Древнеегипетская математика

Древнеегипетская математика — это математика , которая была разработана и использовалась в Древнем Египте около 3000 — 300  гг. до н. э. , от Древнего царства Египта до примерно начала Эллинистического Египта . Древние египтяне использовали числовую систему для счета и решения письменных математических задач, часто включающих умножение и дроби . Доказательства египетской математики ограничены скудным количеством сохранившихся источников, написанных на папирусе . Из этих текстов известно, что древние египтяне понимали концепции геометрии , такие как определение площади поверхности и объема трехмерных фигур, полезных для архитектурного проектирования , и алгебры , такие как метод ложного положения и квадратные уравнения .

Письменные свидетельства использования математики датируются по крайней мере 3200 г. до н. э. с помощью этикеток из слоновой кости, найденных в гробнице Удж в Абидосе . Эти этикетки, по-видимому, использовались в качестве меток для погребальных принадлежностей, и на некоторых из них были написаны числа. ^[1] Дополнительные доказательства использования десятичной системы счисления можно найти на Булаве Нармера , на которой изображены подношения 400 000 быков, 1 422 000 коз и 120 000 пленников. ^[2] Археологические данные свидетельствуют о том, что древнеегипетская система счета берет свое начало в странах Африки к югу от Сахары. ^[3] Кроме того, фрактальные геометрические узоры, которые широко распространены среди культур Африки к югу от Сахары, также встречаются в египетской архитектуре и космологических знаках. ^[4]

Свидетельства использования математики в Древнем царстве (ок. 2690–2180 гг. до н. э.) скудны, но их можно вывести из надписей на стене около мастабы в Мейдуме , которые дают указания по наклону мастабы. ^[5] Линии на диаграмме расположены на расстоянии одного локтя и показывают использование этой единицы измерения . ^[1]

Самые ранние настоящие математические документы датируются 12-й династией (ок. 1990–1800 гг. до н. э.). Московский математический папирус , Египетский математический кожаный свиток , Лахунские математические папирусы , которые являются частью гораздо более обширной коллекции Кахунских папирусов , и Берлинский папирус 6619, все они датируются этим периодом. Говорят, что Риндский математический папирус , который датируется Вторым промежуточным периодом (ок. 1650 г. до н. э.), основан на более древнем математическом тексте 12-й династии. ^[6]

Московский математический папирус и математический папирус Райнда — так называемые тексты математических задач. Они состоят из сборника задач с решениями. Эти тексты могли быть написаны учителем или учеником, занимающимся решением типичных математических задач. ^[1]

Интересной особенностью древнеегипетской математики является использование единичных дробей. ^[7] Египтяне использовали некоторые специальные обозначения для дробей, такие как ⁠1/2⁠ , ⁠1/3⁠ и ⁠2/3⁠ и в некоторых текстах для ⁠3/4⁠ , но все остальные дроби были записаны как единичные дроби формы ⁠1/н⁠ или суммы таких дробей единиц. Писцы использовали таблицы, чтобы помочь себе работать с этими дробями. Например, египетский математический кожаный свиток представляет собой таблицу дробей единиц, которые выражены как суммы других дробей единиц. Математический папирус Ринда и некоторые другие тексты содержат ⁠2/н⁠ таблицы. Эти таблицы позволяли писцам переписывать любую дробь формы ⁠1/н⁠ как сумма долей единицы. ^[1]

Во времена Нового царства (ок. 1550–1070 гг. до н. э.) математические проблемы упоминаются в литературном папирусе Анастаси I , а папирус Вильбур времен Рамсеса III содержит записи измерений земли. В рабочей деревне Дейр-эль-Медина было найдено несколько остраконов , которые регистрируют объемы грязи, удаленной при разработке гробниц. ^{[1] [6]}

Современное понимание древнеегипетской математики затруднено скудностью доступных источников. Источники, которые существуют, включают следующие тексты (которые обычно датируются Средним царством и Вторым переходным периодом):

• Московский математический папирус ^[8]
• Египетский математический кожаный свиток ^[8]
• Математические папирусы Лахуна [ ^8]
• Берлинский папирус 6619 , написанный около 1800 г. до н.э.
• Деревянная табличка Ахмим [ ^6]
• Папирус Рейснера , датируемый началом Двенадцатой династии Египта и найденный в Наг-эль-Дейре, древнем городе Тинис ^[8]
• Математический папирус Райнда ( РМП ) датируется Вторым промежуточным периодом (ок. 1650 г. до н. э.), но его автор, Ахмес , идентифицирует его как копию ныне утерянного папируса Среднего царства . РМП является крупнейшим математическим текстом. ^[8]

От Нового царства сохранилось несколько математических текстов и надписей, связанных с вычислениями:

• Папирус Анастаси I , литературный текст, написанный как (вымышленное) письмо, написанное писцом по имени Хори и адресованное писцу по имени Аменемопе. Часть письма описывает несколько математических задач. ^[6]
• Остракон Сенмут 153, текст, написанный иератически ^[6]
• Остракон Турин 57170, текст, написанный иератически ^[6]
• Остракон из Дейр-эль-Медины содержит вычисления. Например, остракон IFAO 1206 показывает расчет объемов, предположительно связанных с разработкой гробницы. ^[6]

По словам Этьена Жильсона , Авраам «обучил египтян арифметике и астрономии». ^[9]

Древние египетские тексты могли быть записаны как иероглифами , так и иератическим письмом . В любом из представлений система счисления всегда была десятичной. Число 1 изображалось простым штрихом, число 2 представлялось двумя штрихами и т. д. Числа 10, 100, 1000, 10 000 и 100 000 имели свои собственные иероглифы. Число 10 — это путы для скота, число 100 представлено свернутой веревкой, число 1000 представлено цветком лотоса, число 10 000 представлено пальцем, число 100 000 представлено лягушкой, а миллион был представлен богом с поднятыми в поклонении руками. ^[8]

Иероглифы для египетских цифр ^[2]

1	10	100	1000	10,000	100,000	1,000,000

Египетские цифры восходят к додинастическому периоду . Этикетки из слоновой кости из Абидоса фиксируют использование этой системы чисел. Также часто можно увидеть цифры в сценах подношений, чтобы указать количество предлагаемых предметов. Дочь царя Неферетиабет изображена с подношением в виде 1000 быков, хлеба, пива и т. д.

Египетская система счисления была аддитивной. Большие числа представлялись наборами глифов, а значение получалось простым сложением отдельных чисел.

Египтяне использовали почти исключительно дроби вида ⁠1/н⁠ . Одним из заметных исключений является дробь ⁠2/3⁠ , который часто встречается в математических текстах. Очень редко для обозначения ⁠ использовался специальный глиф3/4⁠ . Дробь ⁠1/2⁠ была представлена ​​глифом, который, возможно, изображал кусок льна, сложенный вдвое. Дробь ⁠2/3⁠ представлялся глифом рта с 2 (разного размера) штрихами. Остальные дроби всегда представлялись ртом, наложенным на число. ^[8]

Иероглифы для некоторых дробей ^[8]

⁠1/2⁠	⁠1/3⁠	⁠2/3⁠	⁠1/4⁠	⁠1/5⁠

Этапы вычислений были записаны в предложениях на египетских языках. (например, «Умножьте 10 на 100; получится 1000».)

В задаче 28 папируса Ринда иероглифы

и

( D54 , D55 ), символы для футов, использовались для обозначения «прибавлять» и «вычитать». Вероятно, это были сокращения для

и

означает «войти» и «выйти». ^{[10] [11]}

Египетское умножение выполнялось путем повторного удвоения числа, которое нужно было умножить (множимое), и выбора того, какое из удвоений нужно было сложить (по сути, это форма двоичной арифметики), метод, который связан со Древним царством. Множимое записывалось рядом с цифрой 1; затем множимое прибавлялось само к себе, а результат записывался рядом с числом 2. Процесс продолжался до тех пор, пока удвоения не давали число, большее половины множителя . Затем удвоенные числа (1, 2 и т. д.) многократно вычитались из множителя, чтобы выбрать, какой из результатов существующих вычислений следует сложить, чтобы получить ответ. ^[2]

В качестве сокращения для больших чисел множимое можно также сразу умножить на 10, 100, 1000, 10000 и т. д.

Например, задача 69 на папирусе Ринда (РМП) представляет собой следующую иллюстрацию, как если бы использовались иероглифические символы (а не собственно иератическое письмо РМП). ^[8]

Умножить 80 × 14
египетский расчет			Современный расчет
Результат	Множитель		Результат	Множитель
			80	1
			800	10
			160	2
			320	4
			1120	14

Обозначает промежуточные результаты, которые суммируются для получения окончательного ответа.

Таблицу выше можно также использовать для деления 1120 на 80. Мы решим эту задачу, найдя частное (80) как сумму тех множителей 80, которые в сумме дают 1120. В этом примере это даст частное 10 + 4 = 14. ^[8] Более сложный пример алгоритма деления представлен в задаче 66. Всего 3200 ro жира необходимо равномерно распределить в течение 365 дней.

Деление 3200 на 365

1	365
2	730
4	1460
8	2920
⁠2/3⁠	⁠243+1/3⁠
⁠1/10⁠	⁠36+1/2⁠
⁠1/2190⁠	⁠1/6⁠

Сначала писец будет многократно удваивать 365 до тех пор, пока не будет достигнуто наибольшее возможное кратное 365, которое меньше 3200. В этом случае 8 раз по 365 равно 2920, и дальнейшее сложение кратных 365 явно даст значение больше 3200. Далее следует отметить, что ⁠2/3⁠  +  ⁠1/10⁠  +  ⁠1/2190⁠ умноженное на 365 дает нам необходимое нам значение 280. Следовательно, мы находим, что 3200, деленное на 365, должно равняться 8 +  ⁠2/3⁠  +  ⁠1/10⁠  +  ⁠1/2190⁠ . ^[8]

Задачи по египетской алгебре встречаются как в математическом папирусе Ринда, так и в Московском математическом папирусе, а также в нескольких других источниках. ^[8]

Ага иероглифами​
Эпоха : Новое царство (1550–1069 до н.э.)

Задачи Aha включают в себя нахождение неизвестных величин (называемых Aha), если дана сумма величины и ее части(ей). Математический папирус Ринда также содержит четыре задачи такого типа. Задачи 1, 19 и 25 Московского папируса являются задачами Aha. Например, задача 19 требует вычислить величину, взятую ⁠1+1/2⁠ раз и прибавляем к 4, чтобы получить 10. ^[8] Другими словами, в современной математической нотации нас просят решить линейное уравнение :

${\displaystyle {\frac {3}{2}}\times x+4=10.\ }$

Решение этих проблем Aha включает в себя технику, называемую методом ложного положения . Эту технику также называют методом ложного предположения. Писец подставляет начальную догадку ответа в задачу. Решение, использующее ложное предположение, будет пропорционально фактическому ответу, и писец найдет ответ, используя это соотношение. ^[8]

Математические записи показывают, что писцы использовали (наименьшие) общие кратные, чтобы превратить проблемы с дробями в проблемы с целыми числами. В связи с этим красные вспомогательные числа пишутся рядом с дробями. ^[8]

Использование дробей глаза Гора показывает некоторые (элементарные) знания геометрической прогрессии. Знание арифметических прогрессий также очевидно из математических источников. ^[8]

Древние египтяне были первой цивилизацией, которая разработала и решила уравнения второй степени ( квадратные ). Эта информация содержится во фрагменте Берлинского папируса . Кроме того, египтяне решали алгебраические уравнения первой степени, найденные в Математическом папирусе Райнда . ^[12]

Существует лишь ограниченное число задач из Древнего Египта, которые касаются геометрии. Геометрические задачи появляются как в Московском математическом папирусе (ММП), так и в Математическом папирусе Райнда (РМП). Примеры показывают, что древние египтяне знали, как вычислять площади нескольких геометрических фигур и объемы цилиндров и пирамид.

• Область:
  • Треугольники: Писцы записывают задачи по вычислению площади треугольника (RMP и MMP). ^[8]
  • Прямоугольники: Задачи, касающиеся площади прямоугольного участка земли, встречаются в RMP и MMP. ^[8] Похожая задача встречается в Lahun Mathematical Papyri в Лондоне. ^{[13] [14]}
  • Круги: Задача 48 из RMP сравнивает площадь круга (приблизительно восьмиугольника) и его описанного квадрата. Результат этой задачи используется в задаче 50, где писец находит площадь круглого поля диаметром 9 кхет. ^[8]
  • Полушарие: Задача 10 в MMP находит площадь полушария. ^[8]
• Объемы:
  • Цилиндрический (цилиндр) : Несколько задач вычисляют объем цилиндрических зернохранилищ (RMP 41–43), в то время как задача 60 RMP, похоже, касается столба или конуса вместо пирамиды. Она довольно маленькая и крутая, с секедом (обратной величиной наклона) в четыре ладони (на локоть). ^[8] В разделе IV.3 Математических папирусов Лахуна объем зернохранилища с круглым основанием находится с использованием той же процедуры, что и в RMP 43.
  • Прямоугольный (кубоид): Несколько задач в Московском математическом папирусе (задача 14) и в Математическом папирусе Ринда (номера 44, 45, 46) вычисляют объем прямоугольного зернохранилища. ^[13]
  • Усеченная пирамида (frustum) Frustum : Объем усеченной пирамиды вычисляется в MMP 14. ^[8]

Задача 56 из RMP указывает на понимание идеи геометрического подобия. В этой задаче обсуждается отношение пробег/подъем, также известное как секед. Такая формула понадобится для строительства пирамид. В следующей задаче (задача 57) высота пирамиды вычисляется из длины основания и секеда ( египетское обозначение обратной величины наклона), в то время как задача 58 дает длину основания и высоту и использует эти измерения для вычисления секеда. В задаче 59 часть 1 вычисляет секед, в то время как вторая часть может быть вычислением для проверки ответа: если вы построите пирамиду со стороной основания 12 [локтей] и с секедом в 5 ладоней 1 палец; какова ее высота? ^[8]

• Красный вспомогательный номер
• История математики
  • История геометрии
• Египетские иероглифы и транслитерация древнеегипетских
• Древнеегипетские единицы измерения и технологии
• Математика и архитектура

• Египетская арифметика
• Введение в раннюю математику