Рациональное разнообразие

В математике рациональное многообразие — это алгебраическое многообразие над заданным полем K , которое бирационально эквивалентно проективному пространству некоторой размерности над K. Это означает, что его функциональное поле изоморфно

${\displaystyle K(U_{1},\dots,U_{d}),}$

поле всех рациональных функций для некоторого набора неизвестных , где d — размерность многообразия.${\displaystyle \{U_{1},\точки ,U_{d}\}}$

Пусть V — аффинное алгебраическое многообразие размерности d, определяемое простым идеалом I  = ⟨ f ₁ , ..., f _k ⟩ в . Если V рационально, то существует n  + 1 многочлен g ₀ , ..., g _n в , такой что Другими словами, мы имеем${\displaystyle K[X_{1},\точки ,X_{n}]}$${\displaystyle K(U_{1},\dots,U_{d})}$${\displaystyle f_{i}(g_{1}/g_{0},\ldots ,g_{n}/g_{0})=0.}$рациональная параметризация многообразия.${\displaystyle x_{i}={\frac {g_{i}}{g_{0}}}(u_{1},\ldots ,u_{d})}$

Наоборот, такая рациональная параметризация индуцирует гомоморфизм поля функций V в . Но этот гомоморфизм не обязательно относится к . Если такая параметризация существует, то многообразие называется унирациональным. Теорема Люрота (см. ниже) подразумевает, что унирациональные кривые рациональны. Теорема Кастельнуово также подразумевает, что в нулевой характеристике каждая унирациональная поверхность рациональна.${\displaystyle K(U_{1},\dots,U_{d})}$

Вопрос о рациональности спрашивает, является ли заданное расширение поля рациональным , в том смысле, что оно (с точностью до изоморфизма) является полем функций рационального многообразия; такие расширения поля также описываются как чисто трансцендентные . Точнее, вопрос о рациональности для расширения поля заключается в следующем: изоморфно ли полю рациональных функций над по числу неопределенностей, заданных степенью трансцендентности ?${\displaystyle K\subset L}$${\displaystyle L}$ ${\displaystyle К}$

Существует несколько различных вариаций этого вопроса, вытекающих из способа построения полей и .${\displaystyle К}$${\displaystyle L}$

Например, пусть будет полем, и пусть${\displaystyle К}$

${\displaystyle \{y_{1},\dots,y_{n}\}}$

быть неопределенными над K и пусть L будет полем, порожденным над K ими. Рассмотрим конечную группу, переставляющую эти неопределенные над K . Согласно стандартной теории Галуа , множество неподвижных точек этого группового действия является подполем , обычно обозначаемым . Вопрос рациональности для называется проблемой Нётер и спрашивает, является ли это поле неподвижных точек чисто трансцендентным расширением K . В статье (Нётер 1918) по теории Галуа она изучала проблему параметризации уравнений с заданной группой Галуа, которую она свела к «проблеме Нётер». (Она впервые упомянула эту проблему в (Noether 1913), где приписала ее авторство Э. Фишеру.) Она показала, что это верно для n = 2, 3 или 4. RG Swan  (1969) нашел контрпример к проблеме Нётер с n = 47 и G — циклической группой порядка 47.${\displaystyle G}$${\displaystyle L}$${\displaystyle L^{G}}$${\displaystyle K\subset L^{G}}$

Знаменитый случай — проблема Люрота , которую Якоб Люрот решил в девятнадцатом веке. Проблема Люрота касается подрасширений L поля K ( X ), рациональных функций от единственной неопределенной X . Любое такое поле либо равно K , либо также рационально, то есть L = K ( F ) для некоторой рациональной функции F . В геометрических терминах это утверждает, что непостоянное рациональное отображение из проективной прямой в кривую C может иметь место только тогда, когда C также имеет род 0. Этот факт можно геометрически вывести из формулы Римана–Гурвица .

Хотя теорема Люрота часто рассматривается как неэлементарный результат, несколько элементарных коротких доказательств известны уже давно. Эти простые доказательства используют только основы теории поля и лемму Гаусса для примитивных многочленов (см., например, ^[1] ).

Унирациональное многообразие V над полем K — это многообразие, доминируемое рациональным многообразием, так что его функциональное поле K ( V ) лежит в чистом трансцендентном поле конечного типа (которое может быть выбрано имеющим конечную степень над K ( V ), если K бесконечно). Решение проблемы Люрота показывает, что для алгебраических кривых рациональное и унирациональное — одно и то же, а теорема Кастельнуово подразумевает, что для комплексных поверхностей унирациональное влечет рациональное, поскольку оба характеризуются обращением в нуль как арифметического рода , так и второго плюригенуса . Зарисский нашел несколько примеров ( поверхностей Зарисского ) в характеристике p  > 0, которые являются унирациональными, но не рациональными. Клеменс и Гриффитс (1972) показали, что кубическое трехмерное многообразие в общем случае не является рациональным многообразием, что является примером для трех измерений, что унирациональность не влечет рациональность. В их работе использовался промежуточный якобиан . Исковских и Манин (1971) показали, что все неособые квартики трехмерных многообразий иррациональны, хотя некоторые из них унирациональны. Артин и Мамфорд (1972) обнаружили некоторые унирациональные трехмерные многообразия с нетривиальным кручением в своей третьей группе когомологий, что подразумевает, что они нерациональны.

Для любого поля K Янош Коллар доказал в 2000 году, что гладкая кубическая гиперповерхность размерности не менее 2 унирациональна, если она имеет точку, определенную над K . Это улучшение многих классических результатов, начиная со случая кубических поверхностей (которые являются рациональными многообразиями над алгебраическим замыканием). Другими примерами многообразий, которые, как показано, унирациональны, являются многие случаи пространства модулей кривых. ^[2]

Рационально связное многообразие V — это проективное алгебраическое многообразие над алгебраически замкнутым полем, такое, что через каждые две точки проходит образ регулярного отображения из проективной прямой в V. Эквивалентно, многообразие рационально связно, если каждые две точки соединены рациональной кривой, содержащейся в многообразии. ^[3]

Это определение отличается от определения связности путей только природой пути, но оно существенно отличается, поскольку единственные рационально связанные алгебраические кривые — это рациональные кривые.

Каждое рациональное многообразие, включая проективные пространства , рационально связно, но обратное утверждение ложно. Класс рационально связных многообразий, таким образом, является обобщением класса рациональных многообразий. Унирациональные многообразия рационально связны, но неизвестно, верно ли обратное утверждение.

Многообразие V называется стабильно рациональным, если является рациональным для некоторого . Таким образом, любое рациональное многообразие по определению стабильно рационально. Примеры, построенные Бовиллем и др. (1985), показывают, что обратное утверждение неверно.${\displaystyle V\times \mathbf {P} ^{м}}$${\displaystyle m\geq 0}$

Шрайдер (2019) показал, что весьма общие гиперповерхности не являются стабильно рациональными, при условии, что степень V составляет по крайней мере .${\displaystyle V\subset \mathbf {P} ^{N+1}}$${\displaystyle \log _{2}N+2}$

• Рациональная кривая
• Рациональная поверхность
• сорт Севери–Брауэра
• Бирациональная геометрия

• Артин, Майкл ; Мамфорд, Дэвид (1972), «Некоторые элементарные примеры унирациональных многообразий, которые не являются рациональными», Труды Лондонского математического общества , Третья серия, 25 : 75–95, CiteSeerX  10.1.1.121.2765 , doi :10.1112/plms/s3-25.1.75, ISSN  0024-6115, MR  0321934
• Бовиль, Арно; Коллио-Телен, Жан-Луи; Сансук, Жан-Жак; Суиннертон-Дайер, Питер (1985), «Variétés Stablement rationnelles non rationnelles», Annals of Mathematics , Second Series, 121 (2): 283–318, doi : 10.2307/1971174, JSTOR  1971174, MR  0786350
• Клеменс, К. Герберт ; Гриффитс, Филлип А. (1972), «Промежуточный якобиан кубического трехмерного многообразия», Annals of Mathematics , вторая серия, 95 (2): 281–356, CiteSeerX  10.1.1.401.4550 , doi :10.2307/1970801, ISSN  0003-486X, JSTOR  1970801, MR  0302652
• Исковских, ВА; Манин, Ю. И. (1971), "Трехмерные квартики и контрпримеры к проблеме Люрота", Математический сборник , Новая серия, 86 (1): 140–166, Bibcode :1971SbMat..15..141I, doi :10.1070/SM1971v015n01ABEH001536, MR  0291172
• Коллар, Янош ; Смит, Карен Э.; Корти , Алессио (2004), Рациональные и почти рациональные многообразия, Cambridge Studies in Advanced Mathematics, т. 92, Cambridge University Press , doi : 10.1017/CBO9780511734991, ISBN 978-0-521-83207-6, МР  2062787
• Нётер, Эмми (1913), «Обоснование Funktionenkörper», Дж. Бер. д. ДМВ , 22 : 316–319.
• Нётер, Эмми (1918), «Gleichungen mit vorgeschriebener Gruppe», Mathematische Annalen , 78 (1–4): 221–229, doi : 10.1007/BF01457099, S2CID  122353858.
• Свон, РГ (1969), «Инвариантные рациональные функции и проблема Стинрода», Inventiones Mathematicae , 7 (2): 148–158, Bibcode : 1969InMat...7..148S, doi : 10.1007/BF01389798, S2CID  121951942
• Мартине, Ж. (1971), «Exp. 372 Un contre-exmple à une гипотеза Э. Нётер (д'апре Р. Свон);», Семинар Бурбаки. Том. 1969/70: Exposés 364–381 , Конспекты лекций по математике, том. 189, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , MR  0272580
• Шрайдер, Стефан (2019), «Устойчиво иррациональные гиперповерхности малых уклонов», Журнал Американского математического общества , 32 (4): 1171–1199, arXiv : 1801.05397 , doi : 10.1090/jams/928, S2CID  119326067