Группа Вейля

Группы Ли и алгебры Ли
Классические группы Общий линейный GL( n ) Специальный линейный SL( n ) Ортогональный O( n ) Специальный ортогональный SO( n ) Унитарное U( n ) Специальный унитарное SU( n ) Симплектический Sp( n )
Простые группы Ли Классическая А н Б н С н Д н Исключительный Г 2 Ф 4 Е 6 Е 7 Е 8
Другие группы Ли Круг Лоренц Пуанкаре Конформная группа Диффеоморфизм Петля Евклидов
Алгебры Ли Соответствие группа Ли–алгебра Ли Экспоненциальная карта Adjoint representation Killing form Index Simple Lie algebra Loop algebra Affine Lie algebra
Semisimple Lie algebra Dynkin diagrams Cartan subalgebra Root system Weyl group Real form Complexification Split Lie algebra Compact Lie algebra
Representation theory Lie group representation Lie algebra representation Representation theory of semisimple Lie algebras Representations of classical Lie groups Theorem of the highest weight Borel–Weil–Bott theorem
Lie groups in physics Particle physics and representation theory Lorentz group representations Poincaré group representations Galilean group representations
Scientists Sophus Lie Henri Poincaré Wilhelm Killing Élie Cartan Hermann Weyl Claude Chevalley Harish-Chandra Armand Borel
Glossary Table of Lie groups
v t e

В математике , в частности в теории алгебр Ли , группа Вейля (названная в честь Германа Вейля ) корневой системы Φ является подгруппой группы изометрий этой корневой системы. В частности, это подгруппа, которая порождается отражениями через гиперплоскости, ортогональные по крайней мере одному из корней, и как таковая является конечной группой отражений . Фактически оказывается, что большинство конечных групп отражений являются группами Вейля. ^[1] Абстрактно, группы Вейля являются конечными группами Кокстера и являются важными примерами таковых.

Группа Вейля полупростой группы Ли , полупростой алгебры Ли , полупростой линейной алгебраической группы и т. д. — это группа Вейля корневой системы этой группы или алгебры .

Пусть будет корневой системой в евклидовом пространстве . Для каждого корня обозначим отражение относительно гиперплоскости, перпендикулярной к , которое явно задается как${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle V}$${\displaystyle \alpha \in \Phi }$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle s_{\alpha }(v)=v-2{\frac {(v,\alpha )}{(\alpha ,\alpha )}}\alpha }$,

где — скалярное произведение на . Группа Вейля — это подгруппа ортогональной группы , порожденная всеми '. По определению корневой системы, каждая сохраняет , из чего следует, что — конечная группа.${\displaystyle (\cdot ,\cdot )}$${\displaystyle V}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle O(V)}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle W}$

В случае корневой системы, например, гиперплоскости, перпендикулярные корням, являются просто линиями, а группа Вейля является группой симметрии равностороннего треугольника, как показано на рисунке. Как группа, изоморфна группе перестановок на трех элементах, которые мы можем рассматривать как вершины треугольника. Обратите внимание, что в этом случае не является полной группой симметрии корневой системы; поворот на 60 градусов сохраняет, но не является элементом .${\displaystyle A_{2}}$${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle W}$

Мы можем также рассмотреть корневую систему. В этом случае — это пространство всех векторов, в которых сумма элементов равна нулю. Корни состоят из векторов вида , где — й стандартный базисный элемент для . Отражение, связанное с таким корнем, — это преобразование , полученное путем перестановки й и й элементов каждого вектора. Группа Вейля для — это тогда группа перестановок на элементах.${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle e_{i}-e_{j},\,i\neq j}$${\displaystyle e_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{n+1}}$${\displaystyle V}$${\displaystyle i}$${\displaystyle j}$${\displaystyle A_{n}}$${\displaystyle n+1}$

Если — корневая система, мы можем рассматривать гиперплоскость, перпендикулярную каждому корню . Напомним, что обозначает отражение относительно гиперплоскости и что группа Вейля — это группа преобразований, порожденных всеми . Дополнение к набору гиперплоскостей несвязно, и каждый связный компонент называется камерой Вейля . Если мы зафиксировали конкретный набор Δ простых корней, мы можем определить фундаментальную камеру Вейля, связанную с Δ, как набор точек, такой что для всех .${\displaystyle \Phi \subset V}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle V}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle (\alpha ,v)>0}$${\displaystyle \alpha \in \Delta }$

Поскольку отражения сохраняют , они также сохраняют множество гиперплоскостей, перпендикулярных корням. Таким образом, каждый элемент группы Вейля переставляет камеры Вейля.${\displaystyle s_{\alpha },\,\alpha \in \Phi }$${\displaystyle \Phi }$

Рисунок иллюстрирует случай корневой системы A2. «Гиперплоскости» (в данном случае одномерные), ортогональные корням, обозначены пунктирными линиями. Шесть 60-градусных секторов — это камеры Вейля, а заштрихованная область — это фундаментальная камера Вейля, связанная с указанным основанием.

Основная общая теорема о камерах Вейля такова: ^[2]

Теорема : Группа Вейля действует свободно и транзитивно на камерах Вейля. Таким образом, порядок группы Вейля равен числу камер Вейля.

Похожий результат: ^[3]

Теорема : Зафиксируем камеру Вейля . Тогда для всех орбита Вейля содержит ровно одну точку в замыкании .${\displaystyle C}$${\displaystyle v\in V}$${\displaystyle v}$${\displaystyle {\bar {C}}}$${\displaystyle C}$

Ключевой результат относительно группы Вейля таков: ^[4]

Теорема : Если является базой для , то группа Вейля порождается отражениями относительно .${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \Delta }$

То есть группа, порожденная отражениями, та же самая, что и группа, порожденная отражениями .${\displaystyle s_{\alpha },\,\alpha \in \Delta ,}$${\displaystyle s_{\alpha },\,\alpha \in \Phi }$

Между тем, если и находятся в , то диаграмма Дынкина для относительно базы говорит нам кое-что о том, как ведет себя пара . В частности, предположим, что и являются соответствующими вершинами в диаграмме Дынкина. Тогда мы имеем следующие результаты:${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \Delta }$${\displaystyle \{s_{\alpha },s_{\beta }\}}$${\displaystyle v}$${\displaystyle v'}$

• Если нет связи между и , то и коммутируют. Поскольку и имеют порядок два, это эквивалентно утверждению, что .${\displaystyle v}$${\displaystyle v'}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle s_{\beta }}$${\displaystyle s_{\alpha }}$${\displaystyle s_{\beta }}$${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{2}=1}$
• Если между и имеется одна связь , то .${\displaystyle v}$${\displaystyle v'}$${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{3}=1}$
• Если между и есть две связи , то .${\displaystyle v}$${\displaystyle v'}$${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{4}=1}$
• Если между и имеется три связи , то .${\displaystyle v}$${\displaystyle v'}$${\displaystyle (s_{\alpha }s_{\beta })^{6}=1}$

Предыдущее утверждение нетрудно проверить, если мы просто вспомним, что диаграмма Дынкина говорит нам об угле между каждой парой корней. Если, например, между двумя вершинами нет связи, то и ортогональны, из чего легко следует, что соответствующие отражения коммутируют. В более общем смысле, количество связей определяет угол между корнями. Произведение двух отражений тогда является поворотом на угол в плоскости, натянутой на и , как может убедиться читатель, из чего легко следует приведенное выше утверждение.${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle \theta }$${\displaystyle 2\theta }$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \beta }$

Группы Вейля являются примерами конечных групп отражений, поскольку они порождаются отражениями; абстрактные группы (не рассматриваемые как подгруппы линейной группы) соответственно являются конечными группами Коксетера , что позволяет классифицировать их по их диаграмме Коксетера–Дынкина . Быть группой Коксетера означает, что группа Вейля имеет особый вид представления , в котором каждый генератор x _i имеет порядок два, а соотношения, отличные от x _i ² =1, имеют вид ( x _i x _j ) ^{m _ij} =1. Генераторы являются отражениями, заданными простыми корнями, а m _ij равно 2, 3, 4 или 6 в зависимости от того, образуют ли корни i и j угол в 90, 120, 135 или 150 градусов, т. е. являются ли они на диаграмме Дынкина несвязанными, связанными простым ребром, связанными двойным ребром или связанным тройным ребром. Мы уже отметили эти отношения в пунктах выше, но говоря, что это группа Коксетера, мы говорим, что это единственные отношения в .${\displaystyle W}$${\displaystyle W}$

Группы Вейля имеют порядок Брюа и функцию длины в терминах этого представления: длина элемента группы Вейля — это длина самого короткого слова, представляющего этот элемент в терминах этих стандартных генераторов. Существует уникальный самый длинный элемент группы Кокстера , который противоположен тождеству в порядке Брюа.

Выше группа Вейля была определена как подгруппа группы изометрий корневой системы. Существуют также различные определения групп Вейля, специфичные для различных теоретико-групповых и геометрических контекстов ( алгебра Ли , группа Ли , симметричное пространство и т. д.). Для каждого из этих способов определения групп Вейля существует (обычно нетривиальная) теорема о том, что это группа Вейля в смысле определения в начале этой статьи, а именно группа Вейля некоторой корневой системы, связанной с объектом. Конкретная реализация такой группы Вейля обычно зависит от выбора — например, подалгебры Картана для алгебры Ли, максимального тора для группы Ли. ^[5]

Пусть — связная компактная группа Ли, а — максимальный тор в . Затем введем нормализатор в , обозначаемый и определяемый как${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle N(T)}$

${\displaystyle N(T)=\{x\in K|xtx^{-1}\in T,\,{\text{for all }}t\in T\}}$.

Мы также определяем централизатор в , обозначаемый и определяемый как${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle Z(T)}$

${\displaystyle Z(T)=\{x\in K|xtx^{-1}=t\,{\text{for all }}t\in T\}}$.

Группа Вейля ( относительно данного максимального тора ) тогда изначально определяется как${\displaystyle W}$${\displaystyle K}$${\displaystyle T}$

${\displaystyle W=N(T)/T}$.

В конце концов, можно доказать , что ^[6] и в этот момент появляется альтернативное описание группы Вейля как${\displaystyle Z(T)=T}$

${\displaystyle W=N(T)/Z(T)}$.

Теперь можно определить корневую систему, связанную с парой ; корни являются ненулевыми весами присоединенного действия на алгебре Ли . Для каждого можно построить элемент , действие которого на имеет форму отражения. ^[7] Приложив немного больше усилий, можно показать, что эти отражения порождают все . ^[6] Таким образом, в конечном итоге группа Вейля, определенная как или , изоморфна группе Вейля корневой системы .${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle (K,T)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle K}$${\displaystyle \alpha \in \Phi }$${\displaystyle x_{\alpha }}$${\displaystyle N(T)}$${\displaystyle T}$${\displaystyle N(T)/Z(T)}$${\displaystyle N(T)/T}$${\displaystyle N(T)/Z(T)}$${\displaystyle \Phi }$

Для комплексной полупростой алгебры Ли группа Вейля определяется просто как группа отражений, порожденная отражениями в корнях – конкретной реализации корневой системы, зависящей от выбора подалгебры Картана .

Для группы Ли G , удовлетворяющей определенным условиям ^{[примечание 1]} , при заданном торе T < G (который не обязательно _должен быть максимальным), группа Вейля относительно этого тора определяется как отношение нормализатора тора N = N ( T ) = NG ( T ) к централизатору тора Z = Z ( T ) = ZG ( T ) _,

${\displaystyle W(T,G):=N(T)/Z(T).\ }$

Группа W конечна – Z имеет конечный индекс в N . Если T = T ₀ – максимальный тор (то есть он равен своему собственному централизатору: ), то полученное фактор-множество N / Z = N / T называется группой Вейля группы G и обозначается W ( G ). Обратите внимание, что конкретный фактор-множество зависит от выбора максимального тора , но все полученные группы изоморфны (по внутреннему автоморфизму группы G ), поскольку максимальные торы сопряжены.${\displaystyle Z(T_{0})=T_{0}}$

Если G компактна и связна, а T — максимальный тор, то группа Вейля группы G изоморфна группе Вейля ее алгебры Ли, как обсуждалось выше.

Например, для общей линейной группы GL максимальный тор — это подгруппа D обратимых диагональных матриц, нормализатором которой являются обобщенные матрицы перестановок (матрицы в форме матриц перестановок , но с любыми ненулевыми числами вместо единиц), а группой Вейля — симметрическая группа . В этом случае фактор-отображение N → N / T расщепляется (через матрицы перестановок), поэтому нормализатор N является полупрямым произведением тора и группы Вейля, а группа Вейля может быть выражена как подгруппа G . В общем случае это не всегда так — фактор-отображение не всегда расщепляется, нормализатор N не всегда является полупрямым произведением W и Z, а группа Вейля не всегда может быть реализована как подгруппа G. ^[5]

Если B — подгруппа Бореля группы G , т.е. максимальная связная разрешимая подгруппа, и выбран максимальный тор T = T _{0 , лежащий в} B , то мы получаем разложение Брюа:

${\displaystyle G=\bigcup _{w\in W}BwB}$

что приводит к разложению флагового многообразия G / B на клетки Шуберта (см. Грассманиан ).

Структура диаграммы Хассе группы геометрически связана с когомологиями многообразия (точнее, с действительными и комплексными формами группы), которые ограничены двойственностью Пуанкаре . Таким образом, алгебраические свойства группы Вейля соответствуют общим топологическим свойствам многообразий. Например, двойственность Пуанкаре дает спаривание между ячейками в размерности k и в размерности n - k (где n — размерность многообразия): нижняя (0) размерная ячейка соответствует единичному элементу группы Вейля, а двойственная верхняя размерная ячейка соответствует самому длинному элементу группы Кокстера .

Существует ряд аналогий между алгебраическими группами и группами Вейля — например, число элементов симметрической группы равно n !, а число элементов полной линейной группы над конечным полем связано с q -факториалом ; таким образом, симметрическая группа ведет себя так, как если бы она была линейной группой над «полем с одним элементом». Это формализуется полем с одним элементом , которое рассматривает группы Вейля как простые алгебраические группы над полем с одним элементом.${\displaystyle [n]_{q}!}$

Для неабелевой связной компактной группы Ли G первая групповая когомология группы Вейля W с коэффициентами в максимальном торе T, используемом для ее определения, ^{[примечание 2]} связана с внешней группой автоморфизмов нормализатора следующим образом: ^[8]${\displaystyle N=N_{G}(T),}$

${\displaystyle \operatorname {Out} (N)\cong H^{1}(W;T)\rtimes \operatorname {Out} (G).}$

Внешние автоморфизмы группы Out( G ) по сути являются диаграммными автоморфизмами диаграммы Дынкина , в то время как групповые когомологии вычисляются в Hämmerli, Matthey & Suter 2004 и являются конечной элементарной абелевой 2-группой ( ); для простых групп Ли она имеет порядок 1, 2 или 4. 0-я и 2-я групповые когомологии также тесно связаны с нормализатором. ^[8]${\displaystyle (\mathbf {Z} /2)^{k}}$

• Аффинная группа Вейля
• Полупростая алгебра Ли#Подалгебры Картана и корневые системы
• Максимальный тор
• Корневая система полупростой алгебры Ли
• Диаграмма Хассе

• «Группа Коксетера», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]
• Вайсштейн, Эрик В. «Группа Кокстера». Математический мир .
• Программное обеспечение Jenn для визуализации графов Кэли конечных групп Кокстера на четырех генераторах