Эндоморфизм Фробениуса

В кольце с простой характеристикой p отображение возводит элементы в p-ю степень

В коммутативной алгебре и теории поля эндоморфизм Фробениуса (в честь Фердинанда Георга Фробениуса ) — это специальный эндоморфизм коммутативных колец с простой характеристикой $p$ , важный класс, включающий конечные поля . Эндоморфизм отображает каждый элемент в его $p$ -ю степень. В определенных контекстах это автоморфизм , но в общем случае это неверно.

Определение

Пусть $R$ — коммутативное кольцо с простой характеристикой $p$ ( например, область целостности положительной характеристики всегда имеет простую характеристику). Эндоморфизм Фробениуса F определяется формулой

F(r)=r^{p}

для всех r в R. Он учитывает умножение R :

F(rs)=(rs)^{p}=r^{p}s^{p}=F(r)F(s),

и $F (1)$ также равен 1. Более того, он также учитывает добавление $R.$ Выражение $(r + s) p$ можно разложить с помощью биномиальной теоремы . Поскольку $p$ является простым числом, оно делит $p!,$ но не любое $q!$ для $q < p$ ; поэтому оно будет делить числитель , но не знаменатель явной формулы биномиальных коэффициентов

{\frac {p!}{k!(pk)!}},

если $1 \leq k \leq p - 1.$ Следовательно, коэффициенты всех членов, кроме $r p$ и $s p ,$ делятся на $p$ , и, следовательно, они равны нулю. ^[1] Таким образом

F(r+s)=(r+s)^{p}=r^{p}+s^{p}=F(r)+F(s).

Это показывает, что F является кольцевым гомоморфизмом .

Если $φ : R \to S$ — гомоморфизм колец характеристики $p$ , то

\varphi (x^{p})=\varphi (x)^{p}.

Если $F R$ и $F S$ являются эндоморфизмами Фробениуса для $R$ и $S$ , то это можно переписать как:

\varphi \circ F_{R}=F_{S}\circ \varphi.

Это означает, что эндоморфизм Фробениуса является естественным преобразованием из тождественного функтора в категории характеристических $p-$ колец в себя.

Если кольцо $R$ является кольцом без нильпотентных элементов, то эндоморфизм Фробениуса инъективен : F $(r) = 0$ означает $r p = 0$ , что по определению означает, что $r$ нильпотентно порядка не выше $p$ . На самом деле, это необходимо и достаточно, потому что если $r$ является каким-либо нильпотентом, то одна из его степеней будет нильпотентной порядка не выше $p$ . В частности, если $R$ является полем, то эндоморфизм Фробениуса инъективен.

Морфизм Фробениуса не обязательно сюръективен , даже когда $R$ — поле. Например, пусть $K = F p (t)$ — конечное поле из $p$ элементов вместе с одним трансцендентным элементом ; эквивалентно, $K$ — поле рациональных функций с коэффициентами в $F p$ . Тогда образ $F$ не содержит $t$ . Если бы он содержал, то существовала бы рациональная функция $q (t)/ r (t),$ $p$ -я степень которой $q (t) p / r (t) p$ была бы равна $t$ . Но степень этой $p$ -й степени (разница между степенями ее числителя и знаменателя) равна $p deg(q) - p deg(r)$ , что кратно $p$ . В частности, она не может быть равна 1, что является степенью $t$ . Это противоречие; поэтому $t$ не содержится в образе $F$ .

Поле $K$ называется совершенным, если оно имеет либо нулевую характеристику, либо положительную характеристику и его эндоморфизм Фробениуса является автоморфизмом. Например, все конечные поля являются совершенными.

Неподвижные точки эндоморфизма Фробениуса

Рассмотрим конечное поле $F p$ . По малой теореме Ферма каждый элемент $x$ из $F p$ удовлетворяет условию $x p = x$ . Эквивалентно, это корень многочлена $X p - X$ . Элементы $F p$ , следовательно, определяют $p$ корней этого уравнения, и поскольку это уравнение имеет степень $p ,$ оно имеет не более $p$ корней над любым расширением . В частности, если $K$ является алгебраическим расширением $F p$ (таким как алгебраическое замыкание или другое конечное поле), то $F p$ является фиксированным полем автоморфизма Фробениуса $K$ .

Пусть $R —$ кольцо характеристики $p > 0.$ Если $R$ — область целостности, то по тем же соображениям неподвижные точки Фробениуса являются элементами простого поля. Однако, если $R$ не является областью, то $X p - X$ может иметь более $p$ корней; например, это происходит, если $R = F p \times F p$ .

Аналогичное свойство имеет для конечного поля n- я итерация автоморфизма Фробениуса: каждый элемент из является корнем из , поэтому если $K$ является алгебраическим расширением и $F$ является автоморфизмом Фробениуса $K$ , то неподвижное поле $F$ $n$ равно . Если R является областью, которая является -алгеброй , то неподвижные точки n- й итерации Фробениуса являются элементами образа . $\mathbf {F} _{p^{n}}$ $\mathbf {F} _{p^{n}}$ $X^{p^{n}}-X$ $\mathbf {F} _{p^{n}}$ $\mathbf {F} _{p^{n}}$ $\mathbf {F} _{p^{n}}$ $\mathbf {F} _{p^{n}}$

Итерация отображения Фробениуса дает последовательность элементов в $R$ :

x,x^{p},x^{p^{2}},x^{p^{3}},\ldots .

Эта последовательность итераций используется для определения замыкания Фробениуса и плотного замыкания идеала.

Как генератор групп Галуа

Группа Галуа расширения конечных полей порождается итерацией автоморфизма Фробениуса. Сначала рассмотрим случай, когда основное поле является простым полем $F p$ . Пусть $F q$ будет конечным полем из $q$ элементов, где $q = p n$ . Автоморфизм Фробениуса $F$ поля $F q$ фиксирует простое поле $F p$ , поэтому оно является элементом группы Галуа $Gal(F q / F p)$ . Фактически, поскольку является циклическим с q − 1 элементами , мы знаем, что группа Галуа является циклической, а $F$ является генератором. Порядок $F$ равен $n ,$ потому что $F$ $j$ действует на элемент $x$ , отправляя его в $x$ $p$ $j$ , и может иметь только много корней, поскольку мы находимся в поле. Каждый автоморфизм поля $F$ $q$ является степенью $F$ , а генераторами являются степени $F$ $i ,$ где $i$ взаимно просто с $n$ . $\mathbf {F} _{q}^{\times }$ $x^{p^{j}}=x$ $p^{j}$

Теперь рассмотрим конечное поле $F q f$ как расширение $F q$ , где $q = p n ,$ как и выше. Если $n > 1$ , то автоморфизм Фробениуса $F$ поля $F q f$ не фиксирует основное поле $F q$ , но его $n-$ я итерация $F n$ фиксирует. Группа Галуа $Gal(F q f / F q)$ является циклической порядка $f$ и порождается $F n$ . Это подгруппа $Gal(F q f$ $/$ $F$ $p$ $)$ , порождаемая $F n$ . Генераторы $Gal(F q f$ $/$ $F$ $q$ $)$ являются степенями $F ni ,$ где $i$ взаимно просто с $f$ .

Автоморфизм Фробениуса не является генератором абсолютной группы Галуа

\operatorname {Гал} \left({\overline {\mathbf {F} _{q}}}/\mathbf {F} _{q}\right),

поскольку эта группа Галуа изоморфна проконечным целым числам

{\widehat {\mathbf {Z}}}=\varprojlim _{n}\mathbf {Z} /n\mathbf {Z},

которые не являются циклическими. Однако, поскольку автоморфизм Фробениуса является генератором группы Галуа любого конечного расширения $F q$ , он является генератором любого конечного фактора абсолютной группы Галуа. Следовательно, он является топологическим генератором в обычной топологии Крулля на абсолютной группе Галуа.

Фробениус для схем

Существует несколько различных способов определения морфизма Фробениуса для схемы . Наиболее фундаментальным является абсолютный морфизм Фробениуса. Однако абсолютный морфизм Фробениуса плохо себя ведет в относительной ситуации, поскольку он не обращает внимания на базовую схему. Существует несколько различных способов адаптации морфизма Фробениуса к относительной ситуации, каждый из которых полезен в определенных ситуациях.

Абсолютный морфизм Фробениуса

Предположим, что $X$ — схема характеристики $p > 0.$ Выберем открытое аффинное подмножество $U = Spec A$ алгебры $X$ . Кольцо $A$ является $F p$ -алгеброй, поэтому оно допускает эндоморфизм Фробениуса. Если $V$ — открытое аффинное подмножество $U$ , то по естественности Фробениуса морфизм Фробениуса на $U$ , ограниченный на $V$ , является морфизмом Фробениуса на $V$ . Следовательно, морфизм Фробениуса склеивается, давая эндоморфизм $X$ . Этот эндоморфизм называется абсолютным морфизмом Фробениуса схем $X$ , обозначаемым $F X$ . По определению, он является гомеоморфизмом $X$ с самим собой. Абсолютный морфизм Фробениуса — это естественное преобразование из тождественного функтора в категории $F p$ -схем в себя.

Если $X$ является $S$ -схемой, а морфизм Фробениуса $S$ является тождеством, то абсолютный морфизм Фробениуса является морфизмом $S$ -схем. Однако в общем случае это не так. Например, рассмотрим кольцо . Пусть $X$ и $S$ оба равны $Spec$ $A$ , причем структурное отображение $X$ $\to$ $S$ является тождеством. Морфизм Фробениуса на $A$ переводит $a$ в $a$ $p$ . Это не морфизм -алгебр. Если бы это было так, то умножение на элемент $b$ в коммутировало бы с применением эндоморфизма Фробениуса. Но это неверно, потому что: $A=\mathbf {F} _{p^{2}}$ $\mathbf {F} _{p^{2}}$ $\mathbf {F} _{p^{2}}$

b\cdot a=ba\neq F(b)\cdot a=b^{p}a.

Первое — это действие $b$ в структуре -алгебры, с которой начинается $A$ , а второе — это действие, индуцированное Фробениусом. Следовательно, морфизм Фробениуса на $Spec$ $A$ не является морфизмом -схем. $\mathbf {F} _{p^{2}}$ $\mathbf {F} _{p^{2}}$ $\mathbf {F} _{p^{2}}$

Абсолютный морфизм Фробениуса — это чисто неотделимый морфизм степени $p$ . Его дифференциал равен нулю. Он сохраняет произведения, что означает, что для любых двух схем $X$ и $Y$ , $F X \times Y = F X \times F Y$ .

Ограничение и расширение скаляров по Фробениусу

Предположим, что $φ : X \to S$ — структурный морфизм для $S$ -схемы $X.$ Базовая схема $S$ имеет морфизм Фробениуса F _S. Композиция $φ$ с F _S дает $S$ -схему X _F, называемую ограничением скаляров по Фробениусу . Ограничение скаляров на самом деле является функтором, поскольку $S$ -морфизм $X \to Y$ индуцирует $S$ -морфизм $X F \to Y F$ .

Например, рассмотрим кольцо A характеристики $p > 0$ и конечно представленную алгебру над A :

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).

Действие A на R определяется выражением:

c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum ca_{\alpha }X^{\alpha },

где α — мультииндекс. Пусть $X = Spec R$ . Тогда $X F$ — аффинная схема $Spec R$ , но ее структурный морфизм $Spec R \to Spec A$ , а значит, и действие A на R , отличается:

c\cdot \sum a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum F(c)a_{\alpha }X^{\alpha }=\sum c^{p}a_{\alpha }X^{\alpha }.

Поскольку ограничение скаляров по Фробениусу является просто композицией, многие свойства $X$ наследуются X _F при соответствующих гипотезах о морфизме Фробениуса. Например, если $X$ и S _F оба являются конечными типами, то и X _F тоже .

Расширение скаляров по Фробениусу определяется следующим образом:

X^{(p)}=X\times _{S}S_{F}.

Проекция на фактор $S$ делает $X (p)$ S -схемой. Если $S$ не ясно из контекста, то $X$ $($ $p$ $)$ обозначается как $X$ $($ $p$ $/$ $S$ $) .$ $Подобно$ ограничению скаляров, расширение скаляров является функтором: $S$ -морфизм $X$ $\to$ $Y$ определяет $S$ -морфизм $X$ $($ $p$ $)$ $\to$ $Y$ $($ $p$ $)$ .

Как и прежде, рассмотрим кольцо A и конечно представленную алгебру R над A , и снова пусть $X = Spec R.$ Тогда:

X^{(p)}=\operatorname {Spec} R\otimes _{A}A_{F}.

Глобальное сечение $X (p)$ имеет вид:

\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }^{p}b_{i},

где α — мультииндекс, а каждый a _iα и b _i — элемент A. Действие элемента c из A на этом участке:

c\cdot \sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}=\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}c.

Следовательно, $X (p)$ изоморфен:

\operatorname {Spec} A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),

где, если:

f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },

затем:

f_{j}^{(p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{p}X^{\beta }.

Аналогичное описание справедливо для произвольных A -алгебр R .

Поскольку расширение скаляров является изменением базы, оно сохраняет пределы и копроизведения. Это подразумевает, в частности, что если $X$ имеет алгебраическую структуру, определенную в терминах конечных пределов (например, будучи групповой схемой), то также имеет $X (p)$ . Кроме того, быть изменением базы означает, что расширение скаляров сохраняет такие свойства, как быть конечным типом, конечным представлением, раздельным, аффинным и т. д.

Расширение скаляров хорошо себя ведет по отношению к изменению базы: если задан морфизм $S' \to S$ , то существует естественный изоморфизм:

X^{(p/S)}\times _{S}S'\cong (X\times _{S}S')^{(p/S')}.

Относительный Фробениус

Пусть $X$ — $S -$ $схема$ со структурным морфизмом $φ$ . Относительный морфизм Фробениуса X — это морфизм:

F_{X/S}:X\to X^{(p)}

определяется универсальным свойством отката X $(p) ($ см. диаграмму выше):

F_{X/S}=(F_{X},\varphi ).

Поскольку абсолютный морфизм Фробениуса является естественным, относительный морфизм Фробениуса является морфизмом $S$ -схем.

Рассмотрим, например, A -алгебру:

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}).

У нас есть:

R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}).

Относительный морфизм Фробениуса — это гомоморфизм $R (p) \to R,$ определяемый формулой:

\sum _{i}\sum _{\alpha }X^{\alpha }\otimes a_{i\alpha }\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{p\alpha }.

Относительный Фробениус совместим с заменой основания в том смысле, что при естественном изоморфизме $X (p / S) \times S S'$ и $(X \times S S') (p / S')$ мы имеем:

F_{X/S}\times 1_{S'}=F_{X\times _{S}S'/S'}.

Относительный Фробениус является универсальным гомеоморфизмом. Если $X \to S$ является открытым погружением, то оно является тождественным. Если $X \to S$ является замкнутым погружением, определяемым пучком идеалов I из $O S$ , то $X (p)$ определяется пучком идеалов $I p$ , а относительный Фробениус является отображением аугментации $O S / I p \to O S / I$ .

X неразветвлен над $S$ тогда и только тогда, когда F _{X / S} неразветвлен и тогда и только тогда, когда F _{X / S} является мономорфизмом. X является этальным над $S$ тогда и только тогда, когда F _{X / S} является этальным и тогда и только тогда, когда F _{X / S} является изоморфизмом.

Арифметика Фробениуса

Арифметический морфизм Фробениуса $S$ -схемы X $является$ морфизмом:

F_{X/S}^{a}:X^{(p)}\to X\times _{S}S\cong X

определяется:

F_{X/S}^{a}=1_{X}\times F_{S}.

То есть это базовое изменение F _S на 1 _X .

Опять же, если:

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),

R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F},

тогда арифметика Фробениуса — это гомоморфизм:

\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{p}X^{\alpha }.

Если мы перепишем $R (p)$ как:

R^{(p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/\left(f_{1}^{(p)},\ldots ,f_{m}^{(p)}\right),

то этот гомоморфизм имеет вид:

\sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{p}X^{\alpha }.

Геометрический Фробениус

Предположим, что абсолютный морфизм Фробениуса $S$ обратим с обратным . Пусть обозначает $S$ -схему . Тогда существует расширение скаляров $X$ с помощью : $F_{S}^{-1}$ $S_{F^{-1}}$ $F_{S}^{-1}:S\to S$ $F_{S}^{-1}$

X^{(1/p)}=X\times _{S}S_{F^{-1}}.

Если:

R=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m}),

тогда расширение скаляров дает: $F_{S}^{-1}$

R^{(1/p)}=A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1},\ldots ,f_{m})\otimes _{A}A_{F^{-1}}.

Если:

f_{j}=\sum _{\beta }f_{j\beta }X^{\beta },

затем пишем:

f_{j}^{(1/p)}=\sum _{\beta }f_{j\beta }^{1/p}X^{\beta },

и тогда существует изоморфизм:

R^{(1/p)}\cong A[X_{1},\ldots ,X_{n}]/(f_{1}^{(1/p)},\ldots ,f_{m}^{(1/p)}).

Геометрический морфизм Фробениуса $S$ -схемы X $является$ морфизмом:

F_{X/S}^{g}:X^{(1/p)}\to X\times _{S}S\cong X

определяется:

F_{X/S}^{g}=1_{X}\times F_{S}^{-1}.

Это изменение базы на $1$ $X.$ $F_{S}^{-1}$

Продолжая наш пример с A и R , приведенный выше, геометрический Фробениус определяется следующим образом:

\sum _{i}\left(\sum _{\alpha }a_{i\alpha }X^{\alpha }\right)\otimes b_{i}\mapsto \sum _{i}\sum _{\alpha }a_{i\alpha }b_{i}^{1/p}X^{\alpha }.

После переписывания R ^{(1/ p )} в терминах геометрический Фробениус имеет вид: $\{f_{j}^{(1/p)}\}$

\sum a_{\alpha }X^{\alpha }\mapsto \sum a_{\alpha }^{1/p}X^{\alpha }.

Арифметика и геометрия Фробениуса как действия Галуа

Предположим, что морфизм Фробениуса $S$ является изоморфизмом. Тогда он порождает подгруппу группы автоморфизмов $S$ . Если $S = Spec k$ — спектр конечного поля, то его группа автоморфизмов является группой Галуа поля над простым полем, а морфизм Фробениуса и его обратный являются генераторами группы автоморфизмов. Кроме того, $X (p)$ и $X (1/ p)$ можно отождествить с $X$ . Арифметические и геометрические морфизмы Фробениуса являются тогда эндоморфизмами $X$ , и поэтому они приводят к действию группы Галуа k на X .

Рассмотрим множество K -точек $X (K)$ . Это множество имеет действие Галуа: каждая такая точка x соответствует гомоморфизму $O X \to K$ из структурного пучка в K , который факторизуется через k(x) , поле вычетов в x , а действие Фробениуса на x является применением морфизма Фробениуса к полю вычетов. Это действие Галуа согласуется с действием арифметического Фробениуса: составной морфизм

{\mathcal {O}}_{X}\to k(x){\xrightarrow {\overset {}{F}}}k(x)

то же самое, что и составной морфизм:

{\mathcal {O}}_{X}{\xrightarrow {{\overset {}{F}}_{X/S}^{a}}}{\mathcal {O}}_{X}\to k(x)

по определению арифметики Фробениуса. Следовательно, арифметика Фробениуса явно демонстрирует действие группы Галуа на точки как эндоморфизм X.

Фробениус для локальных полей

Для заданного неразветвленного конечного расширения $L/K$ локальных полей существует концепция эндоморфизма Фробениуса , которая индуцирует эндоморфизм Фробениуса в соответствующем расширении полей вычетов . ^[2]

Предположим, что $L/K$ — неразветвленное расширение локальных полей с кольцом целых чисел O _K поля $K,$ таким, что поле вычетов, целые числа $K$ по модулю их единственного максимального идеала $φ$ , являются конечным полем порядка $q$ , где $q$ — степень простого числа. Если $Φ$ — простое число $L,$ лежащее над $φ$ , то, что $L/K$ неразветвлено, означает по определению, что целые числа $L$ по модулю $Φ$ , поле вычетов $L$ , будут конечным полем порядка $q f,$ расширяющим поле вычетов $K$ , где $f$ — степень $L / K.$ Мы можем определить отображение Фробениуса для элементов кольца целых чисел $O L$ поля $L$ как автоморфизм $s Φ$ поля $L,$ такой, что

s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi .

Фробениус для глобальных полей

В алгебраической теории чисел элементы Фробениуса определяются для расширений $L / K$ глобальных полей $,$ которые являются конечными расширениями Галуа для простых идеалов $Φ$ поля $L$ , которые не разветвлены в $L / K.$ Поскольку расширение не разветвлено, группа разложения Φ является группой Галуа расширения полей вычетов. Элемент Фробениуса тогда может быть определен для элементов кольца целых чисел поля $L,$ как в локальном случае, с помощью

s_{\Phi }(x)\equiv x^{q}\mod \Phi ,

где $q$ — порядок поля вычетов $O K /(Φ \cap O K)$ .

Лифты Фробениуса соответствуют p-выводам .

Примеры

Многочлен

х 5 - х - 1

имеет дискриминант

19 \times 151

,

и поэтому неразветвлен в простом числе 3; он также неприводим по модулю 3. Следовательно, присоединение корня $ρ$ из него к полю $3$ -адических чисел $Q 3$ дает неразветвленное расширение $Q 3 (ρ)$ поля $Q 3$ . Мы можем найти образ $ρ$ при отображении Фробениуса, найдя корень, ближайший к $ρ 3$ , что мы можем сделать методом Ньютона . Мы получаем элемент кольца целых чисел $Z 3 [ρ]$ таким образом; это многочлен четвертой степени по $ρ$ с коэффициентами в $3$ -адических целых числах $Z 3$ . По модулю $38$ этот многочлен равен

\rho ^{3}+3(460+183\rho -354\rho ^{2}-979\rho ^{3}-575\rho ^{4})

.

Это алгебраично над $Q$ и является правильным глобальным образом Фробениуса в терминах вложения $Q$ в $Q 3$ ; более того, коэффициенты являются алгебраическими, и результат может быть выражен алгебраически. Однако они имеют степень 120, порядок группы Галуа, что иллюстрирует тот факт, что явные вычисления гораздо легче выполнить, если $p$ -адических результатов будет достаточно.

Если $L/K$ является абелевым расширением глобальных полей, мы получаем гораздо более сильную конгруэнтность, поскольку она зависит только от простого числа $φ$ в базовом поле $K.$ Для примера рассмотрим расширение $Q (β)$ поля $Q,$ полученное присоединением корня $β,$ удовлетворяющего

\beta ^{5}+\beta ^{4}-4\beta ^{3}-3\beta ^{2}+3\beta +1=0

до $Q.$ Это расширение является циклическим пятого порядка с корнями

2\cos {\tfrac {2\pi n}{11}}

для целого числа $n$ . Имеет корни, которые являются полиномами Чебышева от $β$ :

β 2 - 2, β 3 - 3 β, β 5 - 5 β 3 + 5 β

дают результат отображения Фробениуса для простых чисел 2, 3 и 5, и так далее для больших простых чисел, не равных 11 или вида $22 n + 1$ (которые распадаются). Сразу видно, как отображение Фробениуса дает результат, равный mod $p$ p -й $степени$ корня $β$ .

Смотрите также

Ссылки

^ Это известно как мечта первокурсника .
^ Фрёлих, А .; Тейлор, М.Дж. (1991). Алгебраическая теория чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том 27. Издательство Кембриджского университета . С. 144. ISBN 0-521-36664-X. Збл 0744.11001.

«Автоморфизм Фробениуса», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
«Фробениусов эндоморфизм», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]

[1] Это известно как мечта первокурсника .

[FT144-2] Фрёлих, А .; Тейлор, М.Дж. (1991). Алгебраическая теория чисел . Кембриджские исследования в области высшей математики. Том 27. Издательство Кембриджского университета . С. 144. ISBN 0-521-36664-X. Збл 0744.11001.