Дуоцилиндр

Дуоцилиндр , также называемый двойным цилиндром или бидиском , представляет собой геометрический объект, встроенный в 4- мерное евклидово пространство , определяемое как декартово произведение двух дисков с соответствующими радиусами r ₁ и r ₂ :

${\displaystyle D=\left\{(x,y,z,w)\,\left|\,x^{2}+y^{2}\leq r_{1}^{2},\ z^{2}+w^{2}\leq r_{2}^{2}\right.\right\}}$

Он похож на цилиндр в 3-мерном пространстве, который является декартовым произведением диска с отрезком прямой . Но в отличие от цилиндра обе гиперповерхности (правильного дуоцилиндра ) конгруэнтны .

Его двойник — дуоспиндель, образованный двумя окружностями, одна из которых находится в плоскости xy , а другая — в плоскости zw .

Дуоцилиндр ограничен двумя взаимно перпендикулярными 3 - многообразиями с тороидальными поверхностями , соответственно описываемыми формулами:

${\displaystyle x^{2}+y^{2}=r_{1}^{2},z^{2}+w^{2}\leq r_{2}^{2}}$

и

${\displaystyle z^{2}+w^{2}=r_{2}^{2},x^{2}+y^{2}\leq r_{1}^{2}}$

Дуоцилиндр так называется, потому что эти два ограничивающих 3-многообразия можно рассматривать как 3-мерные цилиндры , «согнутые» в 4-мерном пространстве таким образом, что они образуют замкнутые петли в плоскостях xy - и zw - . Дуоцилиндр имеет вращательную симметрию в обеих этих плоскостях, и как таковой может использоваться для понимания двойных вращений путем разворачивания поверхности дуоцилиндра в его две цилиндрические ячейки - вращение через одну из плоскостей симметрии транслирует один цилиндр, вращая при этом другую, и поэтому в двойном вращении оба цилиндра вращаются и транслируются.

Правильный дуоцилиндр состоит из двух конгруэнтных ячеек, одной квадратной плоской грани тора (хребта), нулевых ребер и нулевых вершин.

Гребень дуоцилиндра — это 2-многообразие, которое является границей между двумя ограничивающими (твердыми) ячейками тора. Он имеет форму тора Клиффорда , который является декартовым произведением двух окружностей. Интуитивно его можно построить следующим образом: сверните 2-мерный прямоугольник в цилиндр так, чтобы его верхний и нижний края встретились. Затем сверните цилиндр в плоскости, перпендикулярной 3-мерной гиперплоскости, в которой лежит цилиндр, так, чтобы встретились его два круговых конца.

Полученная форма топологически эквивалентна евклидову 2- тору (форме бублика). Однако, в отличие от последнего, все части его поверхности одинаково деформированы. На (двумерной поверхности, вложенной в трехмерный) бублике поверхность вокруг «дырки от бублика» деформирована с отрицательной кривизной (как седло), а поверхность снаружи деформирована с положительной кривизной (как сфера).

Гребень дуоцилиндра можно рассматривать как фактическую глобальную форму экранов видеоигр , таких как Asteroids , где выход за край одной стороны экрана ведет к другой стороне. Он не может быть встроен без искажения в трехмерное пространство, поскольку требует двух степеней свободы («направлений») в дополнение к своей присущей двумерной поверхности для соединения обеих пар краев.

Дуоцилиндр может быть построен из 3-сферы путем "отрезания" выпуклости 3-сферы по обе стороны хребта. Аналог этого на 2-сфере заключается в том, чтобы нарисовать малые круги широты под углом ±45 градусов и отрезав выпуклость между ними, оставив цилиндрическую стенку, и отрезав вершины, оставив плоские вершины. Эта операция эквивалентна удалению выбранных вершин/пирамид из многогранников , но поскольку 3-сфера гладкая/регулярная, вам придется обобщить операцию.

Двугранный угол между двумя трехмерными гиперповерхностями по обе стороны хребта составляет 90 градусов.

Параллельные проекции дуоцилиндра в трехмерное пространство и его поперечные сечения с трехмерным пространством образуют цилиндры. Перспективные проекции дуоцилиндра образуют тороидальные формы с заполненной «дыркой от бублика».

Дуоцилиндр является предельной формой дуопризм, поскольку число сторон в составляющих его многоугольных призмах стремится к бесконечности. Поэтому дуопризмы служат хорошими политопными приближениями дуоцилиндра.

В 3-мерном пространстве цилиндр можно считать промежуточным между кубом и сферой . В 4-мерном пространстве есть три декартовых произведения, которые в том же смысле являются промежуточными между тессерактом (1- шар × 1-шар × 1-шар × 1-шар) и гиперсферой (4- шар ). Это:

• кубиндер (2 шара × 1 шар × 1 шар), поверхность которого состоит из четырех цилиндрических ячеек и одного квадратного тора.
• сфериндер (3 шара × 1 шар), поверхность которого состоит из трех ячеек — двух сфер и области между ними.
• дуоцилиндр (2 шара × 2 шара), поверхность которого состоит из двух тороидальных ячеек.

Дуоцилиндр — единственный из трех вышеперечисленных, который является правильным. Эти конструкции соответствуют пяти разбиениям числа 4, числа измерений.

• тор Клиффорда
• Дуопризма
• Плоский тор
• волокнистость Хопфа
• Коллектор

• The Fourth Dimension Simply Explained , Henry P. Manning, Munn & Company, 1910, Нью-Йорк. Доступно в библиотеке Университета Вирджинии. Также доступно онлайн: The Fourth Dimension Simply Explained — содержит описание дуопризм и дуоцилиндров (двойных цилиндров)
• Наглядное руководство по дополнительным измерениям: визуализация четвертого измерения, многогранников более высоких размерностей и криволинейных гиперповерхностей , Крис МакМаллен, 2008, ISBN  978-1438298924

• Ротахора (4-мерные объекты с круглыми поверхностями)
• Классификация ротатопов
• Схемы дуоцилиндра, спроецированные в трехмерное пространство
• Исследование гиперпространства с помощью геометрического произведения

( копия Wayback Machine )