Лемма о пинг-понге

В математике лемма о пинг -понге , или лемма о настольном теннисе , — это любое из нескольких математических утверждений, которые гарантируют, что несколько элементов в группе , действующих на множестве, свободно порождают свободную подгруппу этой группы.

Аргумент о пинг-понге восходит к концу 19 века и обычно приписывается ^[1] Феликсу Клейну , который использовал его для изучения подгрупп групп Клейна , то есть дискретных групп изометрий гиперболического 3 -пространства или, что эквивалентно, преобразований Мёбиуса сферы Римана . Лемма о пинг-понге была ключевым инструментом, использованным Жаком Титсом в его статье 1972 года ^[2], содержащей доказательство известного результата, теперь известного как альтернатива Титса . Результат утверждает, что конечно порожденная линейная группа либо виртуально разрешима , либо содержит свободную подгруппу ранга два. Лемма о пинг-понге и ее вариации широко используются в геометрической топологии и геометрической теории групп .

Современные версии леммы о пинг-понге можно найти во многих книгах, таких как книги Линдона и Шуппа ^[3] , де ла Арпа ^[1] , Бридсона и Хефлигера ^[4] и других.

Эта версия леммы о пинг-понге гарантирует, что несколько подгрупп группы, действующих на множестве, порождают свободное произведение . Следующее утверждение появляется в Olijnyk и Suchchansky (2004), ^[5] , а доказательство взято из de la Harpe (2000). ^[1]

Пусть G — группа, действующая на множестве X , и пусть H ₁ , H ₂ , ..., H _k — подгруппы группы G , где k ≥ 2, такие, что по крайней мере одна из этих подгрупп имеет порядок больше 2. Предположим, что существуют попарно непересекающиеся непустые подмножества X ₁ , X ₂ , ..., X _k группы X, такие, что выполняется следующее:

• Для любого i ≠ s и для любого h из H _i , h ≠ 1 имеем h ( X _s ) ⊆ X _i .

Затем$${\displaystyle \langle H_{1},\dots ,H_{k}\rangle =H_{1}\ast \dots \ast H_{k}.}$$

По определению свободного произведения достаточно проверить, что заданное (непустое) сокращенное слово представляет собой нетривиальный элемент из . Пусть будет таким словом длины , и пусть , где для некоторого . Так как сокращено, то для любого и каждое отлично от единичного элемента из . Затем мы позволяем действовать на элемент одного из множеств . Поскольку мы предполагаем, что по крайней мере одна подгруппа имеет порядок не менее 3, без потери общности мы можем предположить, что имеет порядок не менее 3. Сначала мы предполагаем, что и оба равны 1 (что подразумевает ). Отсюда мы рассматриваем действие на . Мы получаем следующую цепочку включений:${\displaystyle G}$${\displaystyle w}$${\displaystyle m\geq 2}$$${\displaystyle w=\prod _{i=1}^{m}w_{i},}$$${\textstyle w_{i}\in H_{\alpha _{i}}}$${\textstyle \альфа _{i}\in \{1,\точки,k\}}$${\textstyle w}$${\displaystyle \альфа _{i}\neq \альфа _{i+1}}$${\displaystyle i=1,\dots ,m-1}$${\displaystyle w_{i}}$${\displaystyle H_{\альфа _{i}}}$${\displaystyle w}$ ${\textstyle X_{i}}$${\displaystyle H_{i}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle \альфа _{1}}$${\displaystyle \альфа _{м}}$${\displaystyle m\geq 3}$${\displaystyle w}$${\displaystyle X_{2}}$$${\displaystyle w(X_{2})\subseteq \prod _{i=1}^{m-1}w_{i}(X_{1})\subseteq \prod _{i=1}^{m-2}w_{i}(X_{\alpha _{m-1}})\subseteq \dots \subseteq w_{1}(X_{\alpha _{2}})\subseteq X_{1}.}$$

Предполагая, что различные не пересекаются, мы заключаем, что действует нетривиально на некоторый элемент из , таким образом, представляет собой нетривиальный элемент из . ${\displaystyle X_{i}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle X_{2}}$${\displaystyle w}$${\displaystyle G}$

Для завершения доказательства нам необходимо рассмотреть три случая:

• если , то пусть (такое существует, поскольку по предположению имеет порядок не менее 3);${\displaystyle \alpha _{1}=1,\,\alpha _{m}\neq 1}$${\displaystyle h\in H_{1}\setminus \{w_{1}^{-1},1\}}$${\displaystyle ч}$${\displaystyle H_{1}}$
• если , то пусть ;${\displaystyle \alpha _{1}\neq 1,\,\alpha _{m}=1}$${\displaystyle h\in H_{1}\setminus \{w_{m},1\}}$
• и если , то пусть .${\displaystyle \alpha _{1}\neq 1,\,\alpha _{m}\neq 1}$${\displaystyle h\in H_{1}\setminus \{1\}}$

В каждом случае после приведения становится приведённым словом с первой и последней буквой в . Наконец, представляет собой нетривиальный элемент , и то же самое делает . Это доказывает утверждение.${\displaystyle hwh^{-1}}$${\displaystyle H_{1}}$${\displaystyle hwh^{-1}}$${\displaystyle G}$${\displaystyle w}$

Пусть G — группа, действующая на множестве X. Пусть a ₁ , ..., a _k — элементы группы G бесконечного порядка , где k ≥ 2. Предположим, что существуют непересекающиеся непустые подмножества

X со следующими свойствами:

• a _i ( X − X _i ^– ) ⊆ X _i ⁺ для i = 1, ..., k ;
• a _i ⁻¹ ( X − X _i ⁺ ) ⊆ X _i ^– для i = 1, ..., k .

Тогда подгруппа H = ⟨ a ₁ , ..., a _k ⟩ ≤ G, _{порождённая} a 1 , ..., a _{k ,} является свободной со свободным базисом { a ₁ , ..., a _k } .

Это утверждение следует как следствие версии для общих подгрупп, если мы положим X _i = X _i ⁺ ∪ X _i ⁻ и пусть H _i = ⟨ a _i ⟩ .

Можно использовать лемму о пинг-понге для доказательства ^[1] , что подгруппа H = ⟨ A , B ⟩ ≤ SL ₂ ( Z ) , порожденная матрицами и свободная от ранга два.$${\displaystyle A={\begin{pmatrix}1&2\\0&1\end{pmatrix}}}$$$${\displaystyle B={\begin{pmatrix}1&0\\2&1\end{pmatrix}}}$$

Действительно, пусть H ₁ = ⟨ A ⟩ и H ₂ = ⟨ B ⟩ — циклические подгруппы SL ₂ ( Z ), порожденные соответственно A и B. Нетрудно проверить, что A и B — элементы бесконечного порядка в SL ₂ ( Z ) и что и$${\displaystyle H_{1}=\{A^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}=\left\{{\begin{pmatrix}1&2n\\0&1\end{pmatrix}}:n\in \mathbb {Z} \right\}}$$$${\displaystyle H_{2}=\{B^{n}\mid n\in \mathbb {Z} \}=\left\{{\begin{pmatrix}1&0\\2n&1\end{pmatrix}}:n\in \mathbb {Z} \right\}.}$$

Рассмотрим стандартное действие SL 2 ( Z ) на R ² линейными преобразованиями . _{Положим} и$${\displaystyle X_{1}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|>|y|\right\}}$$$${\displaystyle X_{2}=\left\{{\begin{pmatrix}x\\y\end{pmatrix}}\in \mathbb {R} ^{2}:|x|<|y|\right\}.}$$

Нетрудно проверить, используя приведенные выше явные описания H ₁ и H ₂ , что для любого нетривиального g ∈ H ₁ имеем g ( X ₂ ) ⊆ X ₁ и что для любого нетривиального g ∈ H ₂ имеем g ( X ₁ ) ⊆ X ₂ . Используя альтернативную форму леммы о пинг-понге, для двух подгрупп, приведенных выше, заключаем, что H = H ₁  ∗  H ₂ . Поскольку группы H ₁ и H ₂ являются бесконечными циклическими , то H является свободной группой ранга два.

Пусть G — гиперболическая группа без кручения , то есть не содержащая неединичных элементов конечного порядка . Пусть g , h ∈ G — два некоммутирующих элемента, то есть таких, что gh ≠ hg . Тогда существует M ≥ 1, такое что для любых целых чисел n ≥ M , m ≥ M подгруппа H = ⟨ g ⁿ , h ^m ⟩ ≤ G свободна от ранга два.

Группа G действует на своей гиперболической границе ∂ G посредством гомеоморфизмов . Известно, что если a в G — неединичный элемент, то a имеет ровно две различные неподвижные точки, a ^∞ и a ^−∞ в ∂ G , и что a ^∞ — притягивающая неподвижная точка, а a ^−∞ — отталкивающая неподвижная точка .

Поскольку g и h не коммутируют, основные факты о гиперболических группах подразумевают, что g ^∞ , g ^−∞ , h ^∞ и h ^−∞ являются четырьмя различными точками в ∂ G . Возьмем непересекающиеся окрестности U ₊ , U _– , V ₊ и V _– точек g ^∞ , g ^−∞ , h ^∞ и h ^−∞ в ∂ G соответственно. Тогда свойства притяжения/отталкивания неподвижных точек g и h подразумевают, что существует M ≥ 1 такое, что для любых целых чисел n ≥ M , m ≥ M мы имеем:

• g ⁿ (∂ G – U _– ) ⊆ U ₊
• г ^{- п} (∂ G – U ₊ ) ⊆ U _–
• ч ^м (∂ G – V _– ) ⊆ V ₊
• h ^{− m} (∂ G – V ₊ ) ⊆ V _–

Из леммы о пинг-понге теперь следует, что H = ⟨ g ⁿ , h ^m ⟩ ≤ G не имеет ранга два.

• Лемма о пинг-понге используется в группах Клейна для изучения их так называемых подгрупп Шоттки . В контексте групп Клейна лемма о пинг-понге может быть использована для того, чтобы показать, что конкретная группа изометрий гиперболического 3-пространства не только свободна , но и собственно разрывна и геометрически конечна .
• Подобные аргументы типа Шоттки широко используются в геометрической теории групп , особенно для подгрупп гиперболических групп ^[6] и для групп автоморфизмов деревьев. ^[7]
• Лемма о пинг-понге также используется для изучения подгрупп типа Шоттки групп классов отображений римановых поверхностей , где множество, на котором действует группа классов отображений, является границей Терстона пространства Тейхмюллера . ^[8] Подобный аргумент также используется при изучении подгрупп группы внешних автоморфизмов свободной группы. ^[9]
• Одно из самых известных применений леммы о пинг-понге — доказательство Жака Титса так называемой альтернативы Титса для линейных групп ^[2] ( см. также ^[10] для обзора доказательства Титса и объяснения задействованных идей, включая использование леммы о пинг-понге).
• Существуют обобщения леммы о пинг-понге, которые производят не только свободные произведения , но также объединенные свободные произведения и расширения HNN . ^[3] Эти обобщения используются, в частности, в доказательстве теоремы Маскита о сочетании для клейновых групп. ^[11]
• Существуют также версии леммы о пинг-понге, которые гарантируют, что несколько элементов в группе порождают свободную полугруппу . Такие версии доступны как в общем контексте группового действия на множестве, ^[12], так и для конкретных типов действий, например, в контексте линейных групп, ^[13] групп, действующих на деревьях ^[14] и других. ^[15]

• Бесплатная группа
• Бесплатный продукт
• Группа Кляйнианцев
• альтернатива сиськи
• Группа словесно-гиперболических
• Группа Шоттки