Алютге преобразование

В математике, а точнее в функциональном анализе , преобразование Алютге — это операция, определённая на множестве ограниченных операторов гильбертова пространства . Оно было введено Ариядасой Алютге для изучения p-гипонормальных линейных операторов . ^[1]

Пусть будет гильбертовым пространством и пусть будет алгеброй линейных операторов из в . По теореме о полярном разложении существует единственная частичная изометрия такая, что и , где — квадратный корень оператора . Если и — его полярное разложение, то преобразование Алютге — это оператор, определяемый как:${\displaystyle H}$${\displaystyle B(H)}$${\displaystyle H}$${\displaystyle H}$ ${\displaystyle U}$${\displaystyle Т=У|Т|}$${\displaystyle \ker (U) \supset \ker (T)}$${\displaystyle |Т|}$ ${\displaystyle Т^{*}Т}$${\displaystyle T\in B(H)}$${\displaystyle Т=У|Т|}$${\displaystyle Т}$${\displaystyle \Дельта (Т)}$

${\displaystyle \Дельта (T)=|T|^{\frac {1}{2}}U|T|^{\frac {1}{2}}.}$

В более общем смысле, для любого действительного числа преобразование -Алюта определяется как ${\displaystyle \лямбда \in [0,1]}$${\displaystyle \лямбда}$

${\displaystyle \Delta _{\lambda }(T):=|T|^{\lambda }U|T|^{1-\lambda }\in B(H).}$

Для векторов обозначим оператор, определяемый как ${\displaystyle x,y\in H}$${\displaystyle x\otimes y}$

${\displaystyle \forall z\in H\quad x\otimes y(z)=\langle z,y\rangle x.}$

Элементарный расчет ^[2] показывает, что если , то${\displaystyle y\neq 0}$${\displaystyle \Delta _ {\lambda }(x\otimes y) = \Delta (x\otimes y) = {\frac {\langle x,y\rangle }{\lVert y\rVert ^{2}}} y\otimes y.}$

• Антезана, Хорхе; Пухалс, Энрике Р.; Стоянов, Деметрио (2008). «Итерированные преобразования Алутге: краткий обзор». Обзор математического союза Аргентины . 49 : 29–41.

• Ариядаса Алутге в проекте «Генеалогия математики»