Удлиненный квадратный гиробикупол
37-й Джонсон солидный
Удлиненный квадратный гиробикупол
ТипКанонический ,
Джонсон
Дж 36 – Дж 37 – Дж 38
Лица8 треугольников
18 квадратов
Края48
Вершины24
Конфигурация вершины 8 + 16 ( 3 ⋅ 4 3 ) {\displaystyle 8+16(3\cdot 4^{3})}
Группа симметрии Д 4 г {\displaystyle D_{4\mathrm {d} }}
Характеристикивыпуклая ,
единичная вершинная фигура
Сеть

В геометрии удлиненный квадратный гиробикупол — это многогранник, образованный двумя квадратными куполами, прикрепленными к основаниям восьмиугольной призмы , один из которых повернут. Когда-то многие математики ошибочно считали его ромбокубооктаэдром . Он не считается архимедовым телом, поскольку в нем отсутствует набор глобальных симметрий , которые отображают каждую вершину в каждую другую вершину, в отличие от 13 архимедовых тел. Он также является каноническим многогранником . По этой причине он также известен как псевдоромбокубооктаэдр , тело Миллера [1] или тело Миллера–Аскинуза [2] .

Строительство

Удлиненный квадратный гиробикупол может быть построен аналогично ромбокубооктаэдру , путем присоединения двух правильных квадратных куполов к основаниям восьмиугольной призмы , процесс, известный как удлинение . Разница между этими двумя многогранниками заключается в том, что один из двух квадратных куполов удлинённого квадратного гиробикупола скручен на 45 градусов, процесс, известный как гирация , делая треугольные грани смещенными по вертикали. [3] [1] Полученный многогранник имеет 8 равносторонних треугольников и 18 квадратов . [3] Выпуклый многогранник, в котором все грани являются правильными многоугольниками, называется телом Джонсона , и удлинённый квадратный гиробикупол входит в их число, помеченный как 37-е тело Джонсона . [ 4] Дж. 37 {\displaystyle J_{37}}

Процесс строительства удлиненного квадратного гиробикупола

Удлиненный квадратный гиробикупол, возможно, был открыт Иоганном Кеплером в его перечислении архимедовых тел, но его первое четкое появление в печати, по-видимому, относится к работе Дункана Соммервилля в 1905 году . [5] Он был независимо переоткрыт Дж. К. П. Миллером в 1930 году по ошибке при попытке построить модель ромбокубооктаэдра . Это тело было снова открыто В. Г. Ашкинусом в 1957 году. [1] [6] [7]

Характеристики

Удлиненный квадратный гиробикупол с длиной ребра имеет площадь поверхности: [3] путем сложения площади 8 равносторонних треугольников и 10 квадратов. Его объем можно вычислить, разрезав его на два квадратных купола и одну восьмиугольную призму: [3] а {\displaystyle а} ( 18 + 2 3 ) а 2 ≈ 21.464 а 2 , {\displaystyle \left(18+2{\sqrt {3}}\right)a^{2}\approx 21.464a^{2},} 12 + 10 2 3 а 3 ≈ 8.714 а 3 . {\displaystyle {\frac {12+10{\sqrt {2}}}{3}}a^{3}\approx 8.714a^{3}.}

3D модель удлиненного квадратного гиробикупола

Удлиненный квадратный гиробикупол обладает трехмерной группой симметрии порядка 16. Он локально вершинно-регулярен — расположение четырех граней, инцидентных любой вершине, одинаково для всех вершин; это уникально среди тел Джонсона. Однако способ, которым он «скручен», дает ему отдельный «экватор» и два отдельных «полюса», что, в свою очередь, делит его вершины на 8 «полярных» вершин (по 4 на полюс) и 16 «экваториальных» вершин. Поэтому он не является вершинно-транзитивным , и, следовательно, обычно не считается 14-м архимедовым телом . [1] [7] [8] Д 4 г {\displaystyle D_{4\mathrm {d} }}

Двугранный угол вытянутого квадратного гиробикупола можно определить аналогично ромбокубооктаэдру, сложив двугранный угол квадратного купола и восьмиугольной призмы: [2]

  • двугранный угол ромбокубооктаэдра между двумя соседними квадратами сверху и снизу равен углу квадратного купола 135°. Двугранный угол восьмиугольной призмы между двумя соседними квадратами равен внутреннему углу правильного восьмиугольника 135°. Двугранный угол между двумя соседними квадратами на ребре, где квадратный купол прикреплен к восьмиугольной призме, равен сумме двугранного угла квадратного купола квадрат-восьмиугольник и двугранного угла восьмиугольной призмы квадрат-восьмиугольник 45° + 90° = 135°. Следовательно, двугранный угол ромбокубооктаэдра для каждых двух соседних квадратов равен 135°.
  • двугранный угол ромбокубооктаэдра, квадрат-треугольник, равен углу квадратного купола между ними, 144,7°. Двугранный угол между квадратом-треугольником, на ребре, где квадратный купол прикреплен к восьмиугольной призме, равен сумме двугранного угла квадратного купола, треугольника-восьмиугольника, и двугранного угла восьмиугольной призмы, квадрат-восьмиугольника, 54,7° + 90° = 144,7°. Следовательно, двугранный угол ромбокубооктаэдра для каждого квадрата-треугольника равен 144,7°.

Удлиненный квадратный гиробикупол может образовывать заполняющие пространство соты с правильным тетраэдром , кубом и кубооктаэдром . Он также может образовывать другие соты с тетраэдром, квадратной пирамидой и различными комбинациями кубов, удлиненных квадратных пирамид и удлиненных квадратных бипирамид . [9]

Псевдобольшой ромбокубооктаэдр

Псевдоромбокубооктаэдр — невыпуклый аналог псевдоромбокубооктаэдра, построенный аналогичным образом из невыпуклого большого ромбокубооктаэдра .

В химии

Поливанадат - ион [ V 18 O 42 ] 12− имеет псевдоромбокубооктаэдрическую структуру, где каждая квадратная грань действует как основание пирамиды VO 5. [ 10]

Ссылки

  1. ^ abcd Кромвель, Питер Р. (1997), Многогранники, Cambridge University Press , стр. 91, ISBN 978-0-521-55432-9.
  2. ^ ab Johnson, Norman W. (1966), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Canadian Journal of Mathematics , 18 : 169–200, doi : 10.4153/cjm-1966-021-8 , MR  0185507, S2CID  122006114, Zbl  0132.14603.
  3. ^ abcd Берман, Мартин (1971), «Выпуклые многогранники с правильными гранями», Журнал Института Франклина , 291 (5): 329–352, doi :10.1016/0016-0032(71)90071-8, MR  0290245.
  4. ^ Фрэнсис, Даррил (август 2013 г.), «Твердые тела Джонсона и их аббревиатуры», Word Ways , 46 (3): 177.
  5. ^ Sommerville, DMY (1905), «Полурегулярные сети плоскости в абсолютной геометрии», Труды Королевского общества Эдинбурга , 41 : 725–747, doi :10.1017/s0080456800035560. Как цитирует Грюнбаум (2009).
  6. ^ Болл, Рауз (1939), Коксетер, Х.С.М. (ред.), Математические развлечения и эссе (11-е изд.), стр. 137.
  7. ^ ab Грюнбаум, Бранко (2009), «Непреходящая ошибка» (PDF) , Elemente der Mathematik , 64 (3): 89–101, doi : 10.4171/EM/120 , MR  2520469Перепечатано в Pitici, Mircea, ed. (2011). Лучшее сочинение по математике 2010 года . Princeton University Press. стр. 18–31..
  8. ^ Ландо, Сергей К.; Звонкин, Александр К. (2004), Графы на поверхностях и их приложения, Springer, стр. 114, doi :10.1007/978-3-540-38361-1, ISBN 978-3-540-38361-1.
  9. ^ "J37 honeycombs", Галерея деревянных многогранников , получено 21.03.2016
  10. ^ Гринвуд, Норман Н .; Эрншоу, Алан (1997). Химия элементов (2-е изд.). Баттерворт-Хайнеманн . стр. 986. ISBN 978-0-08-037941-8.

Дальнейшее чтение

  • Энтони Пью (1976), Многогранники: визуальный подход , Калифорния: Издательство Калифорнийского университета в Беркли, ISBN 0-520-03056-7Глава 2: Архимедовы многогранники, призмы и антипризмы, стр. 25 Псевдоромбокубооктаэдр
  • Вайсштейн, Эрик В. , «Удлиненная квадратная гиробикупола» («тело Джонсона») на MathWorld .
  • Джордж Харт: псевдоромбокубооктаэдры
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Elongated_square_gyrobicupola&oldid=1251269632"