Косоэрмитова матрица
Матрица, сопряженная транспонированная матрица которой является ее отрицательной (аддитивной обратной)

В линейной алгебре квадратная матрица с комплексными элементами называется косоэрмитовой или антиэрмитовой, если ее сопряженная транспонированная матрица является отрицательной по отношению к исходной матрице. [1] То есть матрица является косоэрмитовой, если она удовлетворяет соотношению А {\displaystyle А}

А  косо-эрмитов ⟺ А ЧАС = − А {\displaystyle A{\text{ косоэрмитово}}\quad \тогда и только тогда, когда \quad A^{\mathsf {H}}=-A}

где обозначает сопряженное транспонирование матрицы . В компонентной форме это означает, что А ЧАС {\displaystyle A^{\textsf {H}}} А {\displaystyle А}

А  косо-эрмитов ⟺ а я дж = − а дж я ¯ {\displaystyle A{\text{ косоэрмитово}}\quad \тогда и только тогда, когда \quad a_{ij}=-{\overline {a_{ji}}}}

для всех индексов и , где — элемент в -й строке и -м столбце матрицы , а черта сверху обозначает комплексное сопряжение . я {\displaystyle я} дж {\displaystyle j} а я дж {\displaystyle a_{ij}} я {\displaystyle я} дж {\displaystyle j} А {\displaystyle А}

Косоэрмитовые матрицы можно понимать как комплексные версии действительных кососимметричных матриц или как матричный аналог чисто мнимых чисел. [2] Множество всех косоэрмитовых матриц образует алгебру Ли , которая соответствует группе Ли U( n ) . Эту концепцию можно обобщить, включив в нее линейные преобразования любого комплексного векторного пространства с полуторалинейной нормой . н × н {\displaystyle n\times n} ты ( н ) {\displaystyle u(n)}

Обратите внимание, что сопряженный оператор зависит от скалярного произведения, рассматриваемого на размерном комплексном или действительном пространстве . Если обозначает скалярное произведение на , то утверждение, что является кососопряжённым, означает, что для всех имеется . н {\displaystyle n} К н {\displaystyle К^{н}} ( ⋅ ∣ ⋅ ) {\displaystyle (\cdot \mid \cdot )} К н {\displaystyle К^{н}} А {\displaystyle А} ты , в ∈ К н {\displaystyle \mathbf {u},\mathbf {v} \in K^{n}} ( А ты ∣ в ) = − ( ты ∣ А в ) {\displaystyle (A\mathbf {u} \mid \mathbf {v}) = - (\mathbf {u} \mid A\mathbf {v})}

Мнимые числа можно рассматривать как кососопряженные (поскольку они подобны матрицам), тогда как действительные числа соответствуют самосопряженным операторам. 1 × 1 {\displaystyle 1\times 1}

Пример

Например, следующая матрица является косоэрмитовой, потому что А = [ − я + 2 + я − 2 + я 0 ] {\displaystyle A={\begin{bmatrix}-i&+2+i\\-2+i&0\end{bmatrix}}} − А = [ я − 2 − я 2 − я 0 ] = [ − я ¯ − 2 + я ¯ 2 + я ¯ 0 ¯ ] = [ − я ¯ 2 + я ¯ − 2 + я ¯ 0 ¯ ] Т = А ЧАС {\displaystyle -A={\begin{bmatrix}i&-2-i\\2-i&0\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {-2+i}}\\{\overline {2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}{\overline {-i}}&{\overline {2+i}}\\{\overline {-2+i}}&{\overline {0}}\end{bmatrix}}^{\mathsf {T}}=A^{\mathsf {H}}}

Характеристики

  • Собственные значения косоэрмитовой матрицы все чисто мнимые (и, возможно, нулевые). Более того, косоэрмитовые матрицы являются нормальными . Следовательно, они диагонализируемы, и их собственные векторы для различных собственных значений должны быть ортогональны. [3]
  • Все элементы на главной диагонали косоэрмитовой матрицы должны быть чисто мнимыми , т. е. на мнимой оси (число ноль также считается чисто мнимым). [4]
  • Если и являются косоэрмитовыми, то ⁠ ⁠ является косоэрмитовым для всех действительных скаляров и . [5] А {\displaystyle А} Б {\displaystyle Б} а А + б Б {\displaystyle аА+бВ} а {\displaystyle а} б {\displaystyle б}
  • А {\displaystyle А} является косоэрмитовым тогда и только тогда, когда (или, что эквивалентно, ) является эрмитовым . [5] я А {\displaystyle iA} − я А {\displaystyle -iA}
  • А {\displaystyle А} является косоэрмитовым тогда и только тогда, когда действительная часть кососимметрична , а мнимая часть симметрична . ℜ ( А ) {\displaystyle \Re {(A)}} ℑ ( А ) {\displaystyle \Я {(А)}}
  • Если является косоэрмитовым, то является эрмитовым, если является четным целым числом, и косоэрмитовым, если является нечетным целым числом. А {\displaystyle А} А к {\displaystyle А^{к}} к {\displaystyle к} к {\displaystyle к}
  • А {\displaystyle А} является косоэрмитовым тогда и только тогда, когда для всех векторов . х ЧАС А у = − у ЧАС А х ¯ {\displaystyle \mathbf {x} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {y} =- {\overline {\mathbf {y} ^{\mathsf {H}}A\mathbf {x} }}} х , у {\displaystyle \mathbf {x},\mathbf {y} }
  • Если является косоэрмитовой, то матричная экспонента является унитарной . А {\displaystyle А} е А {\displaystyle e^{A}}
  • Пространство косоэрмитовых матриц образует алгебру Ли группы Ли . ты ( н ) {\displaystyle u(n)} У ( н ) {\displaystyle U(n)}

Разложение на эрмитовы и косоэрмитовы

  • Сумма квадратной матрицы и ее сопряженной транспонированной матрицы является эрмитовой. ( А + А ЧАС ) {\displaystyle \left(A+A^{\mathsf {H}}\right)}
  • Разность квадратной матрицы и ее сопряженной транспонированной матрицы косоэрмитова. Это означает, что коммутатор двух эрмитовых матриц косоэрмитов. ( А − А ЧАС ) {\displaystyle \left(AA^{\mathsf {H}}\right)}
  • Произвольную квадратную матрицу можно записать в виде суммы эрмитовой матрицы и косоэрмитовой матрицы : С {\displaystyle С} А {\displaystyle А} Б {\displaystyle Б} С = А + Б с А = 1 2 ( С + С ЧАС ) и Б = 1 2 ( С − С ЧАС ) {\displaystyle C=A+B\quad {\mbox{with}}\quad A={\frac {1}{2}}\left(C+C^{\mathsf {H}}\right)\quad {\mbox{and}}\quad B={\frac {1}{2}}\left(CC^{\mathsf {H}}\right)}

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Хорн и Джонсон (1985), §4.1.1; Мейер (2000), §3.2
  2. ^ Хорн и Джонсон (1985), §4.1.2
  3. ^ Хорн и Джонсон (1985), §2.5.2, §2.5.4
  4. ^ Мейер (2000), Упражнение 3.2.5
  5. ^ ab Хорн и Джонсон (1985), §4.1.1

Ссылки

Получено с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Skew-Hermitian_matrix&oldid=1247367292"