Настоящее закрытое поле

В математике вещественное замкнутое поле — это поле F , которое имеет те же свойства первого порядка, что и поле вещественных чисел . Некоторые примеры — поле вещественных чисел, поле вещественных алгебраических чисел и поле гипервещественных чисел .

Действительное замкнутое поле — это поле F, в котором выполняется любое из следующих эквивалентных условий:

1. F элементарно эквивалентно действительным числам. Другими словами, оно имеет те же свойства первого порядка, что и действительные числа: любое предложение на языке полей первого порядка истинно в F тогда и только тогда, когда оно истинно в действительных числах.
2. На F существует полный порядок, делающий его упорядоченным полем , таким образом, что в этом порядке каждый положительный элемент F имеет квадратный корень в F , а любой многочлен нечетной степени с коэффициентами в F имеет по крайней мере один корень в F.
3. F — формально вещественное поле, такое что каждый многочлен нечетной степени с коэффициентами в F имеет по крайней мере один корень в F , и для каждого элемента a из F существует b в F такой, что a  =  b ² или a  = − b ² .
4. F не является алгебраически замкнутым , но его алгебраическое замыкание является конечным расширением .
5. F не является алгебраически замкнутым, но расширение поля алгебраически замкнуто.${\displaystyle F({\sqrt {-1}}\,)}$
6. Существует упорядочение на F , которое не распространяется на упорядочение на каком-либо собственном алгебраическом расширении F.
7. F — формально действительное поле, такое, что никакое собственное алгебраическое расширение F не является формально действительным. (Другими словами, поле является максимальным в алгебраическом замыкании относительно свойства быть формально действительным.)
8. На F существует упорядочение, делающее его упорядоченным полем, при этом упорядочении теорема о промежуточном значении справедлива для всех многочленов над F со степенью ≥ 0.
9. F — слабо o-минимальное упорядоченное поле. ^[1]

• поле действительных алгебраических чисел
• поле вычислимых чисел
• поле определяемых чисел
• поле действительных чисел
• поле рядов Пюизе с действительными коэффициентами
• месторождение Леви-Чивита
• поля гиперреальных чисел
• поля суперреальных чисел
• поле сюрреалистических чисел (это правильный класс , а не множество )

Если F — упорядоченное поле, теорема Артина–Шрайера утверждает, что F имеет алгебраическое расширение, называемое действительным замыканием K поля F , такое, что K — действительное замкнутое поле, упорядочение которого является расширением заданного упорядочения на F , и является единственным с точностью до единственного изоморфизма полей, тождественных на F ^[2] (заметим, что каждый гомоморфизм колец между действительными замкнутыми полями автоматически сохраняет порядок , поскольку x  ≤  y тогда и только тогда, когда ∃ z  : y  =  x  +  z ² ). Например, действительное замыкание упорядоченного поля рациональных чисел является полем действительных алгебраических чисел. Теорема названа в честь Эмиля Артина и Отто Шрайера , которые доказали ее в 1926 году.${\displaystyle \mathbb {R} _ {\ mathrm {alg} }}$

Если ( F , P ) — упорядоченное поле, а E — расширение Галуа поля F , то по лемме Цорна существует максимальное упорядоченное расширение поля ( M , Q ) с M — подполем поля E , содержащим F , и порядком на M , расширяющим P . Это M , вместе с его порядком Q , называется относительным действительным замыканием поля ( F , P ) в E . Мы называем ( F , P ) действительно замкнутым относительно E , если M — это просто F . Когда E — алгебраическое замыкание поля F , относительное действительное замыкание поля F в E на самом деле является действительным замыканием поля F , описанным ранее. ^[3]

Если F является полем (не предполагается никакого упорядочения, совместимого с операциями поля, и не предполагается, что F является упорядочиваемым), то F все еще имеет реальное замыкание, которое может быть уже не полем, а просто реальным замкнутым кольцом . Например, реальное замыкание поля — это кольцо (две копии соответствуют двум упорядочениям ). С другой стороны, если рассматривается как упорядоченное подполе , его реальное замыкание снова будет полем .${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$ ${\displaystyle \mathbb {R} _ {\mathrm {alg} } \!\times \mathbb {R} _ {\ mathrm {alg} }}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$${\displaystyle \mathbb {Q} ({\sqrt {2}})}$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \mathbb {R} _ {\ mathrm {alg} }}$

Язык вещественных замкнутых полей включает символы для операций сложения и умножения, константы 0 и 1 и отношение порядка ≤ (а также равенство, если это не считается логическим символом). На этом языке (первопорядковая) теория вещественных замкнутых полей, , состоит из всех предложений, которые вытекают из следующих аксиом:${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$

• аксиомы упорядоченных полей ;​
• аксиома, утверждающая, что каждое положительное число имеет квадратный корень;
• для каждого нечетного числа аксиома, утверждающая, что все многочлены степени имеют по крайней мере один корень.${\displaystyle д}$${\displaystyle д}$

Все эти аксиомы могут быть выражены в логике первого порядка (т.е. квантификация распространяется только на элементы поля). Обратите внимание, что это всего лишь набор всех предложений первого порядка, которые истинны относительно поля действительных чисел.${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$

Тарский показал, что является полным , что означает, что любое -предложение может быть доказано как истинное или ложное из приведенных выше аксиом. Кроме того, является разрешимым , что означает, что существует алгоритм для определения истинности или ложности любого такого предложения. Это было сделано путем демонстрации исключения кванторов : существует алгоритм, который, учитывая любую -формулу , которая может содержать свободные переменные , производит эквивалентную бескванторную формулу с теми же свободными переменными, где эквивалентность означает, что две формулы истинны для точно таких же значений переменных. Доказательство Тарского использует обобщение теоремы Штурма . Поскольку истинность бескванторных формул без свободных переменных можно легко проверить, это дает желаемую процедуру принятия решения. Эти результаты были получены около  1930 года и опубликованы в 1948 году. ^[4]${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$${\displaystyle {\mathcal {T}}_{\text{rcf}}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$

Теорема Тарского–Зейденберга расширяет этот результат до следующей теоремы о проекции . Если R — действительное замкнутое поле, формула с n свободными переменными определяет подмножество R ⁿ , множество точек, удовлетворяющих формуле. Такое подмножество называется полуалгебраическим множеством . При наличии подмножества из k переменных проекция из R ⁿ в R ^k является функцией , которая отображает каждый n -кортеж в k -кортеж компонентов, соответствующих подмножеству переменных. Теорема о проекции утверждает, что проекция полуалгебраического множества является полуалгебраическим множеством, и что существует алгоритм, который при наличии бескванторной формулы, определяющей полуалгебраическое множество, производит бескванторную формулу для его проекции.

Фактически, теорема о проекции эквивалентна исключению квантора, поскольку проекция полуалгебраического множества, определяемого формулой p ( x , y ) , определяется как

${\displaystyle (\exists x)P(x,y),}$

где x и y представляют собой соответственно набор исключенных переменных и набор сохраненных переменных.

Разрешимость теории первого порядка действительных чисел существенно зависит от примитивных операций и функций, которые рассматриваются (здесь сложение и умножение). Добавление других символов функций, например, синуса или показательной функции , может привести к неразрешимым теориям; см. теорему Ричардсона и Разрешимость теорий первого порядка действительных чисел .

Более того, полнота и разрешимость теории первого порядка действительных чисел (с использованием сложения и умножения) резко контрастируют с результатами Гёделя и Тьюринга о неполноте и неразрешимости теории первого порядка натуральных чисел (с использованием сложения и умножения). Противоречия нет, поскольку утверждение « x — целое число» не может быть сформулировано как формула первого порядка в языке .${\displaystyle {\mathcal {L}}_{\text{rcf}}}$

Первоначальный алгоритм Тарского для исключения квантификаторов имеет неэлементарную вычислительную сложность , что означает, что ни одна башня

${\displaystyle 2^{2^{\cdot ^{\cdot ^{\cdot ^{n}}}}}}$

может ограничить время выполнения алгоритма, если n — размер входной формулы. Цилиндрическое алгебраическое разложение , введенное Джорджем Э. Коллинзом , обеспечивает гораздо более практичный алгоритм сложности

${\displaystyle d^{2^{O(n)}}}$

где n — общее число переменных (свободных и связанных), d — произведение степеней полиномов, встречающихся в формуле, а O ( n ) — обозначение O большое .

Дэвенпорт и Хайнц (1988) доказали, что эта сложность в худшем случае почти оптимальна для исключения кванторов, создав семейство Φ _n формул длины O ( n ) с n кванторами и включающее многочлены постоянной степени, так что любая формула без кванторов, эквивалентная Φ _{n ,} должна включать многочлены степени и длины , где — большая нотация Omega . Это показывает, что как временная сложность, так и пространственная сложность исключения кванторов по своей сути являются дважды экспоненциальными .${\displaystyle 2^{2^{\Omega (n)}}}$${\displaystyle 2^{2^{\Omega (n)}},}$${\displaystyle \Omega (n)}$

Что касается проблемы принятия решений, то Бен-Ор, Козен и Рейф (1986) заявили, что доказали, что теория вещественных замкнутых полей разрешима в экспоненциальном пространстве и, следовательно, за двойное экспоненциальное время, но их аргумент (в случае более чем одной переменной) обычно считается ошибочным; см. обсуждение в Renegar (1992).

Для чисто экзистенциальных формул, то есть для формул вида

∃ x ₁ , ..., ∃ x _k P ₁ ( x ₁ , ..., x _k ) ⋈ 0 ∧ ... ∧ P _s ( x ₁ , ..., x _k ) ⋈ 0,

где ⋈ обозначает либо <, >, либо  = , сложность ниже. Басу и Рой (1996) предоставили хорошо работающий алгоритм для определения истинности такой экзистенциальной формулы со сложностью s ^{k +1} d ^{O ( k )} арифметических операций и полиномиальным пространством .

Крайне важным свойством действительных чисел является то, что это архимедово поле , то есть оно обладает архимедовым свойством, что для любого действительного числа существует целое число , большее его по абсолютной величине . Обратите внимание, что это утверждение невыразимо на языке первого порядка упорядоченных полей, поскольку на этом языке невозможно количественно выразить целые числа.

Существуют вещественно-замкнутые поля, которые не являются архимедовыми ; например, любое поле гипервещественных чисел является вещественно-замкнутым и неархимедовым. Эти поля содержат бесконечно большие (больше любого целого числа) и бесконечно малые (положительные, но меньшие любого положительного рационального числа) элементы.

Свойство Архимеда связано с понятием конфинальности . Множество X , содержащееся в упорядоченном множестве F, конфинально в F , если для каждого y в F существует x в X , такой что y < x . Другими словами, X является неограниченной последовательностью в F. Конфинальность F — это мощность наименьшего конфинального множества, то есть размер наименьшей мощности, дающей неограниченную последовательность. Например, натуральные числа конфинальны в вещественных числах, и поэтому конфинальность вещественных чисел равна .${\displaystyle \aleph _{0}}$

Таким образом, мы имеем следующие инварианты, определяющие природу действительного замкнутого поля F :

• Мощность F .
• Конфинальность F.​

К этому мы можем добавить

• Вес F , представляющий собой минимальный размер плотного подмножества F.

Эти три кардинальных числа говорят нам многое о свойствах порядка любого действительного замкнутого поля, хотя может быть трудно обнаружить, каковы они, особенно если мы не готовы ссылаться на обобщенную гипотезу континуума . Существуют также особые свойства, которые могут или не могут иметь место:

• Поле F полно, если не существует упорядоченного поля K, собственно содержащего F , такого, что F плотно в K. Если конфинальность F равна κ , это эквивалентно утверждению, что последовательности Коши, индексированные κ , сходятся в F.
• Упорядоченное поле F обладает свойством эта-множества η _α для порядкового числа α , если для любых двух подмножеств L и U из F мощности меньше, чем такой, что каждый элемент из L меньше каждого элемента из U , существует элемент x в F с x, большим, чем каждый элемент из L , и меньшим, чем каждый элемент из U. Это тесно связано с теоретико-модельным свойством быть насыщенной моделью ; любые два действительных замкнутых поля являются η _α тогда и только тогда, когда они -насыщены, и, более того, два действительных замкнутых поля η _α, оба мощности которых являются порядково изоморфными .${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$${\displaystyle \aleph _{\alpha }}$

Характеристики вещественных замкнутых полей становятся намного проще, если мы готовы принять обобщенную гипотезу континуума . Если гипотеза континуума верна, все вещественные замкнутые поля с мощностью континуума и имеющие свойство η ₁ являются порядково изоморфными. Это уникальное поле Ϝ может быть определено с помощью ультрастепени , как , где M — максимальный идеал, не приводящий к полю, порядково изоморфному . Это наиболее часто используемое поле гипервещественных чисел в нестандартном анализе , и его уникальность эквивалентна гипотезе континуума. (Даже без гипотезы континуума мы имеем, что если мощность континуума равна , то мы имеем уникальное поле η _β размера .)${\displaystyle \mathbb {R} ^{\mathbb {N} }/\mathbf {M} }$${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \aleph _{\beta }}$${\displaystyle \aleph _{\beta }}$

Более того, нам не нужны ультрастепени для построения Ϝ , мы можем сделать это гораздо более конструктивно как подполе рядов со счетным числом ненулевых членов поля формальных степенных рядов на полностью упорядоченной абелевой делимой группе G , которая является группой мощности η ₁ (Alling 1962).${\displaystyle \mathbb {R} [[G]]}$ ${\displaystyle \aleph _{1}}$

Ϝ , однако, не является полным полем; если мы возьмем его завершение, мы получим поле Κ большей мощности. Ϝ имеет мощность континуума, которая по гипотезе равна , Κ имеет мощность и содержит Ϝ как плотное подполе. Это не ультрастепень, но это гиперреальное поле, и, следовательно, подходящее поле для использования нестандартного анализа. Можно видеть, что это более многомерный аналог действительных чисел; с мощностью вместо , конфинальностью вместо и весом вместо , и со свойством η ₁ вместо свойства η ₀ (что просто означает, что между любыми двумя действительными числами мы можем найти другое).${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{2}}$${\displaystyle \aleph _{2}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$${\displaystyle \aleph _{1}}$${\displaystyle \aleph _{0}}$

Аксиомы Тарского являются системой аксиом для первой («элементарной») части евклидовой геометрии . Используя эти аксиомы, можно показать, что точки на прямой образуют действительное замкнутое поле R, и можно ввести координаты так, чтобы евклидова плоскость отождествлялась с R ² . Используя разрешимость теории действительных замкнутых полей, Тарский затем доказал, что элементарная теория евклидовой геометрии является полной и разрешимой. ^[4]

• Alling, Norman L. (1962), "О существовании вещественно-замкнутых полей, которые являются η _α -множествами мощности ℵ _α .", Trans. Amer. Math. Soc. , 103 : 341–352, doi : 10.1090/S0002-9947-1962-0146089-X , MR  0146089
• Басу, Саугата, Ричард Поллак и Мари-Франсуаза Руа (2003) «Алгоритмы в реальной алгебраической геометрии» в Алгоритмы и вычисления в математике . Springer. ISBN 3-540-33098-4 (онлайн-версия) 
• Майкл Бен-Ор, Декстер Козен и Джон Рейф, Сложность элементарной алгебры и геометрии , Журнал компьютерных и системных наук 32 (1986), № 2, стр. 251–264.
• Кэвинесс, Б.Ф. и Джереми Р. Джонсон, ред. (1998) Устранение квантификаторов и цилиндрическая алгебраическая декомпозиция . Springer. ISBN 3-211-82794-3 
• Чэнь Чун Чан и Говард Джером Кейслер (1989) Теория моделей . Северная Голландия.
• Дейлс, Х. Г. и В. Хью Вудин (1996) Сверхреальные поля . Oxford Univ. Press.
• Дэвенпорт, Джеймс Х.; Хайнц , Йос (1988). «Устранение вещественных квантификаторов является дважды экспоненциальным». J. Symb. Comput . 5 (1–2): 29–35. doi : 10.1016/s0747-7171(88)80004-x . Zbl  0663.03015.
• Эфрат, Идо (2006). Оценки, упорядочения и теория Милнора K. Математические обзоры и монографии. Том 124. Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество . ISBN 0-8218-4041-X. Збл  1103.12002.
• Макферсон, Д., Маркер, Д. и Стейнхорн, К., Слабо о-минимальные структуры и вещественно замкнутые поля , Trans. of the American Math. Soc., Vol. 352, No. 12, 1998.
• Мишра, Бхубанешвар (1997) «Вычислительная вещественная алгебраическая геометрия», в Справочнике по дискретной и вычислительной геометрии . CRC Press. Издание 2004 г., стр. 743. ISBN 1-58488-301-4 
• Раджваде, AR (1993). Квадраты . Серия заметок к лекциям Лондонского математического общества. Том 171. Cambridge University Press . ISBN 0-521-42668-5. Збл  0785.11022.
• Ренегар, Джеймс (1992). «О вычислительной сложности и геометрии теории вещественных чисел первого порядка. Часть I: Введение. Предварительные сведения. Геометрия полуалгебраических множеств. Проблема принятия решений для экзистенциальной теории вещественных чисел». Журнал символических вычислений . 13 (3): 255–299. doi : 10.1016/S0747-7171(10)80003-3 .
• Пассмор, Грант (2011). Комбинированные процедуры принятия решений для нелинейной арифметики, вещественной и комплексной (PDF) (PhD). Эдинбургский университет .
• Альфред Тарский (1951) Метод решения для элементарной алгебры и геометрии . Издательство Калифорнийского университета.
• Эрдёш, П.; Гиллман, Л.; Хенриксен, М. (1955), «Теорема об изоморфизме для вещественно-замкнутых полей», Ann. of Math. , 2, 61 (3): 542–554, doi :10.2307/1969812, JSTOR  1969812, MR  0069161

На Викискладе есть медиафайлы по теме Real close field .

• Сервер препринтов по реальной алгебраической и аналитической геометрии
• Сервер препринтов Model Theory