Обобщенная тригонометрия

Trigonometry
Outline History Usage Functions (sin, cos, tan, inverse) Generalized trigonometry
Reference
Identities Exact constants Tables Unit circle
Laws and theorems
Sines Cosines Tangents Cotangents Pythagorean theorem
Calculus
Trigonometric substitution Integrals (inverse functions) Derivatives Trigonometric series
Mathematicians
Hipparchus Ptolemy Brahmagupta al-Hasib al-Battani Regiomontanus Viète de Moivre Euler Fourier
v t e

Обычная тригонометрия изучает треугольники на евклидовой плоскости ⁠ ⁠${\displaystyle \mathbb {R} ^{2}}$ . Существует ряд способов определения обычных евклидовых геометрических тригонометрических функций на действительных числах , например, определения прямоугольного треугольника , определения единичной окружности , определения серий ^{[ сломанный якорь ]} , определения через дифференциальные уравнения ^{[ сломанный якорь ]} и определения с использованием функциональных уравнений . Обобщения тригонометрических функций часто разрабатываются, начиная с одного из вышеперечисленных методов и адаптируя его к ситуации, отличной от действительных чисел евклидовой геометрии. Как правило, тригонометрия может быть изучением троек точек в любом виде геометрии или пространства . Треугольник — это многоугольник с наименьшим числом вершин, поэтому одним из направлений обобщения является изучение более многомерных аналогов углов и многоугольников: телесных углов и многогранников, таких как тетраэдры и n -симплексы .

• В сферической тригонометрии изучаются треугольники на поверхности сферы . Тождества сферического треугольника записываются через обычные тригонометрические функции, но отличаются от тождеств плоского треугольника .
• Гиперболическая тригонометрия:
  1. Изучение гиперболических треугольников в гиперболической геометрии с гиперболическими функциями .
  2. Гиперболические функции в евклидовой геометрии: единичная окружность параметризуется как (cos  t , sin  t ), тогда как равносторонняя гипербола параметризуется как (cosh  t , sinh  t ).
  3. Гиротригонометрия : форма тригонометрии, используемая в подходе к гиперболической геометрии с использованием гировекторного пространства , с приложениями к специальной теории относительности и квантовым вычислениям .
• Тригонометрия для геометрии такси ^[1]
• Тригонометрия пространства-времени ^[2]
• Нечеткая качественная тригонометрия ^[3]
• Операторная тригонометрия ^[4]
• Решеточная тригонометрия ^[5]
• Тригонометрия на симметричных пространствах ^{[6] [7] [8]}

• Ортосхемы Шлефли — правильные симплексы (прямоугольные треугольники, обобщенные до n измерений) — изучались Шоутом , который назвал обобщенную тригонометрию n евклидовых измерений полигонометрией .
  • Теоремы Пифагора для n -симплексов с «ортогональным углом»
• Тригонометрия тетраэдра ^[9]
  • Теорема Де Гуа – теорема Пифагора для тетраэдра с углом куба
  • Закон синусов для тетраэдров
• Полярный синус

• Тригонометрические функции могут быть определены для дробных дифференциальных уравнений . ^[10]

• В исчислении шкалы времени дифференциальные уравнения и разностные уравнения объединяются в динамические уравнения на временных шкалах, которые также включают q-разностные уравнения . Тригонометрические функции могут быть определены на произвольной временной шкале (подмножество действительных чисел).
• Определения рядов ^{[ сломанный якорь ]} sin и cos определяют эти функции в любой алгебре , где ряды сходятся , например, комплексные числа ^{[ сломанный якорь ]} , p -адические числа , матрицы и различные банаховы алгебры .

• Полярные/тригонометрические формы гиперкомплексных чисел ^{[11] [12]}
• Полигонометрия – тригонометрические тождества для нескольких различных углов ^[13]
• Эллиптические функции лемнискаты , синлем и кослем

• Теорема Пифагора в неевклидовой геометрии