^{a}A_{a}^{i})}$${\displaystyle N^{b}}$${\displaystyle N}$

${\displaystyle {\mathcal {D}}_{a}{\tilde {E}}_{i}^{a}=0,}$

${\displaystyle F_{ab}^{i}{\tilde {E}}_{i}^{b}=0,}$

${\displaystyle \varepsilon _{ijk}{\tilde {E}}_{i}^{a}{\tilde {E}}_{j}^{b}F_{ab}^{k}=0\qquad Eq.13.}$

Изменение по отношению к фактически дает последнее ограничение в уравнении 13, деленное на , оно было перемасштабировано, чтобы сделать ограничение полиномом по фундаментальным переменным. Связь можно записать${\displaystyle N}$${\displaystyle {\sqrt {q}}}$${\displaystyle A_{a}^{i}}$

${\displaystyle A_{a}^{i}={1 \over 2}{\varepsilon ^{i}}_{jk}A_{a}^{jk}={1 \over 2}{\varepsilon ^{i}}_{jk}\left(\omega _{a}^{jk}-i{1 \over 2}\left({\varepsilon ^{jk}}_{m0}\omega _{a}^{m0}+{\varepsilon ^{jk}}_{0m}\omega _{a}^{0m}\right)\right)=\Gamma _{a}^{i}-i\omega _{a}^{0i}}$

и

${\displaystyle E_{ci}\omega _{a}^{0i}=-q_{a}^{b}E_{ci}\omega _{b}^{i0}=-q_{a}^{b}E_{ci}e^{di}\nabla _{b}e_{d}^{0}=q_{a}^{b}q_{c}^{d}\nabla _{b}n_{d}=K_{ac}}$

где мы использовали

${\displaystyle e_{d}^{0}=\eta ^{0I}g_{dc}e_{I}^{c}=-g_{dc}e_{0}^{c}=-n_{d},}$