Квантовое исчисление

Эта статья включает список ссылок , связанных материалов или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Март 2024 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

Квантовое исчисление , иногда называемое исчислением без пределов , эквивалентно традиционному исчислению бесконечно малых без понятия пределов . Два типа исчисления в квантовом исчислении — это q -исчисление и h -исчисление. Целью обоих типов является нахождение «аналогов» математических объектов, где после взятия определенного предела возвращается исходный объект. В q -исчислении предел при стремлении q к 1 берется от q -аналога . Аналогично, в h -исчислении предел при стремлении h к 0 берется от h -аналога. Параметры и могут быть связаны формулой .${\displaystyle д}$${\displaystyle ч}$${\displaystyle q=e^{h}}$

Q - дифференциал и h -дифференциал определяются как:

${\displaystyle d_{q}(f(x))=f(qx)-f(x)}$

и

${\displaystyle d_{h}(f(x))=f(x+h)-f(x)}$,

соответственно. Тогда производная q и производная h определяются как

${\displaystyle D_{q}(f(x))={\frac {d_{q}(f(x))}{d_{q}(x)}}={\frac {f(qx)-f(x)}{qx-x}}}$

и

${\displaystyle D_{h}(f(x))={\frac {d_{h}(f(x))}{d_{h}(x)}}={\frac {f(x+h)-f(x)}{h}}}$

соответственно. Взяв предел как от q -производной или как от h -производной, можно получить производную :${\displaystyle q\rightarrow 1}$${\displaystyle h\rightarrow 0}$

${\displaystyle \lim _{q\rightarrow 1}D_{q}f(x)=\lim _{h\rightarrow 0}D_{h}f(x)={\frac {d}{dx}}{\Bigl (}f(x){\Bigr )}}$

Функция F ( x ) является q-первообразной функции f ( x ), если D _q F ( x ) =  f ( x ). Q-первообразная (или q-интеграл) обозначается как , а выражение для F ( x ) можно найти из: , которое называется интегралом Джексона функции f ( x ). При 0 < q < 1 ряд сходится к функции F ( x ) на интервале (0, A ], если | f ( x ) x ^α | ограничена на интервале (0, A ] для некоторого 0 ≤ α < 1 .${\textstyle \int f(x)\,d_{q}x}$${\textstyle \int f(x)\,d_{q}x=(1-q)\sum _{j=0}^{\infty }xq^{j}f(xq^{j})}$

Q-интеграл — это интеграл Римана–Стилтьеса относительно ступенчатой ​​функции , имеющей бесконечно много точек возрастания в точках q ^j. Скачок в точке q ^j равен q ^j . Называя эту ступенчатую функцию g _q ( t ) , получаем dg _q ( t ) = d _q t . ^[1]

Функция F ( x ) является h-первообразной функции f ( x ), если D _h F ( x ) =  f ( x ). h-интеграл обозначается как . Если a и b отличаются на целое число, кратное h , то определенный интеграл задается суммой Римана функции f ( x ) на интервале [ a , b ] , разделенном на подынтервалы одинаковой ширины  h . Мотивация h-интеграла исходит из суммы Римана функции f(x). Следуя идее мотивации классических интегралов, некоторые свойства классических интегралов сохраняются в h-интеграле. Это понятие имеет широкое применение в численном анализе и, особенно, в исчислении конечных разностей .${\textstyle \int f(x)\,d_{h}x}$${\textstyle \int _{a}^{b}f(x)\,d_{h}x}$

В исчислении бесконечно малых производная функции равна (для некоторого положительного целого числа ). Соответствующие выражения в q -исчислении и h -исчислении следующие:${\displaystyle x^{n}}$${\displaystyle nx^{n-1}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle D_{q}(x^{n})={\frac {1-q^{n}}{1-q}}x^{n-1}=[n]_{q}\ x^{n-1}}$

где находится q -скобка${\displaystyle [n]_{q}}$

${\displaystyle [n]_{q}={\frac {1-q^{n}}{1-q}}}$

и

${\displaystyle {\begin{aligned}D_{h}(x^{n})&={\frac {(x+h)^{n}-x^{n}}{h}}\\&={\frac {1}{h}}\left(\sum _{k=0}^{n}{{\binom {n}{k}}x^{n-k}h^{k}-x^{n}}\right)\\&={\frac {1}{h}}\sum _{k=1}^{n}{{\binom {n}{k}}x^{n-k}h^{k}}\\&=\sum _{k=1}^{n}{{\binom {n}{k}}x^{n-k}h^{k-1}}\\&=nx^{n-1}+{\frac {n(n-1)}{2}}hx^{n-2}+\cdots +nh^{n-2}x+h^{n-1},\end{aligned}}}$

соответственно. Выражение тогда является q -аналогом и является h -аналогом правила мощности для положительных целых степеней. Разложение q-Тейлора позволяет определить q -аналоги всех обычных функций, таких как функция синуса , q -производная которой является q -аналогом косинуса .${\displaystyle [n]_{q}x^{n-1}}$${\textstyle \sum _{k=1}^{n}{{\binom {n}{k}}x^{n-k}h^{k-1}}}$

H - исчисление — это исчисление конечных разностей , которое изучалось Джорджем Булем и другими, и оказалось полезным в комбинаторике и механике жидкостей . В некотором смысле, q -исчисление восходит к Леонарду Эйлеру и Карлу Густаву Якоби , но только недавно начало находить применение в квантовой механике , учитывая его тесную связь с коммутативными соотношениями и алгебрами Ли , в частности, квантовыми группами .

• Некоммутативная геометрия
• Квантовое дифференциальное исчисление
• Исчисление шкалы времени
• q-аналог
• Базовый гипергеометрический ряд
• Квантовый дилогарифм

• Джордж Гаспер, Мизан Рахман, Основные гипергеометрические ряды , 2-е изд., Cambridge University Press (2004), ISBN 978-0-511-52625-1 , doi :10.1017/CBO9780511526251 

• Джексон, Ф. Х. (1908). «О q -функциях и одном операторе разности». Труды Королевского общества Эдинбурга . 46 (2): 253– 281. doi :10.1017/S0080456800002751. S2CID  123927312.
• Экстон, Х. (1983). q-гипергеометрические функции и их применение . Нью-Йорк: Halstead Press. ISBN 0-85312-491-4.
• Кац, Виктор ; Чунг, Покман (2002). Квантовое исчисление . Universitext. Springer-Verlag. ISBN 0-387-95341-8.