Квазинормальный оператор

В теории операторов квазинормальные операторы — это класс ограниченных операторов, определяемых путем ослабления требований нормального оператора .

Каждый квазинормальный оператор является субнормальным оператором . Каждый квазинормальный оператор в конечномерном гильбертовом пространстве является нормальным.

Пусть A — ограниченный оператор в гильбертовом пространстве H , тогда A называется квазинормальным, если A коммутирует с A*A , т.е.

${\displaystyle A(A^{*}A)=(A^{*}A)A.\,}$

Нормальный оператор обязательно квазинормален.

Пусть A = UP — полярное разложение A. Если A квазинормально, то UP = PU . Чтобы увидеть это, обратите внимание, что положительный множитель P в полярном разложении имеет вид ( A*A ) ^{1 ⁄ 2} , единственный положительный квадратный корень из A*A . Квазинормальность означает, что A коммутирует с A*A . Как следствие непрерывного функционального исчисления для самосопряженных операторов , A коммутирует с P = ( A*A ) ^{1 ⁄ 2} также, т.е.

${\displaystyle UPP=PUP.\,}$

Итак, UP = PU на области значений P . С другой стороны, если h ∈ H лежит в ядре P , очевидно, UP h = 0. Но и PU h = 0. поскольку U является частичной изометрией , начальное пространство которой является замыканием области значений P . Наконец, самосопряженность P подразумевает, что H является прямой суммой ее области значений и ядра. Таким образом, приведенный аргумент доказывает UP = PU на всех H .

С другой стороны, можно легко проверить, что если UP = PU , то A должен быть квазинормальным. Таким образом, оператор A является квазинормальным тогда и только тогда, когда UP = PU .

Когда H конечномерен, каждый квазинормальный оператор A является нормальным. Это происходит потому, что в конечномерном случае частичная изометрия U в полярном разложении A = UP может быть принята как унитарная. Это тогда дает

${\displaystyle A^{*}A=(UP)^{*}UP=PU(PU)^{*}=AA^{*}.\,}$

В общем случае частичная изометрия не может быть расширена до унитарного оператора, и поэтому квазинормальный оператор не обязан быть нормальным. Например, рассмотрим односторонний сдвиг T . T является квазинормальным, поскольку T*T является тождественным оператором. Но T явно не является нормальным.

Неизвестно, имеет ли ограниченный оператор A в гильбертовом пространстве H нетривиальное инвариантное подпространство. Однако, когда A является нормальным, утвердительный ответ дается спектральной теоремой . Каждый нормальный оператор A получается путем интегрирования тождественной функции относительно спектральной меры E = { E _B } на спектре A , σ ( A ):

${\displaystyle A=\int _{\sigma (A)}\lambda \,dE(\lambda ).\,}$

Для любого борелевского множества B ⊂ σ ( A ) проекция E _B коммутирует с A , и поэтому область значений E _B является инвариантным подпространством A .

Вышесказанное можно распространить непосредственно на квазинормальные операторы. Сказать, что A коммутирует с A*A , значит сказать, что A коммутирует с ( A*A ) ^{1 ⁄ 2} . Но это подразумевает, что A коммутирует с любой проекцией E _B в спектральной мере ( A*A ) ^{1 ⁄ 2} , что доказывает утверждение об инвариантном подпространстве. На самом деле, можно заключить нечто более сильное. Область действия E _B на самом деле является редуцирующим подпространством A , т. е. его ортогональное дополнение также инвариантно относительно A .

• П. Халмос, Книга задач гильбертова пространства, Спрингер, Нью-Йорк, 1982.