Рулон кожи с египетским математическим узором

Египетский математический кожаный рулон (EMLR) представляет собой кожаный рулон размером 10 × 17 дюймов (25 × 43 см), купленный Александром Генри Райндом в 1858 году. Он был отправлен в Британский музей в 1864 году вместе с математическим папирусом Райнда , но его не подвергали химической обработке и не разворачивали до 1927 года (Scott, Hall 1927).

Письменность состоит из иератических символов Среднего царства , написанных справа налево. Ученые датируют EMLR 17-м веком до н.э. ^[2]

Этот кожаный рулон — вспомогательное средство для вычисления египетских дробей . Он содержит 26 сумм единичных дробей, которые равны другой единичной дроби. Суммы появляются в двух столбцах, а за ними следуют еще два столбца, которые содержат точно такие же суммы. ^[3]

Египетский математический кожаный свиток ^[3]

Столбец 1	Столбец 2	Столбец 3	Столбец 4
${\displaystyle {\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}={\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{15}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{10}}+{\frac {1}{40}}={\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{18}}+{\frac {1}{36}}={\frac {1}{12}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{24}}+{\frac {1}{48}}={\frac {1}{16}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{5}}+{\frac {1}{20}}={\frac {1}{4}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{14}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{18}}+{\frac {1}{36}}={\frac {1}{12}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{4}}+{\frac {1}{12}}={\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{30}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10}}={\frac {1}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{14}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{10}}+{\frac {1}{10}}={\frac {1}{5}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{30}}+{\frac {1}{60}}={\frac {1}{20}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{30}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{15}}+{\frac {1}{30}}={\frac {1}{10}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{30}}+{\frac {1}{60}}={\frac {1}{20}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}+{\frac {1}{6}}={\frac {1}{2}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{48}}+{\frac {1}{96}}={\frac {1}{32}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{15}}+{\frac {1}{30}}={\frac {1}{10}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{3}}+{\frac {1}{3}}={\frac {2}{3}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{96}}+{\frac {1}{192}}={\frac {1}{64}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}={\frac {1}{8}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{48}}+{\frac {1}{96}}={\frac {1}{32}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{25}}+{\frac {1}{15}}+{\frac {1}{75}}+{\frac {1}{200}}={\frac {1}{8}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{50}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{150}}+{\frac {1}{400}}={\frac {1}{16}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{96}}+{\frac {1}{192}}={\frac {1}{64}}}$	${\displaystyle {\frac {1}{50}}+{\frac {1}{30}}+{\frac {1}{150}}+{\frac {1}{400}}={\frac {1}{16}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{25}}+{\frac {1}{50}}+{\frac {1}{150}}={\frac {1}{15}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{25}}+{\frac {1}{50}}+{\frac {1}{150}}={\frac {1}{6}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{9}}+{\frac {1}{18}}={\frac {1}{6}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{9}}+{\frac {1}{18}}={\frac {1}{6}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {1}{4}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{7}}+{\frac {1}{14}}+{\frac {1}{28}}={\frac {1}{4}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}={\frac {1}{8}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{12}}+{\frac {1}{24}}={\frac {1}{8}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{7}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{14}}+{\frac {1}{21}}+{\frac {1}{42}}={\frac {1}{7}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}={\frac {1}{9}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{18}}+{\frac {1}{27}}+{\frac {1}{54}}={\frac {1}{9}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{22}}+{\frac {1}{33}}+{\frac {1}{66}}={\frac {1}{11}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{22}}+{\frac {1}{33}}+{\frac {1}{66}}={\frac {1}{11}}}$
${\displaystyle {\frac {1}{28}}+{\frac {1}{49}}+{\frac {1}{196}}={\frac {1}{13}}}$		${\displaystyle {\frac {1}{28}}+{\frac {1}{49}}+{\frac {1}{196}}={\frac {1}{13}}}$
		${\displaystyle {\frac {1}{30}}+{\frac {1}{45}}+{\frac {1}{90}}={\frac {1}{15}}}$
		${\displaystyle {\frac {1}{24}}+{\frac {1}{48}}={\frac {1}{16}}}$

Из 26 перечисленных сумм десять являются числами Ока Гора : 1/2, 1/4 (дважды), 1/8 (трижды), 1/16 (дважды), 1/32, 1/64, преобразованными из египетских дробей. Есть еще семь сумм с четными знаменателями, преобразованными из египетских дробей: 1/6 (указано дважды, но один раз неверно), 1/10, 1/12, 1/14, 1/20 и 1/30. В качестве примера, три преобразования 1/8 следовали одному или двум масштабным факторам в качестве альтернатив:

1. 1/8 x 3/3 = 3/24 = (2 + 1)/24 = 1/12 + 1/24

2. 1/8 x 5/5 = 5/40 = (4 + 1)/40 = 1/10 + 1/40

3. 1/8 x 25/25 = 25/200 = (8 + 17)/200 = 1/25 + (17/200 x 6/6) = 1/25 + 102/1200 = 1/25 + (80 + 16 + 6)/1200 = 1/25 + 1/15 + 1/75 + 1/200

Наконец, было девять сумм с нечетными знаменателями, преобразованных из египетских дробей: 2/3, 1/3 (дважды), 1/5, 1/7, 1/9, 1/11, 1/13 и 1/15.

Эксперты Британского музея не нашли введения или описания того, как или почему были вычислены ряды эквивалентных дробей единиц. ^[4] Ряды эквивалентных дробей единиц связаны с дробями 1/3, 1/4, 1/8 и 1/16. Была тривиальная ошибка, связанная с окончательным рядом дробей единиц 1/15. Ряд 1/15 был указан как равный 1/6. Другая серьезная ошибка была связана с 1/13, проблема, которую эксперты 1927 года не пытались решить.

Оригинальные математические тексты никогда не объясняют, откуда взялись процедуры и формулы. Это справедливо и для EMLR. Ученые попытались вывести, какие методы могли использовать древние египтяне для построения как таблиц дробей единиц EMLR, так и таблиц 2/n, известных из математического папируса Райнда и математических папирусов Лахуна . Оба типа таблиц использовались для помощи в вычислениях, связанных с дробями, и для преобразования единиц измерения. ^[3]

Было отмечено, что в EMLR есть группы разложений дробей единиц, которые очень похожи. Например, строки 5 и 6 легко объединяются в уравнение 1/3 + 1/6 = 1/2. Легко вывести строки 11, 13, 24, 20, 21, 19, 23, 22, 25 и 26, разделив это уравнение на 3, 4, 5, 6, 7, 8, 10, 15, 16 и 32 соответственно. ^[5]

Некоторые из проблем можно решить с помощью алгоритма, который включает умножение числителя и знаменателя на один и тот же член, а затем дальнейшее сокращение полученного уравнения:

${\displaystyle {\frac {1}{pq}}={\frac {1}{N}}\times {\frac {N}{pq}}}$

Этот метод приводит к решению для дроби 1/8, как это показано в EMLR при использовании N=25 (с использованием современной математической нотации):

${\displaystyle 1/8=1/25\times 25/8=1/5\times 25/40=1/5\times (3/5+1/40)}$

${\displaystyle =1/5\times (1/5+2/5+1/40)=1/5\times (1/5+1/3+1/15+1/40)=1/25+1/15+1/75+1/200}$ ^[6]

EMLR считается тестовым документом для студентов-писцов с 1927 года, года, когда текст был развернут в Британском музее. Писец практиковал преобразования рациональных чисел 1/p и 1/pq в альтернативные ряды дробей единиц. Читая доступные записи по математике Среднего царства, одной из которых является таблица RMP 2/n , современные студенты, изучающие египетскую арифметику, могут увидеть, что обученные писцы улучшили преобразования 2/n и n/p в краткие ряды дробей единиц, применяя алгоритмические и неалгоритмические методы.

Следующая хронология показывает несколько важных этапов, которые ознаменовали недавний прогресс в направлении более четкого понимания содержания EMLR, связанного с таблицей RMP 2/ n .

• 1895 – Хультш предположил, что все серии RMP 2/p кодируются аликвотными частями. ^[7]
• 1927 – Глэнвилл пришел к выводу, что арифметика EMLR является чисто аддитивной. ^[8]
• 1929 – Фогель сообщил, что EMLR более важен (чем RMP), хотя он содержит только 25 серий дробей единиц. ^[9]
• 1950 – Брюинз независимо подтверждает анализ RMP 2/ p Хулча (Брюинз, 1950)
• 1972 – Джиллингс нашел решения более простой задачи RMP, ряда 2/ pq (Джиллингс 1972: 95–96).
• 1982 – Кнорр определяет дроби единиц RMP 2/35, 2/91 и 2/95 как исключения из проблемы 2/ pq . ^[10]
• 2002 – Гарднер выделяет пять абстрактных моделей EMLR. ^[6]
• 2018 – Дорсе объясняет закономерность RMP 2/p.

Египетские математические тексты:

• Деревянная табличка Ахмим
• Берлинский папирус 6619
• Математические папирусы Лахуна
• Московский математический папирус
• Папирус Рейснера

Другой:

• Либер Абаци
• Сильвия Кушу (на французском)

• Браун, Кевин С. Папирус Ахмина 1995 г. – Египетские дроби единиц 1995 г.
• Брукхаймер, Максим и И. Саломон. «Некоторые комментарии к анализу таблицы 2/n в папирусе Райнда, проведенному Р. Дж. Гиллингсом». Historia Mathematica 4 Берлин (1977): 445–452.
• Брюинз, Эверт М. «Платон и египетский стол 2/n». Янус 46, Амстердам (1957): 253–263.
• Брюинс, Эверт М. «Египетская арифметика». Janus 68, Амстердам, (1981): 33–52.
• Брюинс, Эверт М. «Сводимые и тривиальные разложения, касающиеся египетской арифметики». Janus 68, Амстердам, (1981): 281–297.
• Даресси, Жорж. «Деревянные таблички Ахмима», Le Caire Imprimerie de l'Institut Francais d'Archeologie Orientale, 1901, 95–96.
• Дорсе, Карлос. «Точное вычисление разложений таблицы Ректоса математического папируса Ринда», History Research, том 6, выпуск 2, декабрь 2018 г., стр. 33–49.
• Гарднер, Мило. «Математический свиток Египта», Энциклопедия истории науки, технологий и медицины в незападных культурах, Springer, ноябрь 2005 г.
• Гиллингс, Ричард Дж. «Египетский математический кожаный рулет». Australian Journal of Science 24 (1962): 339–344, Математика во времена фараонов. Кембридж, Массачусетс: MIT Press, 1972. Нью-Йорк: Довер, переиздание 1982.
• Гиллингс, Ричард Дж. «Ректо математического папируса Ринда: как его подготовил древнеегипетский писец?» Архив истории точных наук 12 (1974), 291–298.
• Жиллингс, Ричард Дж. «Руководство RMP и EMLR», Historia Mathematica, Toronto 6 (1979), 442–447.
• Гиллингс, Ричард Дж. «Египетская математическая кожаная роль – строка 8. Как это сделал писец?» (Historia Mathematica 1981), 456–457.
• Ганн, Баттискомб Джордж . Обзор «Математического папируса Ринда» Т. Е. Пита. Журнал египетской археологии 12 Лондон, (1926): 123–137.
• Аннет Имхаузен . «Египетские математические тексты и их контексты», Science in Context, т. 16, Кембридж (Великобритания), (2003): 367–389.
• Легон, Джон АР "Математический фрагмент Кахуна". Обсуждения в египтологии, 24 Оксфорд, (1992).
• Люнебург, Х. «Zerlgung von Bruchen in Stammbruche» Леонарди Пизани Liber Abbaci oder Lesevergnügen eines Mathematikers, Wissenschaftsverlag, Мангейм, 1993. 81–85.
• Рис, К. С. «Египетские дроби», Mathematical Chronicle 10, Окленд, (1981): 13–33.
• Роэро, К.С. «Египетская математика». Энциклопедия истории и философии математических наук. I. Grattan-Guinness (ред.), Лондон, (1994): 30–45.
• Скотт, А. и Холл, Х.Р., «Лабораторные заметки: египетский математический кожаный свиток семнадцатого века до нашей эры», British Museum Quarterly , том 2, Лондон, (1927): 56.
• Сильвестр, Дж. Дж. «Об одном пункте теории обыкновенных дробей»: Американский журнал математики, 3 Балтимор (1880): 332–335, 388–389.

• «Египетский математический кожаный рулон». Гарднер, Мило. MathWorld.
• «Египетский математический кожаный рулон». Гарднер, Мило. PlanetMath.org.