Экспоненциальный полином

В математике экспоненциальные многочлены — это функции полей , колец или абелевых групп , которые принимают форму многочленов от переменной и экспоненциальной функции .

Экспоненциальный многочлен обычно имеет как переменную x, так и некоторую экспоненциальную функцию E ( x ). В комплексных числах уже есть каноническая экспоненциальная функция, функция, которая отображает x в e ^x . В этой ситуации термин экспоненциальный многочлен часто используется для обозначения многочленов вида P ( x , e ^x ), где P  ∈  C [ x , y ] — многочлен от двух переменных. ^{[1] [2]}

В C нет ничего особенного ; экспоненциальные многочлены могут также относиться к такому многочлену в любом экспоненциальном поле или экспоненциальном кольце с его экспоненциальной функцией, занимающей место e ^x выше. ^[3] Аналогично, нет причин иметь одну переменную, и экспоненциальный многочлен от n переменных будет иметь вид P ( x ₁ , ..., x _n , e ^{x ₁} , ..., e ^{x _n} ), где P — многочлен от 2 n переменных.

Для формальных экспоненциальных многочленов над полем K мы поступаем следующим образом. ^[4] Пусть W — конечно порожденный Z - подмодуль K и рассмотрим конечные суммы вида

${\displaystyle \sum _{i=1}^{m}f_{i}(X)\exp(w_{i}X)\ ,}$

где f _i — многочлены в K [ X ], а exp( w _i  X ) — формальные символы, индексированные w _i в W, подчиняющиеся exp( u + v ) = exp( u ) exp( v ).

Более общая структура, в которой можно найти термин «экспоненциальный многочлен», — это экспоненциальные функции на абелевых группах. Аналогично тому, как определяются экспоненциальные функции на экспоненциальных полях, для топологической абелевой группы G гомоморфизм из G в аддитивную группу комплексных чисел называется аддитивной функцией, а гомоморфизм в мультипликативную группу ненулевых комплексных чисел называется экспоненциальной функцией или просто экспонентой. Произведение аддитивных функций и экспонент называется экспоненциальным мономом, а их линейная комбинация — тогда экспоненциальным многочленом на G. [ ^{5] [6]}

Теорема Ритта утверждает, что аналоги уникальной факторизации и теоремы о факторах справедливы для кольца экспоненциальных многочленов. ^[4]

Экспоненциальные многочлены на R и C часто появляются в теории трансцендентных чисел , где они появляются как вспомогательные функции в доказательствах, включающих экспоненциальную функцию. Они также действуют как связующее звено между теорией моделей и аналитической геометрией . Если определить экспоненциальное многообразие как множество точек в R ^{n ,} где некоторый конечный набор экспоненциальных многочленов обращается в нуль, то результаты, подобные теореме Хованского в дифференциальной геометрии и теореме Уилки в теории моделей, показывают, что эти многообразия ведут себя хорошо в том смысле, что набор таких многообразий стабилен относительно различных теоретико-множественных операций, пока допускается включение изображения при проекциях многомерных экспоненциальных многообразий. Действительно, две вышеупомянутые теоремы подразумевают, что множество всех экспоненциальных многообразий образует о-минимальную структуру над R .

Экспоненциальные полиномы также появляются в характеристическом уравнении, связанном с линейными дифференциальными уравнениями с запаздыванием .

• Квазиполиномиальный