Случайная обобщенная модель Лотки–Вольтерры
Модель в теоретической экологии и статистической механике
Пример динамики в фазах с единственной фиксированной точкой и множественными аттракторами с видами. Для обеих симуляций . Для UFP, ; для MA, . С = 64 {\displaystyle S=64} ( μ α , γ , К , σ К ) = ( 4 , 0 , 1 , 0 ) {\displaystyle (\mu _{\alpha},\gamma,K,\sigma _{K})=(4,0,1,0)} σ α = 1 {\displaystyle \сигма _{\альфа}=1} σ α = 2 {\displaystyle \сигма _{\альфа}=2}

Случайная обобщенная модель Лотки–Вольтерры (rGLV) — это экологическая модель и случайный набор связанных обыкновенных дифференциальных уравнений , где параметры обобщенного уравнения Лотки–Вольтерры выбираются из распределения вероятностей , аналогично подавленному беспорядку . rGLV моделирует динамику сообщества видов, в котором численность каждого вида растет до уровня транспортной емкости , но истощается из-за конкуренции со стороны других видов. Она часто анализируется в пределе многих видов с использованием инструментов из статистической физики , в частности из теории спинового стекла .

rGLV использовался как инструмент для анализа возникающего макроскопического поведения в микробных сообществах с плотными, сильными межвидовыми взаимодействиями. Модель служила контекстом для теоретических исследований, изучающих отношения разнообразия и стабильности в экологии сообщества [1] и свойства статического и динамического сосуществования . [2] [3] Динамическое поведение в rGLV было экспериментально отображено в микрокосмах сообщества. [4] Модель rGLV также служила объектом интереса для сообщества физиков спинового стекла и неупорядоченных систем для разработки новых методов и численных методов. [5] [6] [7] [8] [9]

Определение

Случайная обобщенная модель Лотки–Вольтерры записывается как система связанных обыкновенных дифференциальных уравнений , [1] [2] [4] [10] где — обилие видов , — число видов, — пропускная способность видов при отсутствии взаимодействий, задает временную шкалу и — случайная матрица , элементы которой являются случайными величинами со средним значением , дисперсией и корреляциями для , где . Матрица взаимодействия , , может быть параметризована как, где — стандартные случайные величины (т. е. нулевое среднее значение и единичная дисперсия) с для . Элементы матрицы могут иметь любое распределение с общими конечными первыми и вторыми моментами и будут давать идентичные результаты в большом пределе из-за центральной предельной теоремы . Пропускные способности также можно рассматривать как случайные величины с Анализы методами, вдохновленными статистической физикой, выявили фазовые переходы между различными качественными поведениями модели в пределе многих видов . В некоторых случаях это может включать переходы между существованием уникальной глобально притягивающей неподвижной точки и хаотическими , устойчивыми флуктуациями. г Н я г т = г я К я Н я ( К я − Н я − ∑ дж ( ≠ я ) α я дж Н дж ) , я = 1 , … , С , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} N_{i}}{\mathrm {d} t}}={\frac {r_{i}}{K_{i}}}N_{i}\left(K_{i}-N_{i}-\sum _{j(\neq i)}\alpha _{ij}N_{j}\right),\qquad i=1,\dots ,S,} Н я {\displaystyle N_{i}} я {\displaystyle я} С {\displaystyle S} К я {\displaystyle K_{i}} я {\displaystyle я} г я {\displaystyle r_{i}} α {\displaystyle \альфа} ⟨ α я дж ⟩ = μ α / С {\displaystyle \langle \alpha _{ij} \rangle =\mu _{\alpha }/S} в а г ( α я дж ) = σ α 2 / С {\displaystyle \mathrm {var} (\alpha _{ij})=\sigma _{\alpha }^{2}/S} с о г г ( α я дж , α дж я ) = γ {\displaystyle \mathrm {corr} (\alpha _{ij},\alpha _{ji})=\gamma } я ≠ дж {\displaystyle i\neq j} − 1 ≤ γ ≤ 1 {\displaystyle -1\leq \гамма \leq 1} α {\displaystyle \альфа} α я дж = μ α С + σ α С а я дж , {\displaystyle \alpha _{ij}={\frac {\mu _{\alpha }}{S}}+{\frac {\sigma _{\alpha }}{\sqrt {S}}}a_{ij},} а я дж {\displaystyle a_{ij}} ⟨ а я дж а дж я ⟩ = γ {\displaystyle \langle a_{ij}a_{ji}\rangle =\gamma } я ≠ дж {\displaystyle i\neq j} С {\displaystyle S} ⟨ К я ⟩ = К , вар ⁡ ( К я ) = σ К 2 . {\displaystyle \langle K_{i}\rangle =K,\,\operatorname {var} (K_{i})=\sigma _{K}^{2}.}

Стационарное содержание в термодинамическом пределе

В термодинамическом пределе (т. е. сообщество имеет очень большое количество видов), где существует уникальная глобально привлекательная фиксированная точка, распределение численности видов можно вычислить с помощью метода полости, предполагая, что система является самоусредняющейся . Предположение о самоусреднении означает, что распределение численности любого вида между выборками параметров модели соответствует распределению численности видов в пределах одной выборки параметров модели. В методе полости вводится дополнительный вид среднего поля , и реакция системы аппроксимируется линейно. Расчет полости дает самосогласованное уравнение , описывающее распределение численности видов как случайную величину среднего поля, . Когда , уравнение среднего поля имеет вид, [1] где , а — стандартная нормальная случайная величина . Принимаются только экологически неуязвимые решения (т. е. выбирается наибольшее решение для в квадратном уравнении). Соответствующая восприимчивость и моменты , которые имеют усеченное нормальное распределение , определяются самосогласованно. я = 0 {\displaystyle я=0} Н 0 {\displaystyle N_{0}} σ К = 0 {\displaystyle \сигма _{К}=0} 0 = Н 0 ( К − μ α м − Н 0 + д ( μ α 2 + γ σ α 2 ) З + σ α 2 γ χ Н 0 ) , {\displaystyle 0=N_{0}\left(K-\mu _{\alpha }m-N_{0}+{\sqrt {q\left(\mu _{\alpha }^{2}+\gamma \sigma _{\alpha }^{2}\right)}}Z+\sigma _{\alpha }^{2}\gamma \chi N_{0}\right),} м = ⟨ Н 0 ⟩ , д = ⟨ Н 0 2 ⟩ , χ = ⟨ ∂ Н 0 / ∂ К 0 ⟩ {\displaystyle m=\langle N_{0}\rangle,\,q=\langle N_{0}^{2}\rangle,\,\chi =\langle \partial N_{0}/\partial K_{0 }\rangle } З ∼ Н ( 0 , 1 ) {\displaystyle Z\sim {\mathcal {N}}(0,1)} Н 0 {\displaystyle N_{0}} Н 0 {\displaystyle N_{0}}

Динамические фазы

В термодинамическом пределе, где есть асимптотически большое число видов (т.е. ), есть три различных фазы : одна, в которой есть уникальная фиксированная точка (UFP), другая с множественными аттракторами (MA), и третья с неограниченным ростом. В фазе MA, в зависимости от того, пополняется ли численность видов с небольшой скоростью, может ли приближаться к произвольно малым размерам популяции или удаляться из сообщества, когда популяция падает ниже некоторого предела, результирующая динамика может быть хаотичной с постоянными колебаниями или приближаться к стационарному состоянию, зависящему от начальных условий. [1] С → ∞ {\displaystyle S\to \infty }

Переход из фазы UFP в фазу MA сигнализируется тем, что решение полости становится неустойчивым к неупорядоченным возмущениям. Когда граница фазового перехода возникает, когда параметры удовлетворяют, В этом случае фазовая граница все еще может быть рассчитана аналитически, но решение в замкнутой форме не найдено; необходимы численные методы для решения самосогласованных уравнений, определяющих фазовую границу. σ К = 0 {\displaystyle \сигма _{К}=0} σ α = 2 1 + γ . {\displaystyle \sigma _{\alpha }={\frac {\sqrt {2}}{1+\gamma }}.} σ К > 0 {\displaystyle \сигма _{К}>0}


Переход к фазе неограниченного роста сигнализируется расхождением , вычисленным при расчете полости. ⟨ Н 0 ⟩ {\displaystyle \langle N_{0}\rangle }

Динамическая теория среднего поля

Метод полости также может быть использован для получения динамической модели теории среднего поля для динамики. Расчет полости дает самосогласованное уравнение, описывающее динамику как гауссовский процесс , определяемый самосогласованным уравнением (для ), [8] где , — гауссовский процесс с нулевым средним с автокорреляцией , а — динамическая восприимчивость, определяемая в терминах функциональной производной динамики относительно зависящего от времени возмущения несущей способности. σ К = 0 {\displaystyle \сигма _{К}=0} г Н 0 г т = Н 0 ( т ) [ К 0 − Н 0 ( т ) − μ α м ( т ) − σ α η ( т ) + γ σ α 2 ∫ 0 т г т ′ χ ( т , т ′ ) Н 0 ( т ′ ) ] , {\displaystyle {\frac {\mathrm {d} N_{0}}{\mathrm {d} t}}=N_{0}(t)\left[K_{0}-N_{0}(t)-\mu _{\alpha }m(t)-\sigma _{\alpha }\eta (t)+\gamma \sigma _{\alpha }^{2}\int _{0}^{t}\mathrm {d} t'\,\chi (t,t')N_{0}(t')\right],} м ( т ) = ⟨ Н 0 ( т ) ⟩ {\displaystyle m(t)=\langle N_{0}(t)\rangle } η {\displaystyle \эта} ⟨ η ( т ) η ( т ′ ) ⟩ = ⟨ Н 0 ( т ) Н 0 ( т ′ ) ⟩ {\ displaystyle \ langle \ eta (t) \ eta (t ') \ rangle = \ langle N_ {0} (t) N_ {0} (t ') \ rangle } χ ( т , т ′ ) = ⟨ δ Н 0 ( т ) / δ К 0 ( т ′ ) | К 0 ( т ′ ) = К 0 ⟩ {\displaystyle \chi (t,t')=\langle \left.\delta N_{0}(t)/\delta K_{0}(t')\right|_{K_{0}(t')=K_{0}}\rangle }

Используя динамическую теорию среднего поля, было показано, что на больших временах динамика демонстрирует старение, при котором характерный масштаб времени, определяющий распад корреляций, линейно увеличивается в течение динамики. То есть, когда велико, где — автокорреляционная функция динамики, а — общая функция масштабирования коллапса. [8] [11] С Н ( т , т + т τ ) → ф ( τ ) {\displaystyle C_{N}(t,t+t\tau )\to f(\tau )} т {\displaystyle т} С Н ( т , т ′ ) = ⟨ Н ( т ) Н ( т ′ ) ⟩ {\displaystyle C_{N}(t,t')=\langle N(t)N(t')\rangle } ф ( τ ) {\displaystyle f(\тау)}

Когда добавляется небольшая скорость иммиграции (т.е. небольшая константа добавляется к правой части уравнений движения), динамика достигает состояния , инвариантного по времени . В этом случае динамика демонстрирует скачки между и обилием. [12] λ ≪ 1 {\displaystyle \лямбда \ll 1} О ( 1 ) {\displaystyle O(1)} О ( λ ) {\displaystyle O(\lambda )}

Ссылки

  1. ^ abcd Бунин, Гай (2017-04-28). "Экологические сообщества с динамикой Лотки-Вольтерры". Physical Review E. 95 ( 4): 042414. Bibcode :2017PhRvE..95d2414B. doi :10.1103/PhysRevE.95.042414. PMID  28505745.
  2. ^ ab Serván, Carlos A.; Capitán, José A.; Grilli, Jacopo; Morrison, Kent E.; Allesina, Stefano (август 2018 г.). «Сосуществование многих видов в случайных экосистемах». Nature Ecology & Evolution . 2 (8): 1237– 1242. Bibcode : 2018NatEE...2.1237S. doi : 10.1038/s41559-018-0603-6. ISSN  2397-334X. PMID  29988167. S2CID  49668570.
  3. ^ Пирс, Майкл Т.; Агарвала, Атиш; Фишер, Дэниел С. (2020-06-23). ​​«Стабилизация обширного мелкомасштабного разнообразия экологически обусловленным пространственно-временным хаосом». Труды Национальной академии наук . 117 (25): 14572– 14583. Bibcode : 2020PNAS..11714572P. doi : 10.1073/pnas.1915313117 . ISSN  0027-8424. PMC 7322069. PMID 32518107  . 
  4. ^ ab Ху, Цзилян; Амор, Даниэль Р.; Барбье, Матье; Бунин, Гай; Гор, Джефф (2022-10-07). «Возникающие фазы экологического разнообразия и динамики, отображенные в микрокосмах». Science . 378 (6615): 85– 89. Bibcode :2022Sci...378...85H. doi :10.1126/science.abm7841. ISSN  0036-8075. PMID  36201585. S2CID  240251815.
  5. ^ Сидхом, Лаура; Галла, Тобиас (2020-03-02). «Экологические сообщества из случайной обобщенной динамики Лотки-Вольтерры с нелинейной обратной связью». Physical Review E. 101 ( 3): 032101. arXiv : 1909.05802 . Bibcode : 2020PhRvE.101c2101S. doi : 10.1103/PhysRevE.101.032101. hdl : 10261/218552. PMID  32289927. S2CID  214667872.
  6. ^ Бироли, Джулио; Бунин, Гай; Каммарота, Кьяра (август 2018 г.). «Маржинально устойчивые равновесия в критических экосистемах». New Journal of Physics . 20 (8): 083051. arXiv : 1710.03606 . Bibcode : 2018NJPh...20h3051B. doi : 10.1088/1367-2630/aada58. ISSN  1367-2630.
  7. ^ Рос, Валентина; Рой, Феликс; Бироли, Джулио; Бунин, Гай; Тернер, Ари М. (2023-06-21). «Обобщенные уравнения Лотки-Вольтерры со случайными невзаимными взаимодействиями: типичное число равновесий». Physical Review Letters . 130 (25): 257401. arXiv : 2212.01837 . Bibcode :2023PhRvL.130y7401R. doi :10.1103/PhysRevLett.130.257401. PMID  37418712. S2CID  254246297.
  8. ^ abc Рой, Ф.; Бироли, Г.; Бунин, Г.; Каммарота, К. (29.11.2019). «Численная реализация динамической теории среднего поля для неупорядоченных систем: применение к модели экосистем Лотки–Вольтерры». Journal of Physics A: Mathematical and Theoretical . 52 (48): 484001. arXiv : 1901.10036 . Bibcode :2019JPhA...52V4001R. doi :10.1088/1751-8121/ab1f32. ISSN  1751-8113. S2CID  59336358.
  9. ^ Арнул де Пирей, Тибо; Бунин, Гай (2024-03-05). «Многовидовые экологические флуктуации как скачок процесса от грани вымирания». Physical Review X. 14 ( 1): 011037. arXiv : 2306.13634 . doi : 10.1103/PhysRevX.14.011037.
  10. ^ Altieri, Ada; Roy, Felix; Cammarota, Chiara; Biroli, Giulio (2021-06-23). ​​"Свойства равновесий и стекловидных фаз случайной модели Лотки-Вольтерры с демографическим шумом". Physical Review Letters . 126 (25): 258301. arXiv : 2009.10565 . Bibcode : 2021PhRvL.126y8301A. doi : 10.1103/PhysRevLett.126.258301. hdl : 11573/1623024. PMID  34241496. S2CID  221836142.
  11. ^ Арнул де Пирей, Тибо; Бунин, Гай (2024-03-05). «Многовидовые экологические флуктуации как скачок процесса от грани вымирания». Physical Review X. 14 ( 1): 011037. arXiv : 2306.13634 . doi : 10.1103/PhysRevX.14.011037.
  12. ^ Арнул де Пирей, Тибо; Бунин, Гай (2024-03-05). «Многовидовые экологические флуктуации как скачок процесса от грани вымирания». Physical Review X. 14 ( 1): 011037. arXiv : 2306.13634 . doi : 10.1103/PhysRevX.14.011037.

Дальнейшее чтение

  • Конспект лекций Стефано Аллесины по курсу «Экология сообщества»: https://stefanoallesina.github.io/Theoretical_Community_Ecology/
  • Бунин, Гай (28.04.2017). "Экологические сообщества с динамикой Лотки-Вольтерры". Physical Review E. 95 (4): 042414. Bibcode:2017PhRvE..95d2414B. doi:10.1103/PhysRevE.95.042414. PMID 28505745.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Random_generalized_Lotka–Volterra_model&oldid=1215553517"