Гипотеза единичных кардиналов

Эта статья включает список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Январь 2024 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В теории множеств гипотеза сингулярных кардиналов (SCH) возникла из вопроса о том, может ли наименьшее кардинальное число , для которого обобщенная континуум-гипотеза (GCH) может оказаться недействительной, быть сингулярным кардиналом .

По мнению Митчелла (1992), гипотеза единичных кардиналов выглядит следующим образом:

Если κ — какой-либо особый сильный предел кардинала , то 2 ^κ = κ ⁺ .

Здесь κ ⁺ обозначает последующий кардинал κ .

Поскольку SCH является следствием GCH, который, как известно, согласуется с ZFC , SCH согласуется с ZFC. Было показано, что отрицание SCH также согласуется с ZFC, если предположить существование достаточно большого кардинального числа. Фактически, по результатам Моти Гитика , ZFC + ¬SCH равносогласовано с ZFC + существованием измеримого кардинального числа κ порядка Митчелла κ ⁺⁺ .

Другой формой SCH является следующее утверждение:

2 ^{cf( κ )} < κ влечет κ ^{cf( κ )} = κ ⁺ ,

где cf обозначает функцию конфинальности . Обратите внимание, что κ ^{cf( κ )} = 2 ^κ для всех сингулярных сильных предельных кардиналов κ . Вторая формулировка SCH строго сильнее первой версии, поскольку первая упоминает только сильные пределы. Из модели , в которой первая версия SCH терпит неудачу при ℵ _ω и GCH выполняется выше ℵ _ω+2 , мы можем построить модель, в которой первая версия SCH верна, но вторая версия SCH терпит неудачу, добавив ℵ _ω подмножеств Коэна к ℵ _n для некоторого n .

Джек Сильвер доказал, что если κ является сингулярным с несчетной конфинальностью и 2 ^λ = λ ⁺ для всех бесконечных кардиналов λ < κ , то 2 ^κ = κ ⁺ . Первоначальное доказательство Сильвера использовало обобщенные ультрастепени. Следующий важный факт следует из теоремы Сильвера: если гипотеза сингулярных кардиналов верна для всех сингулярных кардиналов счетной конфинальности, то она верна для всех сингулярных кардиналов. В частности, тогда, если — наименьший контрпример к гипотезе сингулярных кардиналов, то .${\displaystyle \каппа}$${\ displaystyle \ mathrm {cf} (\ каппа) = \ mathrm {\ omega} }$

Отрицание гипотезы сингулярных кардиналов тесно связано с нарушением GCH в измеримом кардинале. Известный результат Даны Скотт заключается в том, что если GCH выполняется ниже измеримого кардинала на множестве меры один, т. е. существует нормальный -полный ультрафильтр D на такой, что , то . Начиная с суперкомпактного кардинала , Сильвер смог создать модель теории множеств, в которой является измеримым и в которой . Затем, применяя форсинг Прикри к измеримому , можно получить модель теории множеств, в которой является сильным предельным кардиналом счетной конфинальности и в которой —нарушение SCH. Гитик , опираясь на работу Вудина , смог заменить суперкомпакт в доказательстве Сильвера на измеримый порядка Митчелла . Это установило верхнюю границу для силы согласованности отказа SCH. Гитик снова, используя результаты теории внутренних моделей , смог показать, что измеримый кардинал порядка Митчелла также является нижней границей для прочности согласованности отказа SCH.${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа}$ ${\displaystyle {\mathcal {P}}(\каппа)}$${\displaystyle \{\alpha <\kappa \mid 2^{\alpha } =\alpha ^{+}\}\in D}$${\displaystyle 2^{\каппа }=\каппа ^{+}}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle 2^{\каппа }>\каппа ^{+}}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle 2^{\каппа }>\каппа ^{+}}$${\displaystyle \каппа ^{++}}$${\displaystyle \каппа ^{++}}$

Широкий спектр предложений подразумевает SCH. Как было отмечено выше, GCH подразумевает SCH. С другой стороны, надлежащая аксиома форсинга , которая подразумевает и, следовательно, несовместима с GCH, также подразумевает SCH. Соловей показал, что большие кардиналы почти подразумевают SCH — в частности, если является сильно компактным кардиналом , то SCH выполняется выше . С другой стороны, несуществование (внутренних моделей для) различных больших кардиналов (ниже измеримого кардинала порядка Митчелла ) также подразумевает SCH.${\displaystyle 2^{\алеф _{0}}=\алеф _{2}}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа}$${\displaystyle \каппа ^{++}}$

• Томас Йех : Свойства функции Гимеля и классификация сингулярных кардиналов, Fundamenta Mathematicae 81 (1974): 57–64.
• Уильям Дж. Митчелл, «О гипотезе единственного кардинала», Trans. Amer. Math. Soc. , том 329 (2): стр. 507–530, 1992.
• Джейсон Обри, Проблема сингулярных кардиналов (PDF), пояснительный отчет VIGRE, математический факультет, Мичиганский университет .