Обычный оператор

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Неподтвержденные материалы могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  «Обычный оператор» – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( июнь 2011 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике , особенно в функциональном анализе , нормальный оператор в комплексном гильбертовом пространстве H — это непрерывный линейный оператор N  : H → H , который коммутирует со своим эрмитовым сопряженным оператором N* , то есть: NN* = N*N . ^[1]

Нормальные операторы важны, поскольку для них справедлива спектральная теорема . Класс нормальных операторов хорошо изучен. Примерами нормальных операторов являются

• унитарные операторы : N* = N ⁻¹
• Эрмитовы операторы (т.е. самосопряженные операторы): N* = N
• косоэрмитовы операторы: N* = − N
• положительные операторы : N = MM* для некоторого M (поэтому N является самосопряженным).

Нормальная матрица — это матричное выражение нормального оператора в гильбертовом пространстве C ⁿ .

Нормальные операторы характеризуются спектральной теоремой . Компактный нормальный оператор (в частности, нормальный оператор на конечномерном пространстве скалярного произведения ) унитарно диагонализуем. ^[2]

Пусть — ограниченный оператор. Следующие операторы эквивалентны.${\displaystyle Т}$

• ${\displaystyle Т}$это нормально.
• ${\displaystyle Т^{\звезда}}$это нормально.
• ${\displaystyle \|Tx\|=\|T^{*}x\|}$для всех (использование ).${\displaystyle x}$${\displaystyle \|Tx\|^{2}=\langle T^{*}Tx,x\rangle =\langle TT^{*}x,x\rangle =\|T^{*}x\|^ {2}}$
• Самосопряженная и антисамосопряженная части коммутируют. То есть, если записывается как с и тогда ^{[примечание 1]}${\displaystyle Т}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle T=T_{1}+iT_{2}}$${\displaystyle T_{1}:={\frac {T+T^{*}}{2}}}$${\displaystyle i\,T_{2}:={\frac {TT^{*}}{2}},}$${\displaystyle T_{1}T_{2}=T_{2}T_{1}.}$

Если — нормальный оператор, то и имеют одно и то же ядро ​​и один и тот же диапазон. Следовательно, диапазон плотен тогда и только тогда, когда инъективен. ^{[ необходимо разъяснение ]} Другими словами, ядро ​​нормального оператора является ортогональным дополнением его диапазона. Отсюда следует, что ядро ​​оператора совпадает с ядром для любого Каждое обобщенное собственное значение нормального оператора является, таким образом, подлинным. является собственным значением нормального оператора тогда и только тогда, когда его комплексно сопряженный является собственным значением Собственные векторы нормального оператора, соответствующие различным собственным значениям, ортогональны, и нормальный оператор стабилизирует ортогональное дополнение каждого из своих собственных пространств. ^[3] Это влечет обычную спектральную теорему: каждый нормальный оператор в конечномерном пространстве диагонализуем унитарным оператором. Существует также бесконечномерная версия спектральной теоремы, выраженная в терминах проекционнозначных мер . Остаточный спектр нормального оператора пуст. ^[3]${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N^{*}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N^{k}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle к.}$${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle N}$${\displaystyle {\overline {\лямбда}}}$${\displaystyle N^{*}.}$

Произведение нормальных операторов, которые коммутируют, снова является нормальным; это нетривиально, но напрямую следует из теоремы Фугледе , которая утверждает (в форме, обобщенной Патнэмом):

Если и — нормальные операторы, а если — ограниченный линейный оператор, такой что , то .${\displaystyle N_{1}}$${\displaystyle N_{2}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle N_{1}A=AN_{2},}$${\displaystyle N_{1}^{*}A=AN_{2}^{*}}$

Норма нормального оператора равна его числовому радиусу ^{[ требуется пояснение ]} и спектральному радиусу .

Нормальный оператор совпадает со своим преобразованием Алютге .

Если нормальный оператор T в конечномерном действительном ^{[ требуется пояснение ]} или комплексном гильбертовом пространстве (пространстве внутреннего произведения) H стабилизирует подпространство V , то он также стабилизирует его ортогональное дополнение V ^⊥ . (Это утверждение тривиально в случае, когда T является самосопряженным.)

Доказательство. Пусть P _V — ортогональная проекция на V . Тогда ортогональная проекция на V ^⊥ равна 1 _H − P _V . Тот факт, что T стабилизирует V , можно выразить как ( 1 _H − P _V ) TP _V = 0, или TP _V = P _V TP _V . Цель — показать, что P _V T ( 1 _H − P _V ) = 0.

Пусть X = P _V T ( 1 _H − P _V ). Поскольку ( A , B ) ↦ tr( AB* ) является скалярным произведением на пространстве эндоморфизмов H , достаточно показать, что tr( XX* ) = 0. Сначала заметим, что

${\displaystyle {\begin{aligned}XX^{*}&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})^{2}T^{*}P_{V}\\&=P_{V}T({\boldsymbol {1}}_{H}-P_{V})T^{*}P_{V}\\&=P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}.\end{aligned}}}$

Теперь, используя свойства следа и ортогональных проекций, имеем:

${\displaystyle {\begin{aligned}\operatorname {tr} (XX^{*})&=\operatorname {tr} \left(P_{V}TT^{*}P_{V}-P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V}\right)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*}P_{V})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*}P_{V})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}^{2}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}TP_{V}T^{*})\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (TP_{V}T^{*})&&{\text{using the hypothesis that }}T{\text{ stabilizes }}V\\&=\operatorname {tr} (P_{V}TT^{*})-\operatorname {tr} (P_{V}T^{*}T)\\&=\operatorname {tr} (P_{V}(TT^{*}-T^{*}T))\\&=0.\end{aligned}}}$

Тот же аргумент применим к компактным нормальным операторам в бесконечномерных гильбертовых пространствах, где используется скалярное произведение Гильберта-Шмидта , определяемое как tr( AB* ), интерпретированное соответствующим образом. ^[4] Однако для ограниченных нормальных операторов ортогональное дополнение к устойчивому подпространству может быть неустойчивым. ^[5] Из этого следует, что гильбертово пространство в общем случае не может быть охвачено собственными векторами нормального оператора. Рассмотрим, например, двусторонний сдвиг (или двусторонний сдвиг), действующий на , который является нормальным, но не имеет собственных значений.${\displaystyle \ell ^{2}}$

Инвариантные подпространства сдвига, действующего на пространстве Харди, характеризуются теоремой Берлинга .

Понятие нормальных операторов обобщается до инволютивной алгебры:

Элемент x инволютивной алгебры называется нормальным, если xx* = x*x .

Самосопряженные и унитарные элементы являются нормальными.

Наиболее важным является случай, когда такая алгебра является C*-алгеброй .

Определение нормальных операторов естественным образом обобщается на некоторый класс неограниченных операторов. Явно, замкнутый оператор N называется нормальным, если

${\displaystyle N^{*}N=NN^{*}.}$

Здесь существование сопряженного N* требует, чтобы область определения N была плотной, а равенство включает утверждение, что область определения N*N равна области определения NN* , что в общем случае не обязательно так.

Эквивалентно нормальные операторы – это именно те, для которых ^[6]

${\displaystyle \|Nx\|=\|N^{*}x\|\qquad }$

с

${\displaystyle {\mathcal {D}}(N)={\mathcal {D}}(N^{*}).}$

Спектральная теорема остается справедливой для неограниченных (нормальных) операторов. Доказательства работают путем сведения к ограниченным (нормальным) операторам. ^{[7] [8]}

Успех теории нормальных операторов привел к нескольким попыткам обобщения путем ослабления требования коммутативности. Классы операторов, включающие нормальные операторы, следующие (в порядке включения):

• Гипонормальные операторы
• Нормалоиды
• Операторы паранормальных явлений
• Квазинормальные операторы
• Субнормальные операторы

• Непрерывный линейный оператор
• Сокращение (теория операторов)  – Ограниченные операторы с субъединичной нормой