Постоянная распространения
Мера изменения амплитуды и фазы волны

Постоянная распространения синусоидальной электромагнитной волны является мерой изменения, претерпеваемого амплитудой и фазой волны при ее распространении в заданном направлении. Измеряемой величиной может быть напряжение , ток в цепи или вектор поля, такой как напряженность электрического поля или плотность потока . Сама по себе постоянная распространения измеряет безразмерное изменение величины или фазы на единицу длины . В контексте двухпортовых сетей и их каскадов постоянная распространения измеряет изменение, претерпеваемое исходной величиной при ее распространении от одного порта к другому.

Значение постоянной распространения выражается логарифмически , почти повсеместно по основанию e , а не по основанию 10, которое используется в телекоммуникациях в других ситуациях. Измеряемая величина, например напряжение, выражается как синусоидальный вектор . Фаза синусоиды изменяется с расстоянием, что приводит к тому, что постоянная распространения является комплексным числом , мнимая часть которого вызвана изменением фазы.

Альтернативные названия

Термин «постоянная распространения» является несколько неправильным названием, поскольку он обычно сильно меняется с ω . Это, вероятно, наиболее широко используемый термин, но существует большое количество альтернативных названий, используемых различными авторами для этой величины. К ним относятся параметр передачи , функция передачи , параметр распространения , коэффициент распространения и постоянная передачи . Если используется множественное число, это предполагает, что α и β упоминаются отдельно, но вместе, как в параметрах передачи , параметрах распространения и т. д. В теории линий передачи α и β считаются одними из «вторичных коэффициентов», причем термин «вторичный» используется для противопоставления коэффициентам первичной линии . Первичные коэффициенты — это физические свойства линии, а именно R, C, L и G, из которых вторичные коэффициенты могут быть выведены с помощью уравнения телеграфиста . В области линий передачи термин « коэффициент передачи» имеет другое значение, несмотря на схожесть названия: он является спутником коэффициента отражения .

Определение

Постоянная распространения, символ γ , для данной системы определяется отношением комплексной амплитуды в источнике волны к комплексной амплитуде на некотором расстоянии x , таким образом, что

А 0 А х = е γ х {\displaystyle {\frac {A_{0}}{A_{x}}}=e^{\gamma x}}

Обращение приведенного выше уравнения и выделение γ приводит к получению частного натурального логарифма комплексного отношения амплитуд и пройденного расстояния x :

γ = вн ⁡ ( А 0 А х ) / х {\displaystyle \gamma =\ln \left({\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right)/x}

Поскольку константа распространения является комплексной величиной, мы можем записать:

γ знак равно α + я β {\ Displaystyle \ гамма = \ альфа + я \ бета \}

где

  • α , действительная часть, называется константой затухания
  • β , мнимая часть, называется фазовой постоянной
  • я ≡ дж ≡ − 1     ; {\displaystyle i\equiv j\equiv {\sqrt {-1\ }}\ ;} чаще всего j используется для электрических цепей.

То, что β действительно представляет фазу, можно увидеть из формулы Эйлера :

е я θ = потому что ⁡ θ + я грех ⁡ θ   {\displaystyle e^{i\theta }=\cos {\theta }+i\sin {\theta }\ }

которая представляет собой синусоиду, которая изменяется по фазе при изменении θ , но не изменяется по амплитуде, поскольку

| е я θ | = потому что 2 ⁡ θ + грех 2 ⁡ θ = 1 {\displaystyle \left|e^{i\theta}\right|={\sqrt {\cos ^{2}{\theta}+\sin ^{2}{\theta}\;}}=1}

Причина использования основания e также теперь ясна. Мнимая фазовая константа i β может быть добавлена ​​непосредственно к константе затухания α для формирования единого комплексного числа, которое может быть обработано одной математической операцией при условии, что они имеют одинаковое основание. Углы, измеренные в радианах, требуют основания e , поэтому затухание также имеет основание e .

Постоянную распространения для проводящих линий можно рассчитать из коэффициентов первичной линии с помощью соотношения

γ = З И   {\displaystyle \gamma = {\ sqrt {ZY\ }}}

где

З = Р + я   ω Л   , {\displaystyle Z=R+i\ \omega L\ ,} последовательное сопротивление линии на единицу длины и,
Y = G + i   ω C   , {\displaystyle Y=G+i\ \omega C\ ,} шунтирующая проводимость линии на единицу длины.

Плоская волна

Коэффициент распространения плоской волны, распространяющейся в линейной среде в направлении x, определяется выражением , где P = e − γ x {\displaystyle P=e^{-\gamma x}}

Соглашение о знаках выбрано для согласованности с распространением в средах с потерями. Если константа затухания положительна, то амплитуда волны уменьшается по мере распространения волны в направлении x .

Длина волны , фазовая скорость и глубина скин-слоя имеют простые соотношения с компонентами постоянной распространения: λ = 2 π β v p = ω β δ = 1 α {\displaystyle \lambda ={\frac {2\pi }{\beta }}\qquad v_{p}={\frac {\omega }{\beta }}\qquad \delta ={\frac {1}{\alpha }}}

Постоянная затухания

В телекоммуникациях термин постоянная затухания , также называемый параметром затухания или коэффициентом затухания , представляет собой затухание электромагнитной волны, распространяющейся через среду на единицу расстояния от источника. Это действительная часть постоянной распространения, которая измеряется в неперах на метр. Непер составляет приблизительно 8,7  дБ . Постоянная затухания может быть определена отношением амплитуд

| A 0 A x | = e α x {\displaystyle \left|{\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right|=e^{\alpha x}}

Постоянная распространения на единицу длины определяется как натуральный логарифм отношения тока или напряжения на передающем конце к току или напряжению на принимающем конце, деленный на соответствующее расстояние x :

α = ln ⁡ ( | A 0 A x | ) / x {\displaystyle \alpha =\ln \left(\left|{\frac {A_{0}}{A_{x}}}\right|\right)/x}

Проводящие линии

Постоянная затухания для проводящих линий может быть рассчитана из коэффициентов первичной линии, как показано выше. Для линии, удовлетворяющей условию отсутствия искажений , с проводимостью G в изоляторе, постоянная затухания определяется как

α = R G {\displaystyle \alpha ={\sqrt {RG}}\,\!}

Однако реальная линия вряд ли будет соответствовать этому условию без добавления нагрузочных катушек и, кроме того, существуют некоторые частотно-зависимые эффекты, действующие на первичные "константы", которые вызывают частотную зависимость потерь. Существуют два основных компонента этих потерь: потери в металле и диэлектрические потери.

Потери большинства линий передачи в основном обусловлены потерями в металле, которые вызывают зависимость от частоты из-за конечной проводимости металлов, и скин-эффектом внутри проводника. Скин-эффект приводит к тому, что R вдоль проводника приблизительно зависит от частоты в соответствии с

R ∝ ω {\displaystyle R\propto {\sqrt {\omega }}}

Потери в диэлектрике зависят от тангенса угла потерь (tan  δ ) материала, деленного на длину волны сигнала. Таким образом, они прямо пропорциональны частоте.

α d = π ε r λ tan ⁡ δ {\displaystyle \alpha _{d}={{\pi }{\sqrt {\varepsilon _{r}}} \over {\lambda }}{\tan \delta }}

Оптическое волокно

Постоянная затухания для конкретной моды распространения в оптическом волокне представляет собой действительную часть аксиальной постоянной распространения.

Фазовая константа

В электромагнитной теории фазовая константа , также называемая константой изменения фазы , параметром или коэффициентом, является мнимой составляющей постоянной распространения плоской волны. Она представляет собой изменение фазы на единицу длины вдоль пути, пройденного волной в любой момент времени, и равна действительной части углового волнового числа волны. Она представлена ​​символом β и измеряется в радианах на единицу длины.

Из определения (углового) волнового числа для поперечных электромагнитных (ТЕМ) волн в средах без потерь,

k = 2 π λ = β {\displaystyle k={\frac {2\pi }{\lambda }}=\beta }

Для линии передачи уравнения телеграфиста говорят нам, что волновое число должно быть пропорционально частоте, чтобы передача волны не искажалась во временной области . Это включает в себя, но не ограничивается, идеальный случай линии без потерь. Причину этого условия можно увидеть, если учесть, что полезный сигнал состоит из множества различных длин волн в частотной области. Чтобы не было искажения формы волны , все эти волны должны распространяться с одинаковой скоростью, чтобы они прибывали на дальний конец линии одновременно как группа . Поскольку фазовая скорость волны определяется как

v p = λ T = f ν ~ = ω β , {\displaystyle v_{p}={\frac {\lambda }{T}}={\frac {f}{\tilde {\nu }}}={\frac {\omega }{\beta }},}

доказано, что β должна быть пропорциональна ω . В терминах первичных коэффициентов линии это дает из уравнения телеграфиста для линии без искажений условие

β = ω L C , {\displaystyle \beta =\omega {\sqrt {LC}},}

где L и C — соответственно индуктивность и емкость на единицу длины линии. Однако можно ожидать, что практические линии будут лишь приблизительно соответствовать этому условию в ограниченном диапазоне частот.

В частности, фазовая константа не всегда эквивалентна волновому числу . Соотношение β {\displaystyle \beta } k {\displaystyle k}

β = k {\displaystyle \beta =k}

применяется к волне TEM, которая распространяется в свободном пространстве или в TEM-устройствах, таких как коаксиальный кабель и две параллельные линии передачи . Тем не менее, это не относится к волне TE (поперечная электрическая волна) и волне TM (поперечная магнитная волна). Например, [2] в полом волноводе , где волна TEM не может существовать, но волны TE и TM могут распространяться,

k = ω c {\displaystyle k={\frac {\omega }{c}}}
β = k 1 − ω c 2 ω 2 {\displaystyle \beta =k{\sqrt {1-{\frac {\omega _{c}^{2}}{\omega ^{2}}}}}}

Вот частота среза . В прямоугольном волноводе частота среза равна ω c {\displaystyle \omega _{c}}

ω c = c ( n π a ) 2 + ( m π b ) 2 , {\displaystyle \omega _{c}=c{\sqrt {\left({\frac {n\pi }{a}}\right)^{2}+\left({\frac {m\pi }{b}}\right)^{2}}},}

где — номера мод для сторон прямоугольника длиной и соответственно. Для мод TE (но не допускается), а для мод TM . m , n ≥ 0 {\displaystyle m,n\geq 0} a {\displaystyle a} b {\displaystyle b} m , n ≥ 0 {\displaystyle m,n\geq 0} m = n = 0 {\displaystyle m=n=0} m , n ≥ 1 {\displaystyle m,n\geq 1}

Фазовая скорость равна

v p = ω β = c 1 − ω c 2 ω 2 > c {\displaystyle v_{p}={\frac {\omega }{\beta }}={\frac {c}{\sqrt {1-{\frac {\omega _{\mathrm {c} }^{2}}{\omega ^{2}}}}}}>c}

Фильтры и двухпортовые сети

Термин константа распространения или функция распространения применяется к фильтрам и другим двухпортовым сетям , используемым для обработки сигналов . Однако в этих случаях коэффициенты затухания и фазы выражаются в терминах неперов и радиан на секцию сети, а не на единицу длины. Некоторые авторы [3] проводят различие между мерами на единицу длины (для которых используется «константа») и мерами на секцию (для которых используется «функция»).

Постоянная распространения является полезным понятием в проектировании фильтров, которые неизменно используют каскадную топологию секций . В каскадной топологии постоянная распространения, постоянная затухания и фазовая постоянная отдельных секций могут быть просто сложены для нахождения общей постоянной распространения и т. д.

Каскадные сети

Три сети с произвольными константами распространения и импедансами, соединенные каскадом. Члены Z i представляют импеданс изображения , и предполагается, что соединения находятся между соответствующими импедансами изображения.

Отношение выходного напряжения к входному для каждой сети определяется по формуле [4]

V 1 V 2 = Z I 1 Z I 2 e γ 1 {\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{2}}}={\sqrt {\frac {Z_{I1}}{Z_{I2}}}}e^{\gamma _{1}}}
V 2 V 3 = Z I 2 Z I 3 e γ 2 {\displaystyle {\frac {V_{2}}{V_{3}}}={\sqrt {\frac {Z_{I2}}{Z_{I3}}}}e^{\gamma _{2}}}
V 3 V 4 = Z I 3 Z I 4 e γ 3 {\displaystyle {\frac {V_{3}}{V_{4}}}={\sqrt {\frac {Z_{I3}}{Z_{I4}}}}e^{\gamma _{3}}}

Эти термины являются терминами масштабирования импеданса [5] , и их использование объясняется в статье об импедансе изображения . Z I n Z I m {\displaystyle {\sqrt {\frac {Z_{In}}{Z_{Im}}}}}

Общее отношение напряжений определяется по формуле

V 1 V 4 = V 1 V 2 ⋅ V 2 V 3 ⋅ V 3 V 4 = Z I 1 Z I 4 e γ 1 + γ 2 + γ 3 {\displaystyle {\frac {V_{1}}{V_{4}}}={\frac {V_{1}}{V_{2}}}\cdot {\frac {V_{2}}{V_{3}}}\cdot {\frac {V_{3}}{V_{4}}}={\sqrt {\frac {Z_{I1}}{Z_{I4}}}}e^{\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3}}}

Таким образом, для n каскадных секций, имеющих совпадающие импедансы и обращенных друг к другу, общая постоянная распространения определяется выражением

γ t o t a l = γ 1 + γ 2 + γ 3 + ⋯ + γ n {\displaystyle \gamma _{\mathrm {total} }=\gamma _{1}+\gamma _{2}+\gamma _{3}+\cdots +\gamma _{n}}

Смотрите также

Концепция глубины проникновения — один из многих способов описания поглощения электромагнитных волн. Для других и их взаимосвязей см. статью: Математические описания непрозрачности .

Примечания

  1. ^ Джордон, Эдвард С.; Балман, Кейт Г. (1968). Электромагнитные волны и излучающие системы (2-е изд.). Prentice-Hall.
  2. ^ Позар, Дэвид (2012). Микроволновая техника (4-е изд.). John Wiley &Sons. стр. 62–164. ISBN 978-0-470-63155-3.
  3. ^ Маттеи и др., стр. 49
  4. ^ Маттеи и др., стр. 51-52
  5. ^ Маттеи и др., стр. 37-38

Ссылки

  • Общественное достояние В этой статье использованы материалы из общедоступного федерального стандарта 1037C. Администрация общих служб . Архивировано из оригинала 2022-01-22..
  • Маттеи, Янг, Джонс Микроволновые фильтры, сети согласования импеданса и структуры связи McGraw-Hill 1964.
  • "Константа распространения". Микроволновая энциклопедия. 2011. Архивировано из оригинала (Онлайн) 14 июля 2014 г. Получено 2 февраля 2011 г.
  • Paschotta, Dr. Rüdiger (2011). "Propagation Constant" (Онлайн) . Энциклопедия лазерной физики и технологий . Получено 2 февраля 2011 г.
  • Janezic, Michael D.; Jeffrey A. Jargon (февраль 1999 г.). "Определение комплексной диэлектрической проницаемости по измерениям постоянной распространения" (PDF) . IEEE Microwave and Guided Wave Letters . 9 (2): 76–78. doi :10.1109/75.755052 . Получено 2 февраля 2011 г. .Бесплатная загрузка PDF доступна. Существует обновленная версия от 6 августа 2002 года.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Propagation_constant&oldid=1252271679#Attenuation_constant"