Плотное закрытие

В математике , в области коммутативной алгебры , плотное замыкание — операция, определённая над идеалами в положительной характеристике . Она была введена Мелвином Хохстером и Крейгом Хунеке  (1988, 1990).

Пусть — коммутативное нётерово кольцо, содержащее поле характеристики . Следовательно, — простое число .${\displaystyle R}$${\displaystyle p>0}$${\displaystyle p}$

Пусть будет идеалом . Плотное замыкание , обозначаемое , является другим идеалом содержания . Идеал определяется следующим образом.${\displaystyle Я}$${\displaystyle R}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle Я^{*}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle Я^{*}}$

${\displaystyle z\in I^{*}}$тогда и только тогда, когда существует , где не содержится ни в каком минимальном простом идеале , такой, что для всех . Если сокращается, то вместо этого можно рассмотреть все .${\displaystyle c\in R}$${\displaystyle с}$${\displaystyle R}$${\displaystyle cz^{p^{e}}\in I^{[p^{e}]}}$${\displaystyle e\gg 0}$${\displaystyle R}$${\displaystyle е>0}$

Здесь используется для обозначения идеала , порождённого '-ми степенями элементов , называемого '-й степенью Фробениуса .${\displaystyle Я^{[п^{е}]}}$${\displaystyle R}$${\displaystyle p^{e}}$${\displaystyle Я}$${\displaystyle е}$${\displaystyle Я}$

Идеал называется плотно замкнутым, если . Кольцо, в котором все идеалы плотно замкнуты, называется слабо -регулярным (для регулярного по Фробениусу). Предыдущий большой открытый вопрос в плотном замыкании заключается в том, коммутирует ли операция плотного замыкания с локализацией , и поэтому существует дополнительное понятие -регулярности , которое говорит, что все идеалы кольца по-прежнему плотно замкнуты в локализациях кольца.${\displaystyle Я=Я^{*}}$${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

Бреннер и Монски (2010) нашли контрпример к свойству локализации плотного замыкания. Однако все еще остается открытым вопрос о том, является ли каждое слабо -регулярное кольцо -регулярным. То есть, если каждый идеал в кольце плотно замкнут, верно ли, что каждый идеал в каждой локализации этого кольца также плотно замкнут?${\displaystyle F}$${\displaystyle F}$

• Бреннер, Хольгер; Монски, Пол (2010), «Плотное замыкание не коммутирует с локализацией», Annals of Mathematics , вторая серия, 171 (1): 571–588 , arXiv : 0710.2913 , doi : 10.4007/annals.2010.171.571, ISSN  0003-486X, MR  2630050
• Хохстер, Мелвин; Хунеке, Крейг (1988), «Тщательно закрытые идеалы», Бюллетень Американского математического общества , Новая серия, 18 (1): 45– 48, doi : 10.1090/S0273-0979-1988-15592-9 , ISSN  0002-9904, MR  0919658
• Хохстер, Мелвин; Хунеке, Крейг (1990), «Плотное замыкание, теория инвариантов и теорема Бриансона–Шкоды», Журнал Американского математического общества , 3 (1): 31– 116, doi :10.2307/1990984, ISSN  0894-0347, JSTOR  1990984, MR  1017784

Эта статья по коммутативной алгебре — заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

• в
• т
• е