Московский математический папирус

Московский математический папирус
Государственный музей изобразительных искусств имени А.С. Пушкина в Москве
14-я задача Московского математического папируса (В. Струве, 1930)
Дата	13-я династия , Второй переходный период Египта
Место происхождения	Фивы
Язык(и)	Иератический
Размер	Длина: 5,5 метров (18 футов) Ширина: от 3,8 до 7,6 см (от 1,5 до 3 дюймов)

Московский математический папирус , также называемый математическим папирусом Голенищева по имени его первого не египетского владельца, египтолога Владимира Голенищева , — древнеегипетский математический папирус , содержащий несколько задач по арифметике , геометрии и алгебре . Голенищев купил папирус в 1892 или 1893 году в Фивах . Позднее он поступил в коллекцию Государственного музея изобразительных искусств имени А. С. Пушкина в Москве , где и находится по сей день.

На основании палеографии и орфографии иератического текста можно сделать вывод, что текст, скорее всего, был записан во времена XIII династии и основан на более древнем материале, вероятно, относящемся к XII династии Египта , примерно к 1850 году до нашей эры. ^[1] Его длина составляла около 5,5 м (18 футов), а ширина варьировалась от 3,8 до 7,6 см (от 1,5 до 3 дюймов). Его формат был разделен советским востоковедом Василием Васильевичем Струве ^[2] в 1930 году ^[3] на 25 задач с решениями.

Это известный математический папирус, обычно упоминаемый вместе с математическим папирусом Райнда . Московский математический папирус старше математического папируса Райнда, а последний из них больше. ^[4]

Задачи в Московском папирусе не следуют определенному порядку, а решения задач содержат гораздо меньше подробностей, чем в Математическом папирусе Райнда . Папирус хорошо известен некоторыми из своих геометрических задач. Задачи 10 и 14 вычисляют площадь поверхности и объем усеченного конуса соответственно. Остальные задачи более распространены в природе. ^[1]

Задачи 2 и 3 — это задачи о частях корабля. Одна из задач вычисляет длину руля корабля, а другая — длину мачты корабля, учитывая, что она составляет 1/3 + 1/5 длины кедрового бревна, изначально длиной 30 локтей . ^[1]

ꜥḥꜥ (ага) в иероглифах
Эпоха : Новое царство (1550–1069 до н.э.)

Задачи Aha включают в себя нахождение неизвестных величин (называемых aha , «стопка»), если дана сумма величины и ее части(ей). Математический папирус Ринда также содержит четыре задачи такого типа. Задачи 1, 19 и 25 Московского папируса являются задачами Aha. Например, задача 19 требует вычислить величину, взятую 1+1 ⁄ 2 раза и прибавляется к 4, чтобы получить 10. ^[1] Другими словами, в современной математической нотации требуется решить.${\displaystyle {\frac {3}{2}}x+4=10}$

Большинство задач — это задачи пефсу (см.: Египетская алгебра ): 10 из 25 задач. Пефсу измеряет крепость пива, приготовленного из геката зерна.

${\displaystyle {\mbox{pefsu}}={\frac {\mbox{количество буханок хлеба (или кувшинов пива)}}{\mbox{количество гекатов зерна}}}}$

Большее число pefsu означает более слабый хлеб или пиво. Число pefsu упоминается во многих списках подношений. Например, задача 8 переводится как:

(1) Пример расчета 100 буханок хлеба пефсу 20

(2) Если кто-то скажет вам: «У тебя есть 100 хлебов пефсу 20

(3) обменять на пиво пефсу 4

(4) как 1/2 1/4 солодового пива"

(5) Сначала подсчитайте количество зерна, необходимое для 100 буханок хлеба пефсу 20.

(6) Результат 5 хекат. Затем посчитайте, сколько вам нужно для дес-кувшина пива, например, пива, называемого 1/2 1/4 солодового пива

(7) Результат составляет 1/2 меры хеката, необходимой для дес-кувшина пива, изготовленного из верхнеегипетского зерна.

(8) Рассчитайте 1/2 от 5 хекатов, результат будет 2 1/2

(9) Примите это 2 1/2 раза четыре раза.

(10) Результат — 10. Затем вы говорите ему:

(11) «Смотрите! Количество пива оказалось верным». ^[1]

Задачи 11 и 23 — это задачи Баку. Они вычисляют производительность рабочих. Задача 11 спрашивает, если кто-то приносит 100 бревен размером 5 на 5, то какому количеству бревен размером 4 на 4 это соответствует? Задача 23 находит производительность сапожника, учитывая, что ему нужно вырезать и украсить сандалии. ^[1]

Семь из двадцати пяти задач являются геометрическими и варьируются от вычисления площадей треугольников до нахождения площади поверхности полушария (задача 10) и нахождения объема усеченной пирамиды . ^[1]

Десятая задача Московского математического папируса требует вычисления площади поверхности полушария ( Струве, Жиллингс) или, возможно, площади полуцилиндра (Пит). Ниже мы предполагаем, что задача относится к площади полушария.

Текст задачи 10 выглядит так: «Пример расчета корзины. Вам дана корзина с отверстием 4 1/2. Какова ее поверхность? Возьмите 1/9 от 9 (так как) корзина — это половина яичной скорлупы. Вы получите 1. Вычислите остаток, который равен 8. Вычислите 1/9 от 8. Вы получите 2/3 + 1/6 + 1/18. Найдите остаток от этого 8 после вычитания 2/3 + 1/6 + 1/18. Вы получите 7 + 1/9. Умножьте 7 + 1/9 на 4 + 1/2. Вы получите 32. Вот ее площадь. Вы нашли ее правильно». ^{[1] [5]}

Решение сводится к вычислению площади как

${\displaystyle {\text{Площадь}}=(((2\times {\text{диаметр}})\times {\frac {8}{9}})\times {\frac {8}{9}})\times {\text{диаметр}}={\frac {128}{81}}({\text{диаметр}})^{2}}$

Формула рассчитывает площадь полушария, которую писец Московского папируса использовал для приближенного вычисления числа π .${\displaystyle {\frac {256}{81}}\approx 3.16049}$

Четырнадцатая задача Московского математического сборника вычисляет объем усеченного треугольника .

Задача 14 гласит, что пирамида была усечена таким образом, что верхняя часть представляет собой квадрат длиной 2 единицы, нижняя часть — квадрат длиной 4 единицы, а высота — 6 единиц, как показано на рисунке. Объем равен 56 кубическим единицам, что верно. ^[1]

Решение задачи показывает, что египтяне знали правильную формулу для вычисления объема усеченной пирамиды :

${\displaystyle V={\frac {1}{3}}h(a^{2}+ab+b^{2})}$

где a и b — длины основания и верхней стороны усеченной пирамиды, а h — высота. Исследователи размышляли о том, как египтяне могли прийти к формуле для объема усеченной пирамиды, но вывод этой формулы в папирусе не приводится. ^[7]

Ричард Дж. Гиллингс дал краткий обзор содержания папируса. ^[8] Числа с чертами сверху обозначают дробь, имеющую это число в качестве знаменателя , например : дроби были обычными объектами изучения в древнеегипетской математике.${\displaystyle {\bar {4}}={\frac {1}{4}}}$

Содержание Московского математического папируса ^[а]

Нет.	Деталь
1	Поврежден и нечитаем.
2	Поврежден и нечитаем.
3	Кедровая мачта. из . Неясно.${\displaystyle {\bar {3}}\;{\bar {5}}}$${\displaystyle 30=16}$
4	Площадь треугольника .${\displaystyle {\bar {2}}}$${\displaystyle 4\times 10=20}$
5	Песус из буханок и хлеба. То же, что № 8.
6	Прямоугольник, площадь . Найти и .${\displaystyle =12,b={\bar {2}}\;{\bar {4}}l}$${\displaystyle л}$${\displaystyle б}$
7	Треугольник, площадь . Найдите и .${\displaystyle =20,h=2\;{\bar {2}}b}$${\displaystyle ч}$${\displaystyle б}$
8	Песус из буханок и хлеба.
9	Песус из буханок и хлеба.
10	Площадь криволинейной поверхности полусферы (или цилиндра).
11	Буханки и корзина. Непонятно.
12	Песу пива. Непонятно.
13	Песус из хлеба и пива. То же, что № 9.
14	Объем усеченной пирамиды .${\displaystyle V=(h/3)(a^{2}+ab+b^{2})}$
15	Песу пива.
16	Песу пива. Аналогично № 15.
17	Треугольник, площадь . Найдите и .${\displaystyle =20,b=({\bar {3}}\;{\bar {15}})h}$${\displaystyle ч}$${\displaystyle б}$
18	Измерение ткани в локтях и ладонях. Неясно.
19	Решите уравнение . Ясно.${\displaystyle 1\;{\bar {2}}x+4=10}$
20	Песу из 1000 хлебов. Дроби глаза Гора.
21	Замешивание жертвенного хлеба.
22	Песус хлеба и пива. Обмен.
23	Расчет работы сапожника. Непонятно. Пит говорит, очень сложно.
24	Обмен хлебом и пивом.
25	Решите уравнение . Элементарно и понятно.${\displaystyle 2x+x=9}$

Другие математические тексты Древнего Египта включают:

• Берлинский папирус 6619
• Рулон кожи с египетским математическим узором
• Математические папирусы Лахуна
• Математический папирус Ринда

Общие папирусы:

• Папирус Харриса I
• Роллин Папирус

Таблицы 2/n см. здесь:

• Таблица РМП 2/н

В Wikisource есть оригинальный текст, относящийся к этой статье:

Московский математический папирус

• Список древнеегипетских папирусов

• Струве, Василий Васильевич и Борис Тураев . 1930. Mathematischer Papyrus des Staatlichen Museums der Schönen Künste в Москве . Quellen und Studien zur Geschichte der Mathematik; Abteilung A: Quellen 1. Берлин: Дж. Спрингер

• Аллен, Дон. Апрель 2001 г. Московский папирус и сводка египетской математики.
• Имхаузен А. Египетские алгоритмы. Eine Untersuruchung zu den mittelägyptischen mathematischen Aufgabentexten, Висбаден, 2003.
• Mathpages.com. Формула призмоидальной формы.
• О'Коннор и Робертсон, 2000. Математика в египетских папирусах.
• Университет штата Трумэн, Отделение математики и компьютерных наук. Математика и свободные искусства: Древний Египет и Московский математический папирус.
• Уильямс, Скотт У. Математики африканской диаспоры, содержащая страницу о египетских математических папирусах.
• Захрт, Ким Р.В. Размышления о древнеегипетской математике. Архивировано 27 сентября 2011 г. на Wayback Machine .