Константы первичной линии

Константы первичной линии — это параметры, которые описывают характеристики проводящих линий передачи , таких как пары медных проводов, с точки зрения физических электрических свойств линии. Константы первичной линии относятся только к линиям передачи и должны быть сопоставлены с константами вторичной линии , которые могут быть получены из них и применяются в более общем случае. Константы вторичной линии могут использоваться, например, для сравнения характеристик волновода с медной линией, тогда как первичные константы не имеют никакого значения для волновода.

Константы — это сопротивление и индуктивность проводника, а также емкость и проводимость изолятора, которые по соглашению обозначаются символами R , L , C и G соответственно. Константы перечислены в терминах на единицу длины. Схемное представление этих элементов требует модели распределенных элементов , и, следовательно, для анализа схемы необходимо использовать исчисление . Анализ дает систему из двух одновременных линейных уравнений в частных производных первого порядка , которые можно объединить для получения вторичных констант характеристического импеданса и постоянной распространения .

Ряд особых случаев имеют особенно простые решения и важные практические приложения. Для кабеля с низкими потерями требуется включить в анализ только L и C , что полезно для коротких длин кабеля. Низкочастотные приложения, такие как телефонные линии с витой парой , доминируют только R и C. Высокочастотные приложения, такие как коаксиальный кабель RF , доминируют L и C. Линии, загруженные для предотвращения искажений, требуют всех четырех элементов в анализе, но имеют простое, элегантное решение.

Существует четыре основных константы линии, но в некоторых обстоятельствах некоторые из них достаточно малы, чтобы их игнорировать, и анализ можно упростить. Эти четыре константы, их символы и единицы измерения следующие:

R и L — элементы, включенные последовательно с линией (потому что они являются свойствами проводника), а C и G — элементы, шунтирующие линию (потому что они являются свойствами диэлектрического материала между проводниками). G представляет собой ток утечки через диэлектрик и в большинстве кабелей очень мал. Слово «контур» используется для того, чтобы подчеркнуть, что необходимо учитывать сопротивление и индуктивность обоих проводников. Например, если линия состоит из двух одинаковых проводов, каждый из которых имеет сопротивление 25 мОм/м, сопротивление контура вдвое больше — 50 мОм/м. Поскольку значения констант довольно малы, производители обычно указывают их на километр, а не на метр; в англоязычном мире также можно использовать «per mile». ^{[1] [2]}

Слово «константа» может ввести в заблуждение. Это означает, что они являются материальными константами; но они могут меняться в зависимости от частоты. В частности, на R сильно влияет скин-эффект . Кроме того, в то время как G практически не влияет на звуковую частоту , он может вызывать заметные потери на высокой частоте со многими диэлектрическими материалами, используемыми в кабелях из-за высокого тангенса угла потерь . Избежание потерь, вызванных G, является причиной того, что многие кабели, предназначенные для использования на УВЧ, имеют воздушную или пенную изоляцию (что делает их фактически воздушно-изолированными). ^[3] Фактическое значение константы в этом контексте заключается в том, что параметр постоянен с расстоянием . То есть предполагается, что линия однородна по длине. Это условие справедливо для подавляющего большинства линий передачи, используемых сегодня. ^[4]

† Производители обычно не указывают значение индуктивности в своих технических характеристиках. Некоторые из этих значений оцениваются на основе значений емкости и характеристического сопротивления по .${\displaystyle \scriptstyle {Z_{0}}^{2}=L/C}$

Константы линии не могут быть просто представлены как сосредоточенные элементы в цепи; они должны быть описаны как распределенные элементы . Например, «части» емкости находятся между «частями» сопротивления. На сколько бы частей ни были разбиты R и C , всегда можно утверждать, что их следует разбить еще больше, чтобы правильно представить цепь, и после каждого деления количество ячеек в цепи увеличивается. Это показано схематически на рисунке 1. Чтобы дать истинное представление цепи, элементы должны быть сделаны бесконечно малыми, так чтобы каждый элемент был распределен вдоль линии. Бесконечно малые элементы на бесконечно малом расстоянии задаются как; ^[14]${\displaystyle \scriptstyle dx}$

${\displaystyle dL=\lim _{\delta x\to 0}(L\delta x)=Ldx}$ 

${\displaystyle dR=\lim _{\delta x\to 0}(R\delta x)=Rdx}$ 

${\displaystyle dC=\lim _{\delta x\to 0}(C\delta x)=Cdx}$ 

${\displaystyle dG=\lim _{\delta x\to 0}(G\delta x)=Gdx}$ 

Для целей анализа удобно свернуть эти элементы в общие последовательные элементы импеданса , Z , и проводимости шунта , Y , такие, что:

${\displaystyle dZ=(R+i\omega L)dx=Zdx\,,}$ и,

${\displaystyle dY=(G+i\omega C)dx=Ydx\,.}$

Анализ этой сети (рисунок 2) даст вторичные линейные константы: постоянную распространения , , ( действительная и мнимая части которой являются постоянной затухания , , и постоянной изменения фазы , , соответственно) и характеристический импеданс , , который также, в общем случае, будет иметь действительную, , и мнимую, , части, что в общей сложности составляет четыре вторичные константы, которые должны быть выведены из четырех первичных констант. Термин константа еще более вводит в заблуждение для вторичных констант, поскольку они обычно довольно сильно меняются с частотой, даже в идеальной ситуации, когда первичные константы не меняются. Это происходит потому, что реактивные сопротивления в цепи ( и ) вводят зависимость от . Можно выбрать конкретные значения первичных констант, которые приводят к и не зависят от ( условие Хевисайда ), но даже в этом случае все еще есть которая прямо пропорциональна . Как и в случае с первичными константами, значение «константы» заключается в том, что вторичные константы не меняются с расстоянием вдоль линии, а не в том, что они не зависят от частоты. ^{[14] [15] [16]}${\displaystyle \scriptstyle \gamma }$${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$${\displaystyle \scriptstyle \beta }$${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$${\displaystyle \scriptstyle R_{0}}$${\displaystyle \scriptstyle X_{0}}$${\displaystyle \scriptstyle \omega L}$${\displaystyle \scriptstyle 1/(\omega C)}$${\displaystyle \scriptstyle \omega }$${\displaystyle \scriptstyle \alpha }$${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$${\displaystyle \omega }$${\displaystyle \scriptstyle \beta }$${\displaystyle \scriptstyle \omega }$

Характеристическое сопротивление линии передачи, , определяется как сопротивление, направленное в бесконечно длинную линию. Такая линия никогда не вернет отражение, поскольку падающая волна никогда не достигнет конца, чтобы отразиться. При рассмотрении конечной длины линии остаток линии можно заменить на в качестве ее эквивалентной схемы. Это так, потому что остаток линии все еще бесконечно длинный и, следовательно, эквивалентен исходной линии. Если конечный сегмент очень короткий, то в эквивалентной схеме он будет смоделирован L-сетью, состоящей из одного элемента и одного из ; остаток задается как . Это приводит к сети, показанной на рисунке 3, которую можно проанализировать с помощью обычных теорем анализа сетей , ^{[17] [18]}${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$${\displaystyle \scriptstyle dZ}$${\displaystyle \scriptstyle dY}$${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$

${\displaystyle Z_{0}=\delta Z+{\frac {Z_{0}}{1+Z_{0}\delta Y}}}$

который перестраивается в,

${\displaystyle {Z_{0}}^{2}-Z_{0}\delta Z={\frac {\delta Z}{\delta Y}}}$

Принимая ограничения обеих сторон

${\displaystyle \lim _{\delta x\to 0}({Z_{0}}^{2}-Z_{0}\delta Z)={Z_{0}}^{2}={\frac {dZ}{dY}}}$

и поскольку предполагалось, что линия однородна по длине,

${\displaystyle {Z_{0}}^{2}={\frac {Z}{Y}}}$

Отношение входного напряжения линии к напряжению на расстоянии дальше по линии (то есть после одного участка эквивалентной схемы) определяется стандартным расчетом делителя напряжения . Оставшаяся часть линии справа, как и в расчете характеристического сопротивления, заменяется на , ^{[19] [20]}${\displaystyle \scriptstyle \delta x}$${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{x1}}}={\frac {\delta Z+{\frac {Z_{0}/\delta Y}{Z_{0}+1/\delta Y}}}{\frac {Z_{0}/\delta Y}{Z_{0}+1/\delta Y}}}=1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y}$

Каждая бесконечно малая секция будет умножать падение напряжения на тот же коэффициент. После секций отношение напряжений будет,${\displaystyle \scriptstyle n}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{xn}}}=\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y\right)^{n}}$

На расстоянии вдоль линии число секций таково, что,${\displaystyle \scriptstyle x}$${\displaystyle \scriptstyle x/\delta x}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{xn}}}=\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y\right)^{\frac {x}{\delta x}}}$

В пределе, как ,${\displaystyle \scriptstyle \delta x\to 0}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{x}}}=\lim _{\delta x\to 0}{\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{xn}}}=\lim _{\delta x\to 0}\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}+\delta Z\delta Y\right)^{\frac {x}{\delta x}}}$

Член второго порядка исчезнет в пределе, поэтому мы можем записать без потери точности:${\displaystyle \scriptstyle \delta Z\delta Y}$

${\displaystyle {\frac {V_{\mathrm {i} }}{V_{x}}}=\lim _{\delta x\to 0}\left(1+{\frac {\delta Z}{Z_{0}}}\right)^{\frac {x}{\delta x}}}$

и сравнивая с математическим тождеством,

${\displaystyle e^{x}\equiv \lim _{p\to \infty }(1+1/p)^{px}}$

урожайность,

${\displaystyle V_{\mathrm {i} }=V_{x}e^{{\frac {Z}{Z_{0}}}x}}$

Из определения постоянной распространения ,

${\displaystyle V_{\mathrm {i} }=V_{x}e^{\gamma x}\,\!}$

Следовательно,

${\displaystyle \gamma ={\frac {Z}{Z_{0}}}={\sqrt {ZY}}}$

Идеальная линия передачи не будет иметь потерь, что подразумевает, что резистивные элементы равны нулю. Это также приводит к чисто реальному (резистивному) характеристическому импедансу. Идеальная линия не может быть реализована на практике, но это полезное приближение во многих обстоятельствах. Это особенно верно, например, когда короткие отрезки линии используются в качестве компонентов схемы, таких как шлейфы . Короткая линия имеет очень малые потери, и это можно игнорировать и рассматривать как идеальную линию. Вторичные константы в этих обстоятельствах: ^[21]

${\displaystyle \gamma =i\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle \alpha =0\,}$

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}}$

Обычно витая пара кабеля, используемая для аудиочастот или низких скоростей передачи данных, имеет линейные константы, в которых доминируют R и C. Диэлектрические потери обычно незначительны на этих частотах, а G близок к нулю. Также имеет место тот факт, что на достаточно низкой частоте, что означает, что L также можно игнорировать. В этих обстоятельствах вторичные константы становятся, ^[22]${\displaystyle \scriptstyle R\gg \omega L}$

${\displaystyle \gamma \approx {\sqrt {i\omega CR}}}$

${\displaystyle \alpha \approx {\sqrt {\frac {\omega CR}{2}}}}$

${\displaystyle \beta \approx {\sqrt {\frac {\omega CR}{2}}}}$

${\displaystyle Z_{0}\approx {\sqrt {\frac {R}{i\omega C}}}={\sqrt {\frac {R}{2\omega C}}}-i{\sqrt {\frac {R}{2\omega C}}}}$

Затухание этого типа кабеля увеличивается с частотой, вызывая искажение формы волны. Не так очевидно, что изменение с частотой также вызывает искажение типа, называемого дисперсией . Чтобы избежать дисперсии, требуется, чтобы было прямо пропорционально . Однако на самом деле оно пропорционально и приводит к дисперсии. также изменяется с частотой и также частично реактивно; обе эти особенности будут причиной отражений от резистивного окончания линии. Это еще один нежелательный эффект. Номинальное сопротивление, указанное для этого типа кабеля, в данном случае является весьма номинальным, будучи действительным только на одной точечной частоте, обычно указанной на 800 Гц или 1 кГц. ^{[23] [24]}${\displaystyle \scriptstyle \beta }$${\displaystyle \scriptstyle \beta }$${\displaystyle \scriptstyle \omega }$${\displaystyle \scriptstyle {\sqrt {\omega }}}$${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$

Кабель, работающий на достаточно высокой частоте ( средневолновая радиочастота или высокая скорость передачи данных), будет соответствовать условиям и . Это должно в конечном итоге иметь место, поскольку частота увеличивается для любого кабеля. При этих условиях R и G можно игнорировать (за исключением расчета потерь в кабеле), а вторичные константы становятся; ^[25]${\displaystyle \scriptstyle R\ll \omega L}$${\displaystyle \scriptstyle G\ll \omega C}$

${\displaystyle \gamma \approx i\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle \alpha \approx {\frac {LG+RC}{2{\sqrt {LC}}}}={\tfrac {1}{2}}\left(Z_{0}G+{\frac {R}{Z_{0}}}\right)\approx {\frac {R}{2Z_{0}}}}$

${\displaystyle \beta \approx \omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle Z_{0}\approx {\sqrt {\frac {L}{C}}}}$

Нагруженные линии — это линии, спроектированные с намеренно увеличенной индуктивностью. Это делается путем добавления железа или другого магнитного металла к кабелю или добавления катушек. Цель состоит в том, чтобы гарантировать, что линия соответствует условию Хевисайда , которое устраняет искажения, вызванные частотно-зависимым затуханием и дисперсией, и гарантирует, что она является постоянной и резистивной. Вторичные константы здесь связаны с первичными константами следующим образом: ^[26]${\displaystyle \scriptstyle Z_{0}}$

${\displaystyle \gamma ={\sqrt {RG}}+i\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle \alpha ={\sqrt {RG}}}$

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}}}$

${\displaystyle Z_{0}={\sqrt {\frac {L}{C}}}={\sqrt {\frac {R}{G}}}}$

Скорость распространения определяется выражением:

${\displaystyle v=\lambda f.}$

С,

${\displaystyle \omega =2\pi f}$и${\displaystyle \beta ={\frac {2\pi }{\lambda }}}$

затем,

${\displaystyle v={\frac {\omega }{\beta }}.}$

В случаях, когда β можно принять как,

${\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}}}$

скорость распространения определяется как,

${\displaystyle v={1 \over {\sqrt {LC}}}.}$

Чем ниже емкость, тем выше скорость. С воздушным диэлектрическим кабелем, который приближается к кабелю с малыми потерями, скорость распространения очень близка к c , скорости света в вакууме . ^[27]

• FR Connor, Передача волн , Edward Arnold Ltd., 1972 ISBN  0-7131-3278-7 .
• Джон Берд, Теория и технология электрических цепей , Newnes, 2007 ISBN 0-7506-8139-X . 
• Ян Хикман, Аналоговая электроника , Newnes, 1999 ISBN 0-7506-4416-8 . 
• Фред Поргес, Проектирование электротехнических систем зданий , Тейлор и Фрэнсис, 1989 ISBN 0-419-14590-7 .