Динамическая теория среднего поля
Метод определения электронной структуры сильно коррелированных материалов

Динамическая теория среднего поля ( DMFT ) — это метод определения электронной структуры сильно коррелированных материалов . В таких материалах приближение независимых электронов, которое используется в теории функционала плотности и обычных расчетах зонной структуры , нарушается. Динамическая теория среднего поля, непертурбативная трактовка локальных взаимодействий между электронами, заполняет пробел между пределом почти свободного электронного газа и атомным пределом физики конденсированного состояния . [1]

DMFT состоит в отображении многочастичной решеточной задачи в многочастичную локальную задачу, называемую моделью примесей. [2] В то время как решеточная задача в общем случае неразрешима, модель примесей обычно решается с помощью различных схем. Отображение само по себе не является приближением. Единственное приближение, сделанное в обычных схемах DMFT, состоит в том, чтобы предположить, что собственная энергия решетки является независимой от импульса (локальной) величиной. Это приближение становится точным в пределе решеток с бесконечной координацией . [3]

Одним из главных успехов DMFT является описание фазового перехода между металлом и изолятором Мотта при увеличении силы электронных корреляций . Он был успешно применен к реальным материалам в сочетании с приближением локальной плотности теории функционала плотности. [4] [5]

Связь с теорией среднего поля

Обработка DMFT решеточных квантовых моделей похожа на обработку теории среднего поля (MFT) классических моделей, таких как модель Изинга . [6] В модели Изинга проблема решетки отображается на эффективную односайтовую задачу, намагниченность которой должна воспроизводить намагниченность решетки через эффективное «среднее поле». Это условие называется условием самосогласованности. Оно предусматривает, что односайтовые наблюдаемые должны воспроизводить решеточные «локальные» наблюдаемые посредством эффективного поля. В то время как N-сайтовый гамильтониан Изинга трудно решить аналитически (на сегодняшний день аналитические решения существуют только для 1D и 2D случаев), односайтовая задача решается легко.

Аналогично, DMFT отображает решеточную задачу ( например, модель Хаббарда ) на односайтовую задачу. В DMFT локальной наблюдаемой является локальная функция Грина . Таким образом, условием самосогласованности для DMFT является воспроизведение примесной функцией Грина локальной функции Грина решетки через эффективное среднее поле, которое в DMFT является гибридизационной функцией примесной модели. DMFT обязана своим названием тому факту, что среднее поле зависит от времени или является динамическим. Это также указывает на основное различие между MFT Изинга и DMFT: MFT Изинга отображает задачу N-спин в односайтовую, односпиновую задачу. DMFT отображает решеточную задачу на односайтовую задачу, но последняя по сути остается задачей N-тел, которая фиксирует временные флуктуации из-за электрон-электронных корреляций. Δ ( τ ) {\displaystyle \Delta (\tau)} Δ ( τ ) {\displaystyle \Delta (\tau)}

Описание DMFT для модели Хаббарда

Отображение DMFT

Одноорбитальная модель Хаббарда

Модель Хаббарда [7] описывает взаимодействие электронов с противоположным спином на месте с помощью одного параметра, . Гамильтониан Хаббарда может иметь следующий вид: У {\displaystyle U}

ЧАС Хаббард = т ∑ ⟨ я дж ⟩ σ с я σ † с дж σ + У ∑ я н я ↑ н я ↓ {\displaystyle H_{\text{Хаббард}}=t\sum _{\langle ij\rangle \sigma }c_{i\sigma }^{\dagger }c_{j\sigma }+U\sum _{i}n_{i\uparrow }n_{i\downarrow }}

где, при подавлении индексов спина 1/2 , обозначают операторы рождения и уничтожения электрона на локализованной орбитали на месте , и . σ {\displaystyle \сигма} с я † , с я {\displaystyle c_{i}^{\dagger },c_{i}} я {\displaystyle я} н я = с я † с я {\displaystyle n_{i}=c_{i}^{\dagger }c_{i}}

Были сделаны следующие предположения:

  • только одна орбиталь вносит вклад в электронные свойства (как это может быть в случае атомов меди в сверхпроводящих купратах , чьи -зоны невырождены), г {\displaystyle д}
  • орбитали настолько локализованы, что учитываются только прыжки между ближайшими соседями т {\displaystyle т}

Вспомогательная задача: модель примесей Андерсона

Модель Хаббарда в общем случае не поддается обработке обычными методами расширения возмущений. DMFT отображает эту решеточную модель на так называемую модель примеси Андерсона (AIM). Эта модель описывает взаимодействие одного узла (примеси) с «ванной» электронных уровней (описываемых операторами уничтожения и создания и ) через функцию гибридизации. Модель Андерсона, соответствующая нашей одноузловой модели, представляет собой одноорбитальную модель примеси Андерсона, гамильтониан которой, при подавлении некоторых индексов спина 1/2 , имеет вид: а п σ {\displaystyle a_{p\sigma}} а п σ † {\displaystyle a_{p\sigma }^{\dagger }} σ {\displaystyle \сигма}

ЧАС ЦЕЛЬ = ∑ п ϵ п а п † а п ⏟ ЧАС ванна + ∑ п σ ( В п σ с σ † а п σ + час . с . ) ⏟ ЧАС смешивание + У н ↑ н ↓ − μ ( н ↑ + н ↓ ) ⏟ ЧАС лок {\displaystyle H_{\text{AIM}}=\underbrace {\sum _{p}\epsilon _{p}a_{p}^{\dagger }a_{p}} _{H_{\text{bath}}}+\underbrace {\sum _{p\sigma }\left(V_{p}^{\sigma }c_{\sigma }^{\dagger }a_{p\sigma }+hc\right)} _{H_{\text{mix}}}+\underbrace {Un_{\uparrow }n_{\downarrow }-\mu \left(n_{\uparrow }+n_{\downarrow }\right)} _{H_{\text{loc}}}}

где

  • ЧАС ванна {\displaystyle H_{\text{ванна}}} описывает некоррелированные электронные уровни ванны ϵ п {\displaystyle \epsilon _{p}}
  • ЧАС лок {\displaystyle H_{\text{loc}}} описывает примесь, где два электрона взаимодействуют с энергетическими затратами У {\displaystyle U}
  • ЧАС смешивание {\displaystyle H_{\text{смесь}}} описывает гибридизацию (или соединение) между примесью и ванной через термины гибридизации В п σ {\displaystyle V_{p}^{\sigma }}

Функция Мацубары Грина этой модели, определяемая как , полностью определяется параметрами и так называемой функцией гибридизации , которая является преобразованием Фурье по мнимому времени . Г чертенок ( τ ) = − ⟨ Т с ( τ ) с † ( 0 ) ⟩ {\displaystyle G_{\text{imp}}(\tau)=-\langle Tc(\tau)c^{\dagger }(0)\rangle } У , μ {\displaystyle U,\mu } Δ σ ( я ω н ) = ∑ п | В п σ | 2 я ω н − ϵ п {\displaystyle \Delta _{\sigma }(i\omega _{n})=\sum _{p}{\frac {|V_{p}^{\sigma }|^{2}}{i\omega _{n}-\epsilon _{p}}}} Δ σ ( τ ) {\displaystyle \Дельта _{\сигма}(\тау)}

Эта гибридизационная функция описывает динамику электронов, прыгающих в ванну и из нее. Она должна воспроизводить динамику решетки таким образом, чтобы функция Грина примеси была такой же, как и функция Грина локальной решетки. Она связана с невзаимодействующей функцией Грина соотношением:

( Г 0 ) − 1 ( я ω н ) = я ω н + μ − Δ ( я ω н ) {\displaystyle ({\mathcal {G}}_{0})^{-1}(i\omega _{n})=i\omega _{n}+\mu -\Delta (i\omega _{ н})} (1)

Решение модели примесей Андерсона состоит в вычислении наблюдаемых, таких как функция взаимодействия Грина для заданной функции гибридизации и . Это сложная, но не неразрешимая проблема. Существует ряд способов решения AIM, таких как Г ( я ω н ) {\displaystyle G(i\omega _{n})} Δ ( я ω н ) {\displaystyle \Delta (я\omega _ {n})} У , μ {\displaystyle U,\mu }

Уравнения самосогласованности

Условие самосогласованности требует, чтобы примесная функция Грина совпадала с локальной решеточной функцией Грина : Г я м п ( τ ) {\displaystyle G_{\mathrm {imp} }(\tau)} Г я я ( τ ) = − ⟨ Т с я ( τ ) с я † ( 0 ) ⟩ {\displaystyle G_{ii}(\tau)=-\langle Tc_{i}(\tau)c_{i}^{\dagger }(0)\rangle }

Г я м п ( я ω н ) = Г я я ( я ω н ) = ∑ к 1 я ω н + μ − ϵ ( к ) − Σ ( к , я ω н ) {\displaystyle G_{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})=G_{ii}(i\omega _{n})=\sum _{k}{\frac {1}{i\omega _{n}+\mu -\epsilon (k)-\Sigma (k,i\omega _{n})}}}

где обозначает собственную энергию решетки. Σ ( к , я ω н ) {\displaystyle \Сигма (k,i\омега _{n})}

Приближение DMFT: локальность собственной энергии решетки

Единственные приближения DMFT (кроме приближения, которое можно сделать для решения модели Андерсона) состоят в пренебрежении пространственными флуктуациями собственной энергии решетки , путем приравнивания ее к собственной энергии примеси:

Σ ( к , я ω н ) ≈ Σ я м п ( я ω н ) {\displaystyle \Сигма (k,i\omega _{n})\approx \Сигма _{imp}(i\omega _{n})}

Это приближение становится точным в пределе решеток с бесконечной координацией, то есть когда число соседей каждого узла бесконечно. Действительно, можно показать, что в диаграммном расширении собственной энергии решетки при переходе в предел бесконечной координации выживают только локальные диаграммы.

Таким образом, как и в классических теориях среднего поля, DMFT должна становиться более точной по мере увеличения размерности (и, следовательно, числа соседей). Иными словами, для низких размерностей пространственные флуктуации сделают приближение DMFT менее надежным.

Пространственные флуктуации также становятся значимыми вблизи фазовых переходов . Здесь DMFT и классические теории среднего поля приводят к критическим показателям среднего поля , выраженные изменения перед фазовым переходом не отражаются в собственной энергии DMFT.

Цикл DMFT

Для нахождения локальной решеточной функции Грина необходимо определить функцию гибридизации так, чтобы соответствующая примесная функция Грина совпадала с искомой локальной решеточной функцией Грина. Наиболее распространенным способом решения этой задачи является использование метода прямой рекурсии, а именно, для заданного и температуры : У {\displaystyle U} μ {\displaystyle \мю} Т {\displaystyle Т}

  1. Начните с предположения (обычно, ) Σ ( к , я ω н ) {\displaystyle \Сигма (k,i\омега _{n})} Σ ( к , я ω н ) = 0 {\displaystyle \Сигма (k,i\омега _{n})=0}
  2. Сделайте приближение DMFT: Σ ( к , я ω н ) ≈ Σ я м п ( я ω н ) {\displaystyle \Sigma (k,i\omega _{n})\approx \Sigma _{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})}
  3. Вычислить локальную функцию Грина Г л о с ( я ω н ) {\displaystyle G_{\mathrm {loc} }(i\omega _{n})}
  4. Вычислить динамическое среднее поле Δ ( я ω ) = я ω н + μ − Г л о с − 1 ( я ω н ) − Σ я м п ( я ω н ) {\displaystyle \Delta (i\omega )=i\omega _{n}+\mu -G_{\mathrm {loc} }^{-1}(i\omega _{n})-\Sigma _{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})}
  5. Решаем AIM для новой примесной функции Грина , извлекаем ее собственную энергию: G i m p ( i ω n ) {\displaystyle G_{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})} Σ i m p ( i ω n ) = ( G 0 ) − 1 ( i ω n ) − ( G i m p ) − 1 ( i ω n ) {\displaystyle \Sigma _{\mathrm {imp} }(i\omega _{n})=({\mathcal {G}}_{0})^{-1}(i\omega _{n})-(G_{\mathrm {imp} })^{-1}(i\omega _{n})}
  6. Возвращаемся к шагу 2 до сходимости, а именно, когда . G i m p n = G i m p n + 1 {\displaystyle G_{\mathrm {imp} }^{n}=G_{\mathrm {imp} }^{n+1}}

Приложения

Локальная решеточная функция Грина и другие наблюдаемые примеси могут быть использованы для расчета ряда физических величин как функции корреляций , ширины полосы пропускания, заполнения (химического потенциала ) и температуры : U {\displaystyle U} μ {\displaystyle \mu } T {\displaystyle T}

  • спектральная функция (которая дает структуру полосы)
  • кинетическая энергия
  • двойное размещение сайта
  • функции отклика (сжимаемость, оптическая проводимость, удельная теплоемкость)

В частности, падение двойной занятости по мере увеличения является признаком перехода Мотта. U {\displaystyle U}

Расширения DMFT

DMFT имеет несколько расширений, распространяющих вышеуказанный формализм на многоорбитальные, многосайтовые задачи, дальние корреляции и неравновесность.

Многоорбитальное расширение

DMFT может быть расширена до моделей Хаббарда с несколькими орбиталями, а именно с электрон-электронными взаимодействиями вида , где и обозначают различные орбитали. Сочетание с теорией функционала плотности (DFT+DMFT) [4] [8] затем позволяет проводить реалистичные расчеты коррелированных материалов. [9] U α β n α n β {\displaystyle U_{\alpha \beta }n_{\alpha }n_{\beta }} α {\displaystyle \alpha } β {\displaystyle \beta }

Расширенный DMFT

Расширенная DMFT дает локальную собственную энергию примеси для нелокальных взаимодействий и, следовательно, позволяет нам применять DMFT для более общих моделей, таких как модель tJ .

Кластер DMFT

Для улучшения приближения DMFT модель Хаббарда может быть отображена на многосайтовой проблеме примеси (кластера), что позволяет добавить некоторую пространственную зависимость к собственной энергии примеси. Кластеры содержат от 4 до 8 сайтов при низкой температуре и до 100 сайтов при высокой температуре.

Приближение типичного динамического кластера среды (TMDCA) представляет собой непертурбативный подход для получения основного электронного состояния сильно коррелированных многочастичных систем, построенный на приближении динамического кластера (DCA). [10]

Диаграммные расширения

Пространственные зависимости собственной энергии за пределами DMFT, включая дальние корреляции в окрестности фазового перехода , могут быть получены также с помощью диаграммных расширений DMFT [11] с использованием комбинации аналитических и численных методов. Начальной точкой динамического вершинного приближения [12] и дуального фермионного подхода является локальная двухчастичная вершина .

Неравновесный

DMFT применялся для изучения неравновесного транспорта и оптических возбуждений. [13] Здесь надежный расчет функции Грина AIM вне равновесия остается большой проблемой. DMFT также применялся к экологическим моделям для описания динамики среднего поля сообщества с термодинамическим числом видов. [14]

Ссылки и примечания

  1. ^ A. Georges; G. Kotliar; W. Krauth; M. Rozenberg (1996). "Динамическая теория среднего поля сильно коррелированных фермионных систем и предел бесконечных измерений". Reviews of Modern Physics . 68 (1): 13. Bibcode : 1996RvMP...68...13G. doi : 10.1103/RevModPhys.68.13.
  2. ^ A. Georges и G. Kotliar (1992). «Модель Хаббарда в бесконечных измерениях». Physical Review B. 45 ( 12): 6479– 6483. Bibcode : 1992PhRvB..45.6479G. doi : 10.1103/PhysRevB.45.6479. PMID  10000408.
  3. ^ W. Metzner; D. Vollhardt (1989). "Коррелированные решеточные фермионы в d = ∞ измерениях". Physical Review Letters . 62 (3): 324– 327. Bibcode : 1989PhRvL..62..324M. doi : 10.1103/PhysRevLett.62.324. PMID  10040203.
  4. ^ ab G. Kotliar; SY Savrasov; K. Haule; VS Oudovenko; O. Parcollet; CA Marianetti (2006). "Расчеты электронной структуры с динамической теорией среднего поля". Reviews of Modern Physics . 78 (3): 865. arXiv : cond-mat/0511085 . Bibcode :2006RvMP...78..865K. doi :10.1103/RevModPhys.78.865. S2CID  119099745.
  5. ^ Д. Воллхардт (2012). «Динамическая теория среднего поля для коррелированных электронов». Аннален дер Физик . 524 (1): 1– 19. Бибкод : 2012АнП...524....1В. дои : 10.1002/andp.201100250 .
  6. ^ Antoine Georges (2004). "Материалы с сильной корреляцией электронов: динамическая теория среднего поля и электронная структура". Труды конференции AIP . Лекции по физике систем с высокой корреляцией электронов VIII. Том 715. Американский институт физики. стр.  3–74. arXiv : cond -mat/0403123 . doi :10.1063/1.1800733.
  7. ^ Джон Хаббард (1963). «Электронные корреляции в узких энергетических полосах». Труды Королевского общества A. 276 ( 1365): 238– 257. Bibcode : 1963RSPSA.276..238H. doi : 10.1098/rspa.1963.0204. S2CID  35439962.
  8. ^ K. Held (2007). «Расчеты электронной структуры с использованием динамической теории среднего поля». Adv. Phys. 56 (6): 829– 926. arXiv : cond-mat/0511293 . Bibcode :2007AdPhy..56..829H. doi :10.1080/00018730701619647. S2CID  15466043.
  9. ^ «Встроенная динамическая теория среднего поля, пакет электронной структуры, реализующий DFT+DMFT».
  10. ^ Ekuma, CE; Terletska, H.; Tam, K.-M.; Meng, Z.-Y.; Moreno, J.; Jarrell, M. (2014). "Типичное среднее динамическое кластерное приближение для изучения локализации Андерсона в трех измерениях". Physical Review B. 89 ( 8): 081107(R). arXiv : 1402.4190 . Bibcode : 2014PhRvB..89h1107E. doi : 10.1103/PhysRevB.89.081107.
  11. ^ G. Rohringer; H. Hafermann; A. Toschi; A. Katanin; AE Antipov; MI Katsnelson; AI Lichtenstein; AN Rubtsov; K. Held (2018). "Диаграммные пути к нелокальным корреляциям за пределами динамической теории среднего поля". Reviews of Modern Physics . 90 (4): 025003. arXiv : 1705.00024 . Bibcode :2018RvMP...90b5003R. doi :10.1103/RevModPhys.90.025003. S2CID  119186041.
  12. ^ A. Toschi; A. Katanin; K. Held (2007). "Динамическое вершинное приближение: шаг за пределы динамической теории среднего поля". Physical Review B. 75 ( 4): 045118. arXiv : cond-mat/0603100 . Bibcode : 2007PhRvB..75d5118T. doi : 10.1103/PhysRevB.75.045118. S2CID  119538856.
  13. ^ Аоки, Хидео; Цудзи, Наото; Экштейн, Мартин; Коллар, Маркус; Ока, Такаши; Вернер, Филипп (2014-06-24). "Неравновесная динамическая теория среднего поля и ее приложения". Reviews of Modern Physics . 86 (2): 779– 837. arXiv : 1310.5329 . Bibcode : 2014RvMP...86..779A. doi : 10.1103/RevModPhys.86.779. ISSN  0034-6861. S2CID  119213862.
  14. ^ Рой, Ф.; Бироли, Г.; Бунин, Г.; Каммарота, К. (29.11.2019). «Численная реализация динамической теории среднего поля для неупорядоченных систем: применение к модели экосистем Лотки–Вольтерры». Журнал физики A: Математическое и теоретическое . 52 (48): 484001. arXiv : 1901.10036 . Bibcode : 2019JPhA...52V4001R. doi : 10.1088/1751-8121/ab1f32. ISSN  1751-8113.

Смотрите также

  • Сильно коррелированные материалы: выводы из динамической теории среднего поля Г. Котляр и Д. Фоллхардт
  • Конспект лекций по подходу LDA+DMFT к сильно коррелированным материалам Ева Паварини, Эрик Кох, Дитер Фоллхардт и Александр Лихтенштейн (ред.)
  • Конспект лекций DMFT в 25 лет: Бесконечные измерения Ева Паварини, Эрик Кох, Дитер Воллхардт и Александр Лихтенштейн (ред.)
  • Конспект лекций DMFT – От бесконечных измерений к реальным материалам Ева Паварини, Эрик Кох, Дитер Фоллхардт и Александр Лихтенштейн (ред.)
  • Конспект лекций Динамическая теория среднего поля коррелированных электронов Ева Паварини, Эрик Кох, Дитер Фоллхардт и Александр Лихтенштейн (ред.)
  • DMFT для двухцентрового димера Хаббарда: в Динамической теории среднего поля для материалов, Ева Паварини
  • https://www.cond-mat.de/events/correl21/manuscripts/pavarini.pdf
  • DMFT для двухцентрового димера Хаббарда: в статье «Решение проблемы сильной корреляции в материалах», Ева Паварини
  • https://doi.org/10.1007/s40766-021-00025-8
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Dynamical_mean-field_theory&oldid=1240722985"