Определимое действительное число

Неформально, определяемое действительное число — это действительное число , которое может быть однозначно определено его описанием. Описание может быть выражено как конструкция или как формула формального языка . Например, положительный квадратный корень из 2, , может быть определен как единственное положительное решение уравнения , и его можно построить с помощью циркуля и линейки.${\displaystyle {\sqrt {2}}}$${\displaystyle x^{2}=2}$

Различные варианты формального языка или его интерпретации приводят к различным понятиям определимости. Конкретные разновидности определимых чисел включают конструктивные числа геометрии, алгебраические числа и вычислимые числа . Поскольку формальные языки могут иметь только счетное число формул, каждое понятие определимых чисел имеет не более счетного числа определяемых действительных чисел. Однако, согласно диагональному аргументу Кантора , существует несчетное число действительных чисел, поэтому почти каждое действительное число неопределимо.

Один из способов задания действительного числа использует геометрические методы. Действительное число является конструируемым числом, если существует метод построения отрезка прямой длины с помощью циркуля и линейки, начиная с фиксированного отрезка прямой длины 1.${\displaystyle r}$${\displaystyle r}$

Каждое положительное целое число и каждое положительное рациональное число конструируемы. Положительный квадратный корень из 2 конструируем. Однако кубический корень из 2 не конструируем; это связано с невозможностью удвоения куба .

Действительное число называется действительным алгебраическим числом , если существует многочлен , только с целыми коэффициентами, так что является корнем , то есть . Каждое действительное алгебраическое число можно определить индивидуально, используя отношение порядка для действительных чисел. Например, если многочлен имеет 5 действительных корней, третий можно определить как единственный такой, что и такой, что существует два различных числа, меньших, чем , при котором равно нулю.${\displaystyle r}$ ${\displaystyle p(x)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p(r)=0}$${\displaystyle q(x)}$${\displaystyle r}$${\displaystyle q(r)=0}$${\displaystyle r}$${\displaystyle д}$

Все рациональные числа конструируемы, и все конструируемые числа являются алгебраическими. Существуют числа, такие как кубический корень из 2, которые являются алгебраическими, но не конструируемыми.

Действительные алгебраические числа образуют подполе действительных чисел. Это означает, что 0 и 1 являются алгебраическими числами и, более того, если и являются алгебраическими числами, то также являются , , и, если не равно нулю, .${\displaystyle а}$${\displaystyle б}$${\displaystyle а+б}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle ab}$${\displaystyle б}$${\displaystyle а/б}$

Действительные алгебраические числа также обладают свойством, выходящим за рамки того, чтобы быть подполем действительных чисел, а именно: для каждого положительного целого числа и каждого действительного алгебраического числа все корни степени -1 , которые являются действительными числами, также являются алгебраическими.${\displaystyle n}$${\displaystyle а}$${\displaystyle n}$${\displaystyle а}$

Существует только счетное множество алгебраических чисел, но существует несчетное множество действительных чисел, поэтому в смысле мощности большинство действительных чисел не являются алгебраическими. Это неконструктивное доказательство того, что не все действительные числа являются алгебраическими, было впервые опубликовано Георгом Кантором в его статье 1874 года « О свойстве совокупности всех действительных алгебраических чисел ».

Неалгебраические числа называются трансцендентными числами . Наиболее известные трансцендентные числа — это π и e .

Действительное число является вычислимым числом, если существует алгоритм, который, учитывая натуральное число , производит десятичное расширение для числа с точностью до десятичных знаков. Это понятие было введено Аланом Тьюрингом в 1936 году. ^[1]${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Вычислимые числа включают алгебраические числа вместе со многими трансцендентными числами, включая и . Подобно алгебраическим числам, вычислимые числа также образуют подполе действительных чисел, а положительные вычислимые числа замкнуты относительно взятия корней для каждого положительного .${\displaystyle \пи}$ ${\displaystyle е}$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$

Не все действительные числа вычислимы. Конкретные примеры невычислимых действительных чисел включают пределы последовательностей Шпеккера и алгоритмически случайные действительные числа, такие как числа Чайтина Ω .

Другое понятие определимости исходит из формальных теорий арифметики, таких как арифметика Пеано . В языке арифметики есть символы для 0, 1, операции следования, сложения и умножения, предназначенные для интерпретации обычным образом над натуральными числами . Поскольку никакие переменные этого языка не пробегают действительные числа , для ссылки на действительные числа требуется другой вид определимости. Действительное число определимо в языке арифметики (или арифметическом ), если его сечение Дедекинда можно определить как предикат в этом языке; то есть, если в языке арифметики есть формула первого порядка с тремя свободными переменными, такая что Здесь m , n и p пробегают неотрицательные целые числа.${\displaystyle а}$${\displaystyle \varphi}$$${\displaystyle \forall m\,\forall n\,\forall p\left(\varphi (n,m,p)\iff {\frac {(-1)^{p}\cdot n}{m+1}}<a\right).}$$

Язык арифметики второго порядка такой же, как и язык первого порядка, за исключением того, что переменные и квантификаторы могут располагаться в пределах множеств натуральных чисел. Действительное число, которое можно определить на языке арифметики второго порядка, называется аналитическим .

Каждое вычислимое действительное число является арифметическим, а арифметические числа образуют подполе действительных чисел, как и аналитические числа. Каждое арифметическое число является аналитическим, но не каждое аналитическое число является арифметическим. Поскольку существует только счетное число аналитических чисел, большинство действительных чисел не являются аналитическими, и, следовательно, также не являются арифметическими.

Каждое вычислимое число является арифметическим, но не каждое арифметическое число является вычислимым. Например, предел последовательности Шпеккера является арифметическим числом, которое не является вычислимым.

Определения арифметических и аналитических вещественных чисел можно стратифицировать в арифметическую иерархию и аналитическую иерархию . В общем случае вещественное число вычислимо тогда и только тогда, когда его разрез Дедекинда находится на уровне арифметической иерархии, одном из самых низких уровней. Аналогично, вещественные числа с арифметическими разрезами Дедекинда образуют самый низкий уровень аналитической иерархии.${\displaystyle \Delta _{1}^{0}}$

Действительное число определимо в первом порядке на языке теории множеств без параметров , если существует формула на языке теории множеств с одной свободной переменной , такая, что — единственное действительное число, такое что выполняется. ^[2] Это понятие не может быть выражено в виде формулы на языке теории множеств.${\displaystyle а}$${\displaystyle \varphi}$${\displaystyle а}$${\displaystyle \varphi (а)}$

Все аналитические числа, и в частности все вычислимые числа, определяются на языке теории множеств. Таким образом, действительные числа, определяемые на языке теории множеств, включают все знакомые действительные числа, такие как 0 , 1 , , , и т. д., а также все алгебраические числа. Если предположить, что они образуют множество в модели, действительные числа, определяемые на языке теории множеств над конкретной моделью ZFC, образуют поле. ${\displaystyle \пи}$${\displaystyle е}$

Каждая модель множеств теории множеств ZFC, которая содержит несчетное число действительных чисел, должна содержать действительные числа, которые не определимы внутри (без параметров). Это следует из того факта, что существует только счетное число формул, и поэтому только счетное число элементов из может быть определимо над . Таким образом, если имеет несчетное число действительных чисел, можно доказать «извне» , что не каждое действительное число из определимо над . ${\displaystyle М}$${\displaystyle М}$${\displaystyle М}$${\displaystyle М}$${\displaystyle М}$${\displaystyle М}$${\displaystyle М}$${\displaystyle М}$

Этот аргумент становится более проблематичным, если его применять к моделям классов ZFC, таким как вселенная фон Неймана . Утверждение «действительное число определимо над моделью классов » не может быть выражено как формула ZFC. ^{[3] [4]} Аналогично, вопрос о том, содержит ли вселенная фон Неймана действительные числа, которые она не может определить, не может быть выражен как предложение на языке ZFC. Более того, существуют счетные модели ZFC, в которых все действительные числа, все наборы действительных чисел, функции от действительных чисел и т. д. являются определимыми. ^{[3] [4]}${\displaystyle x}$${\displaystyle N}$

• Парадокс Берри
• Конструируемая вселенная
• Entscheidungsproblem
• Порядково определяемое множество
• Парадокс Ричарда
• Теорема Тарского о неопределимости