радиус Шварцшильда
Радиус горизонта событий черной дыры Шварцшильда

Радиус Шварцшильда или гравитационный радиус — физический параметр в решении Шварцшильда для уравнений поля Эйнштейна , который соответствует радиусу, определяющему горизонт событий черной дыры Шварцшильда . Это характерный радиус, связанный с любым количеством массы. Радиус Шварцшильда был назван в честь немецкого астронома Карла Шварцшильда , который вычислил это точное решение для общей теории относительности в 1916 году.

Радиус Шварцшильда определяется как, где G — гравитационная постоянная , M — масса объекта, а c — скорость света . [примечание 1] [1] [2] г с = 2 Г М с 2 , {\displaystyle r_{\text{s}}={\frac {2GM}{c^{2}}},}

История

В 1916 году Карл Шварцшильд получил точное решение [3] [4] уравнений поля Эйнштейна для гравитационного поля вне невращающегося сферически симметричного тела с массой (см. метрику Шварцшильда ). Решение содержало члены вида и , которые становятся сингулярными при и соответственно. Радиус стал известен как радиус Шварцшильда . Физическое значение этих сингулярностей обсуждалось десятилетиями. Было обнаружено, что сингулярность при является координатной, то есть она является артефактом конкретной используемой системы координат; в то время как сингулярность при является пространственно-временной и не может быть удалена. [5] Радиус Шварцшильда, тем не менее, является физически значимой величиной, как отмечено выше и ниже. М {\displaystyle М} 1 − г с / г {\displaystyle 1-{r_{\text{s}}}/r} 1 1 − г с / г {\displaystyle {\frac {1}{1-{r_{\text{s}}}/r}}} г = 0 {\displaystyle r=0} г = г с {\displaystyle r=r_{\text{s}}} г с {\displaystyle r_{\text{s}}} г = г с {\displaystyle r=r_{\text{s}}} г = 0 {\displaystyle r=0}

Это выражение ранее было рассчитано с использованием ньютоновской механики как радиус сферически симметричного тела, при котором скорость убегания равна скорости света. Оно было определено в 18 веке Джоном Мичеллом [6] и Пьером-Симоном Лапласом . [7]

Параметры

Радиус Шварцшильда объекта пропорционален его массе. Соответственно, радиус Шварцшильда у Солнца составляет приблизительно 3,0 км (1,9 мили) [8] , тогда как у Земли он составляет приблизительно 9 мм (0,35 дюйма) [8] , а у Луны — приблизительно 0,1 мм (0,0039 дюйма).

Радиус Шварцшильда объекта
ОбъектМасса М {\textstyle М} радиус Шварцшильда 2 Г М с 2 {\textstyle {\frac {2GM}{c^{2}}}} Фактический радиус г {\textstyle р} Плотность Шварцшильда или 3 с 6 32 π Г 3 М 2 {\textstyle {\frac {3c^{6}}{32\pi G^{3}M^{2}}}} 3 с 2 8 π Г г 2 {\textstyle {\frac {3c^{2}}{8\pi Gr^{2}}}}
Млечный Путь1,6 × 10 42  кг2,4 × 10 15  м (0,25  световых лет )5 × 10 20  м (52 900  св. лет )0,000 029  кг/м 3
СМЧД в Фениксе А (одна из крупнейших известных черных дыр )2 × 10 41  кг3 × 10 14  м (~2000  а.е. )0,0018 кг/м 3
Тонна 6181,3 × 10 41  кг1,9 × 10 14  м (~1300  а.е. )0,0045 кг/м 3
СМЧД в NGC 48894,2 × 10 40  кг6,2 × 10 13  м (~410  а.е. )0,042 кг/м 3
SMBH в Мессье 87 [9]1,3 × 10 40  кг1,9 × 10 13  м (~130  а.е. )0,44 кг/м 3
СМЧД в галактике Андромеды [10]3,4 × 10 38  кг5,0 × 10 11  м (3,3  а.е. )640 кг/м 3
Стрелец A* (большая черная дыра в Млечном Пути) [11]8,26 × 10 36  кг1,23 × 10 10  м (0,08  а.е. )1,068 × 10 6  кг/м 3
СМЧД в NGC 4395 [12]7,1568 × 10 35  кг1,062 × 10 9  м (1,53  R ⊙ )1,4230 × 10 8  кг/м 3
Потенциальная промежуточная черная дыра в HCN-0.009-0.044 [13] [14]6,3616 × 10 34  кг9,44 × 10 8  м (14,8  R 🜨 )1,8011 × 10 10  кг/м 3
Результирующая промежуточная черная дыра в результате слияния GW190521 [15]2,823 × 10 32  кг4,189 × 10 5  м (0,066  R 🜨 )9,125 × 10 14  кг/м 3
Солнце1,99 × 10 30  кг2,95 × 10 3  м7,0 × 10 8  м1,84 × 10 19  кг/м 3
Юпитер1,90 × 10 27  кг2,82 м7,0 × 10 7  м2,02 × 10 25  кг/м 3
Сатурн5,683 × 10 26  кг8,42 × 10 −1  м6,03 × 10 7  м2,27 × 10 26  кг/м 3
Нептун1,024 × 1026 кг1,52 × 10−1 м2,47 × 107 м6,97 × 1027 кг/м 3
Уран8,681 × 1025 кг1,29 × 10−1 м2,56 × 107 м9,68 × 1027 кг/м 3
Земля5,97 × 1024 кг8,87 × 10−3 м6,37 × 106 м2,04 × 1030 кг/м 3
Венера4,867 × 1024 кг7,21 × 10−3 м6,05 × 106 м3,10 × 1030 кг/м 3
Марс6,39 × 1023 кг9,47 × 10−4 м3,39 × 106 м1,80 × 1032 кг/м 3
Меркурий3,285 × 1023 кг4,87 × 10−4 м2,44 × 106 м6,79 × 1032 кг/м 3
Луна7,35 × 1022 кг1,09 × 10−4 м1,74 × 106 м1,35 × 1034 кг/м 3
Человек70 кг1,04 × 10−25 м~5 × 10−1 м1,49 × 1076 кг/м 3
Масса Планка2,18 × 10−8 кг3,23 × 10−35 м (2  л П )1,54 × 1095 кг/м 3

Вывод

Самый простой способ вывода радиуса Шварцшильда исходит из равенства модуля энергии покоя сферической твердой массы ее гравитационной энергии:

М с 2 = 2 Г М 2 г {\displaystyle Mc^{2}={\frac {2GM^{2}}{r}}}

Итак, радиус Шварцшильда читается как

г = 2 Г М с 2 {\displaystyle r={\frac {2GM}{c^{2}}}}

Классификация черных дыр по радиусу Шварцшильда

Классификации черных дыр
СортПриблизительная
масса		Приблизительный
радиус
Сверхмассивная черная дыра10 5 –10 11 М Солнце0,002–2000 а.е.
Черная дыра средней массы10 3 М Солнце3 x 10 3 км ≈ РМарс
Звездная черная дыра10 М Солнце30 км
Микро черная дырадо М Луныдо 0,1 мм

Любой объект, радиус которого меньше радиуса Шварцшильда, называется черной дырой . Поверхность на радиусе Шварцшильда действует как горизонт событий в невращающемся теле ( вращающаяся черная дыра действует немного иначе). Ни свет, ни частицы не могут вырваться через эту поверхность из области внутри, отсюда и название «черная дыра».

Черные дыры можно классифицировать на основе их радиуса Шварцшильда или, что эквивалентно, по их плотности, где плотность определяется как масса черной дыры, деленная на объем ее сферы Шварцшильда. Поскольку радиус Шварцшильда линейно связан с массой, а заключенный объем соответствует третьей степени радиуса, поэтому малые черные дыры намного плотнее больших. Объем, заключенный в горизонте событий самых массивных черных дыр, имеет среднюю плотность ниже, чем у звезд главной последовательности.

Сверхмассивная черная дыра

Сверхмассивная черная дыра (СМЧД) является крупнейшим типом черной дыры, хотя существует несколько официальных критериев того, как такой объект считается таковым, порядка сотен тысяч или миллиардов солнечных масс. ( Были обнаружены сверхмассивные черные дыры массой до 21 миллиарда (2,1 × 10 10 )  M ☉ , такие как NGC 4889 .) [16] В отличие от черных дыр звездной массы , сверхмассивные черные дыры имеют сравнительно низкую среднюю плотность. (Обратите внимание, что (невращающаяся) черная дыра представляет собой сферическую область в пространстве, которая окружает сингулярность в ее центре; она не является самой сингулярностью.) Имея это в виду, средняя плотность сверхмассивной черной дыры может быть меньше плотности воды.

Радиус Шварцшильда тела пропорционален его массе и, следовательно, его объему, предполагая, что тело имеет постоянную плотность массы. [17] Напротив, физический радиус тела пропорционален кубическому корню его объема. Поэтому, поскольку тело накапливает материю при заданной фиксированной плотности (в этом примере 997 кг/м 3 , плотность воды), его радиус Шварцшильда будет увеличиваться быстрее, чем его физический радиус. Когда тело с такой плотностью вырастет примерно до 136 миллионов солнечных масс (1,36 × 10 8  M ☉ ), его физический радиус будет превосходить его радиус Шварцшильда, и, таким образом, оно образует сверхмассивную черную дыру.

Считается, что сверхмассивные черные дыры, подобные этим, не формируются немедленно из единичного коллапса скопления звезд. Вместо этого они могут начать жизнь как меньшие черные дыры звездного размера и расти за счет аккреции материи или даже других черных дыр. [18]

Радиус Шварцшильда сверхмассивной черной дыры в Галактическом центре Млечного Пути составляет приблизительно 12 миллионов километров. [11] Ее масса составляет около 4,1 миллиона  M ☉ .

Звездная черная дыра

Звездные черные дыры имеют гораздо большую среднюю плотность, чем сверхмассивные черные дыры. Если накапливать материю при ядерной плотности (плотность ядра атома, около 10 18 кг/м 3 ; нейтронные звезды также достигают этой плотности), такое накопление попадет в свой собственный радиус Шварцшильда около 3  M ☉ и, таким образом, будет звездной черной дырой .

Микро черная дыра

Малая масса имеет чрезвычайно малый радиус Шварцшильда. Черная дыра с массой, подобной массе горы Эверест [19] [примечание 2], имела бы радиус Шварцшильда намного меньше нанометра . [примечание 3] Ее средняя плотность при таком размере была бы настолько высокой, что ни один известный механизм не смог бы сформировать такие чрезвычайно компактные объекты. Такие черные дыры могли бы, возможно, образоваться на ранней стадии эволюции Вселенной, сразу после Большого взрыва , когда плотности материи были чрезвычайно высоки. Поэтому эти гипотетические миниатюрные черные дыры называются первичными черными дырами .

При переходе к масштабу Планка ≈ 10−35 м гравитационный радиус удобно записать в виде , (см. также виртуальная черная дыра ). [20] ℓ П = ( Г / с 3 ) ℏ {\displaystyle \ell _{P}={\sqrt {(G/c^{3})\,\hbar }}} г с = 2 ( Г / с 3 ) М с {\displaystyle r_{s}=2\,(G/c^{3})Mc}

Другие применения

В гравитационном замедлении времени

Гравитационное замедление времени вблизи большого, медленно вращающегося, почти сферического тела, такого как Земля или Солнце, можно разумно аппроксимировать следующим образом: [21] где: т г т = 1 − г с г {\displaystyle {\frac {t_{r}}{t}}={\sqrt {1-{\frac {r_{\mathrm {s} }}{r}}}}}

  • t r — прошедшее время для наблюдателя с радиальной координатой r в гравитационном поле;
  • t — прошедшее время для наблюдателя, находящегося на расстоянии от массивного объекта (и, следовательно, вне гравитационного поля);
  • r — радиальная координата наблюдателя (аналог классического расстояния от центра объекта);
  • r s — радиус Шварцшильда.

Пересечение длин волн Комптона

Радиус Шварцшильда ( ) и длина волны Комптона ( ), соответствующие данной массе, подобны, когда масса составляет около одной массы Планка ( ), когда оба имеют тот же порядок, что и длина Планка ( ). 2 Г М / с 2 {\displaystyle 2GM/c^{2}} 2 π ℏ / М с {\displaystyle 2\pi \hbar /Mc} М = ℏ с / Г {\textstyle M={\sqrt {\hbar c/G}}} ℏ Г / с 3 {\textstyle {\sqrt {\hbar G/c^{3}}}}

Гравитационный радиус и принцип неопределенности Гейзенберга

г с = 2 Г М с 2 = 2 Г с 3 М с = 2 Г с 3 П 0 ⇒ 2 Г с 3 ℏ 2 г = ℓ П 2 г . {\displaystyle r_{s}={\frac {2GM}{c^{2}}}={\frac {2G}{c^{3}}}Mc={\frac {2G}{c^{3}}}P_{0}\Rightarrow {\frac {2G}{c^{3}}}{\frac {\hbar }{2r}}={\frac {\ell _{P}^{2}}{r}}.}

Таким образом, или , что является другой формой принципа неопределенности Гейзенберга на шкале Планка . (См. также Виртуальная черная дыра ). [20] [22] г с г ∼ ℓ П 2 {\displaystyle r_{s}r\sim \ell _{P}^{2}} Δ г с Δ г ≥ ℓ П 2 {\displaystyle \Delta r_{s}\Delta r\geq \ell _{P}^{2}}

Расчет максимально возможного объема и радиуса при заданной плотности до образования черной дыры

Уравнение радиуса Шварцшильда можно преобразовать, чтобы получить выражение, которое дает максимально возможный радиус из входной плотности, не образующей черную дыру. Принимая входную плотность за ρ ,

г с = 3 с 2 8 π Г ρ . {\displaystyle r_{\text{s}}={\sqrt {\frac {3c^{2}}{8\pi G\rho }}}.}

Например, плотность воды равна1000 кг/м 3 . Это означает, что наибольшее количество воды, которое может быть у вас без образования черной дыры, будет иметь радиус 400 920 754 км (около 2,67 а.е. ).

Смотрите также

Классификация черных дыр по типу:

Классификация черных дыр по массе:

Примечания

  1. ^ В геометрических системах единиц G и c принимаются равными единице, что сводит это уравнение к . г с = 2 М {\displaystyle r_{\text{s}}=2M}
  2. ^ Используя эти значения, [19] можно рассчитать оценку массы6,3715 × 10 14  кг .
  3. ^ Можно вычислить радиус Шварцшильда: 2 ×6,6738 × 10−11  м3 ⋅кг − 1 ⋅с − 2 ×6,3715 × 10 14  кг / (299 792 458  м⋅с −1 ) 2 =9,46 × 10−13  м =​9,46 × 10−4  нм .​

Ссылки

  1. ^ Катнер, Марк Лесли (2003). Астрономия: физическая перспектива (2-е изд.). Кембридж, Великобритания; Нью-Йорк: Cambridge University Press . стр. 148. ISBN 978-0-521-82196-4.
  2. ^ Guidry, MW (2019). Современная общая теория относительности: черные дыры, гравитационные волны и космология . Кембридж; Нью-Йорк, Нью-Йорк: Cambridge University Press. стр. 92. ISBN 978-1-107-19789-3.
  3. ^ Шварцшильд, Карл (1916). «Über das Gravitationsfeld eines Massenpunktes nach der Einsteinschen Theorie». Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften : 189. Бибкод : 1916SPAW.......189S.
  4. ^ Шварцшильд, Карл (1916). «Über das Gravitationsfeld einer Kugel aus incompressibler Flüssigkeit nach der Einsteinschen Theorie». Sitzungsberichte der Königlich Preussischen Akademie der Wissenschaften zu Berlin : 424. Бибкод : 1916skpa.conf..424S.
  5. ^ Уолд, Роберт (1984). Общая теория относительности . Издательство Чикагского университета. С. 152–153. ISBN 978-0-226-87033-5.
  6. ^ Шаффер, Саймон (1979). «Джон Мичелл и черные дыры». Журнал истории астрономии . 10 : 42– 43. Bibcode :1979JHA....10...42S. doi :10.1177/002182867901000104. S2CID  123958527 . Получено 4 июня 2018 г.
  7. ^ Монтгомери, Колин; Орчистон, Уэйн; Уиттингем, Ян (2009). «Мишель, Лаплас и происхождение концепции черной дыры» (PDF) . Журнал астрономической истории и наследия . 12 (2): 90. Bibcode :2009JAHH...12...90M. doi :10.3724/SP.J.1440-2807.2009.02.01. S2CID  55890996. Архивировано из оригинала (PDF) 2 мая 2014 г.
  8. ^ ab Андерсон, Джеймс Л. (2001). "VC Поле Шварцшильда, горизонты событий и черные дыры". В Мейер, Роберт А. (ред.). Энциклопедия физической науки и технологии (третье издание) . Кембридж, Массачусетс: Academic Press . ISBN 978-0-12-227410-7. Получено 23 октября 2023 г. .
  9. ^ Event Horizon Telescope Collaboration (2019). "Результаты первых исследований телескопа M87 Event Horizon. I. Тень сверхмассивной черной дыры". Astrophysical Journal Letters . 875 (1): L1. arXiv : 1906.11238 . Bibcode : 2019ApJ...875L...1E. doi : 10.3847/2041-8213/AB0EC7 .6,5(7) × 10 9  М ☉ =1,29(14) × 10 40  кг .
  10. ^ Бендер, Ральф; Корменди, Джон; Бауэр, Гэри; и др. (2005). «HST STIS Спектроскопия тройного ядра M31: два вложенных диска в кеплеровском вращении вокруг сверхмассивной черной дыры». Astrophysical Journal . 631 (1): 280– 300. arXiv : astro-ph/0509839 . Bibcode :2005ApJ...631..280B. doi :10.1086/432434. S2CID  53415285.1,7(6) × 10 8  М ☉ =0,34(12) × 10 39  кг .
  11. ^ ab Ghez, AM; et al. (декабрь 2008 г.). «Измерение расстояния и свойств центральной сверхмассивной черной дыры Млечного Пути с помощью звездных орбит». Astrophysical Journal . 689 (2): 1044– 1062. arXiv : 0808.2870 . Bibcode :2008ApJ...689.1044G. doi :10.1086/592738. S2CID  18335611.
  12. ^ Петерсон, Брэдли М.; Бенц, Мисти К.; Дерош, Луи-Бенуа; Филиппенко, Алексей В.; Хо, Луис К.; Каспи, Шай; Лаор, Ари; Маоз, Дэн; Моран, Эдвард К.; Погге, Ричард В.; Куиллен, Элис К. (20 октября 2005 г.). «Многоволновой мониторинг карликовой сейфертовской галактики 1 NGC 4395. I. Измерение массы черной дыры на основе реверберации». The Astrophysical Journal . 632 (2): 799– 808. arXiv : astro-ph/0506665 . Bibcode :2005ApJ...632..799P. doi :10.1086/444494. hdl :1811/48314. ISSN  0004-637X. S2CID  13886279.
  13. ^ «Найдена скрывающаяся черная дыра». phys.org . 1 марта 2019 г. . Получено 15 июня 2022 г. .
  14. ^ Такекава, Шунья; Ока, Томохару; Ивата, Юхэй; Цудзимото, Шихо; Номура, Марико (2019). «Признак еще одной черной дыры средней массы в центре Галактики». The Astrophysical Journal . 871 (1): L1. arXiv : 1812.10733 . Bibcode : 2019ApJ...871L...1T. doi : 10.3847/2041-8213/aafb07 .
  15. ^ Эбботт, Р.; Эбботт, ТД; Абрахам, С.; Акернезе, Ф.; Экли, К.; Адамс, К.; Адхикари, РХ; Адья, ВБ; Аффелдт, К.; Агатос, М.; Агацума, К. (2 сентября 2020 г.). «Свойства и астрофизические последствия слияния 150 M⊙ бинарных черных дыр GW190521». The Astrophysical Journal . 900 (1): L13. arXiv : 2009.01190 . Bibcode :2020ApJ...900L..13A. doi : 10.3847/2041-8213/aba493 . ISSN  2041-8213. S2CID  221447444.
  16. ^ Макконнелл, Николас Дж. (8 декабря 2011 г.). «Две черные дыры массой в десять миллиардов солнечных масс в центрах гигантских эллиптических галактик». Nature . 480 (7376): 215– 218. arXiv : 1112.1078 . Bibcode :2011Natur.480..215M. doi :10.1038/nature10636. PMID  22158244. S2CID  4408896.
  17. ^ Роберт Х. Сандерс (2013). Раскрытие сердца Галактики: Млечный Путь и его Черная Дыра. Cambridge University Press. стр. 36. ISBN 978-1-107-51274-0.
  18. ^ Пакуччи, Фабио; Лёб, Абрахам (1 июня 2020 г.). «Разделение аккреции и слияний в космическом росте чёрных дыр с помощью рентгеновских и гравитационно-волновых наблюдений». The Astrophysical Journal . 895 (2): 95. arXiv : 2004.07246 . Bibcode :2020ApJ...895...95P. doi : 10.3847/1538-4357/ab886e . S2CID  215786268.
  19. ^ ab "Как масса одного моля M&M's сравнить с массой горы Эверест?" (PDF) . Школа науки и технологий, Сингапур. Март 2003 г. Архивировано из оригинала (PDF) 10 декабря 2014 г. Получено 8 декабря 2014 г. Если предположить, что гора Эверест* представляет собой конус высотой 8850 м и радиусом 5000 м, то ее объем можно рассчитать с помощью следующего уравнения: объем = π r 2 h /3 [...] Гора Эверест состоит из гранита, плотность которого составляет
    2750 кг⋅м −3 .
  20. ^ ab AP Klimets. (2023). Квантовая гравитация. Current Research in Statistics & Mathematics, 2(1), 141-155.
  21. ^ Китон, Чарльз (2014). Принципы астрофизики: использование гравитации и звездной физики для исследования космоса. Конспект лекций для студентов по физике. Нью-Йорк: Springer. С. 208. ISBN 978-1-4614-9236-8.
  22. ^ Климетс AP, Центр документации философии, Западный университет Канады, 2017, стр. 25-30
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Schwarzschild_radius&oldid=1263277183"