Неизлучающий диэлектрический волновод

Эту статью , возможно, придется переписать, чтобы она соответствовала стандартам качества Википедии , поскольку она написана как учебник и может быть непонятна тем, кто ее читает, и не соответствует тону или энциклопедическому стилю Википедии. Вы можете помочь. Страница обсуждения может содержать предложения. ( Декабрь 2022 )

Неизлучающий диэлектрический (NRD) волновод был представлен Йонеямой в 1981 году. ^[1] На рис. 1 кресты показаны: он состоит из диэлектрической прямоугольной пластины высотой (a) и шириной (b), которая помещена между двумя металлическими параллельными пластинами подходящей ширины. Структура практически такая же, как у H-волновода, предложенного Тишером в 1953 году. ^{[2] [3]} Благодаря диэлектрической пластине электромагнитное поле ограничено вблизи диэлектрической области, тогда как во внешней области для подходящих частот электромагнитное поле экспоненциально затухает. Поэтому, если металлические пластины достаточно протяженны, поле практически пренебрежимо мало на конце пластин, и поэтому ситуация не сильно отличается от идеального случая, в котором пластины бесконечно протяженны. Поляризация электрического поля в требуемом режиме в основном параллельна проводящим стенкам. Как известно, если электрическое поле параллельно стенкам, то потери проводимости уменьшаются в металлических стенках с ростом частоты, тогда как, если поле перпендикулярно стенкам, то потери увеличиваются с ростом частоты. Поскольку волновод NRD был разработан для его реализации на миллиметровых волнах , выбранная поляризация минимизирует омические потери в металлических стенках.

Существенное различие между волноводом H и волноводом NRD заключается в том, что в последнем расстояние между металлическими пластинами меньше половины длины волны в вакууме , тогда как в волноводе H расстояние больше. Потери проводимости в металлических пластинах уменьшаются при увеличении расстояния. Поэтому это расстояние больше в волноводе H, используемом в качестве среды передачи на большие расстояния; вместо этого волновод NRD используется для приложений интегральных схем миллиметрового диапазона , в которых типичны очень короткие расстояния. Таким образом, увеличение потерь не имеет большого значения.

Выбор небольшого расстояния между металлическими пластинами имеет фундаментальное последствие, заключающееся в том, что требуемая мода возникает ниже отсечки в областях внешнего воздуха. Таким образом, любой разрыв, такой как изгиб или соединение, является чисто реактивным. Это позволяет минимизировать излучение и помехи (отсюда и название неизлучающего волновода); этот факт имеет жизненно важное значение в приложениях интегральных схем. Вместо этого, в случае волновода H, вышеупомянутые разрывы вызывают явления излучения и помех, поскольку желаемая мода, находясь выше отсечки, может распространяться наружу. В любом случае, важно отметить, что, если эти разрывы изменяют симметрию структуры относительно срединной горизонтальной плоскости , в любом случае существует излучение в форме моды TEM в параллельном металлическом пластинчатом проводнике, и этот режим возникает выше отсечки, расстояние между пластинами может быть каким угодно коротким. Этот аспект всегда необходимо учитывать при проектировании различных компонентов и соединений, и в то же время большое внимание следует уделять прилеганию диэлектрической пластины к металлическим стенкам, поскольку возникают вышеупомянутые явления потерь. ^[4] Это происходит, когда в общем случае любая асимметрия в поперечном сечении ограничивает режим в «утечку» режима.

Дисперсионное соотношение , уравнение, дающее продольную постоянную распространения , является функцией частоты и геометрических параметров для различных мод структуры. В этом случае, однако, это соотношение не может быть выражено явно, как это проверено в самом элементарном случае прямоугольного волновода , но оно неявно задано трансцендентным уравнением .${\displaystyle k_{z}=\beta -j\alpha }$

Чтобы получить дисперсионное соотношение, можно действовать двумя различными способами. Первый, который проще с аналитической точки зрения, состоит в применении метода поперечного резонанса ^[4] для получения поперечной эквивалентной сети. Согласно этому методу, будет применено условие резонанса вдоль поперечного направления. Это условие приводит к трансцендентному уравнению, которое, численно решенное, дает возможные значения для поперечных волновых чисел . Используя известное соотношение разделимости , которое связывает волновые числа в различных направлениях и частоту, можно получить значения продольной постоянной распространения k _z для различных мод.

Предполагается, что потери на излучение, поскольку на самом деле металлические пластины имеют конечную ширину, пренебрежимо малы. Фактически, предполагая, что затухающее поле во внешних воздушных областях пренебрежимо мало в отверстии , можно предположить, что ситуация по существу совпадает с идеальным случаем металлических пластин, имеющих бесконечную ширину. Таким образом, можно предположить поперечную эквивалентную сеть, показанную на рис. 2. В ней k _xε и k _x0 являются волновыми числами в поперечном направлении x, в диэлектрике и в воздухе соответственно; Y _ε и Y ₀ являются связанными характеристическими проводимостями эквивалентной линии передачи . Наличие металлических пластин, считающихся идеально проводящими, накладывает возможные значения для волнового числа в вертикальном направлении y: , при m = 0, 1, 2, ... Эти значения одинаковы в воздухе и в диэлектрических областях. Как упоминалось выше, волновые числа должны удовлетворять соотношениям разделимости. В воздушной области, уподобленной вакууму, получается${\displaystyle k_{y}={\frac {m\pi {a}}}$

${\displaystyle k_{o}^{2}=\left({\frac {2\pi }{\lambda _{o}}}\right)^{2}=k_{xo}^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=-\left|k_{xo}\right|^{2}+k_{y}^{2}+\beta ^{2}\ \ \ \ (1)}$

где k _o и λ _o волновое число и длина волны в вакууме соответственно. Предполагается, что k _z  = β, поскольку структура не излучающая и не имеет потерь, и, кроме того, k _xo = – j | k _xo  | , поскольку поле должно быть затухающим в воздушных областях. В диэлектрической области, вместо этого, это

${\displaystyle k^{2}=k_{o}^{2}\varepsilon _{r}=\left({\frac {2\pi }{\lambda }}\right)^{2}=k_{ x\varepsilon }^{2}+k_{y}^{2}+k_{z}^{2}=k_{x\varepsilon }^{2}+k_{y}^{2}+\beta ^ {2}\ \ \ \ \ \ (2)}$

где k и λ — волновое число и длина волны соответственно в диэлектрической области, а — относительная диэлектрическая проницаемость .${\displaystyle \varepsilon _ {r}}$

Маловероятно, что k _xo , k _xε является действительным, что соответствует конфигурации стоячих волн внутри диэлектрической области. Волновые числа k _y и k _z равны во всех областях. Этот факт обусловлен условиями непрерывности тангенциальных компонент электрического и магнитного полей на границе раздела. Как следствие, получается непрерывность напряжения и тока в эквивалентной линии передачи. Таким образом, метод поперечного резонанса автоматически учитывает граничные условия на металлических стенках и условия непрерывности на границе раздела воздух-диэлектрик.

Анализируя возможные поперечные моды, в воздушных областях (будучи ) только мода с m=0 может распространяться вдоль x; эта мода является модой TEM, распространяющейся наклонно в плоскости xz, с ненулевыми компонентами поля E _y , H _x , H _z . Эта мода всегда возникает выше отсечки, независимо от того, мало ли a , но она не возбуждается, если сохраняется симметрия структуры относительно средней плоскости y = a/2. Фактически, в симметричных структурах моды с поляризацией, отличной от поляризации возбуждающего поля, не возбуждаются. В диэлектрической области, вместо этого, имеем . Мода с индексом m находится выше отсечки, если a/λ > m/2. Например, если ε _r = 2,56, ( полистирол ), f = 50 ГГц и a = 2,7 мм, то a/λo = 0,45 и a/λ = 0,72. Поэтому в диэлектрической области моды с m=1 находятся выше отсечки, а моды с m=2 — ниже отсечки (1/2 < 0,72 < 1).${\displaystyle a<{\frac {\lambda _{o}}{2}}}$${\displaystyle \lambda ={\frac {\lambda _{o}}{\sqrt {\varepsilon _{r}}}}}$

В NRD-проводе, как и в H-проводе, из-за наличия диэлектрической полосы граничные условия не могут быть удовлетворены TEM-, TM- или (m≠0)-TE-модами относительно продольного направления z. Таким образом, моды структуры будут гибридными, то есть с обеими продольными компонентами поля, отличными от нуля. К счастью, желаемой модой является TM-мода относительно горизонтального направления x, вдоль которого принята эквивалентная линия передачи. Поэтому, согласно известным выражениям характеристических проводимостей TM-мод,

${\displaystyle Y_{o}={\frac {\omega \varepsilon _{o}}{k_{xo}}} \ \ \ \ Y_ {\varepsilon } = {\frac {\omega \varepsilon _{o} \varepsilon _{r}}{k_{x\varepsilon }}}\ \ \ \ \ (3)}$

где

${\displaystyle k_{xo}=-j\left|k_{xo}\right|}$

Поперечная эквивалентная сеть на рис. 2 еще больше упрощается с использованием геометрической симметрии структуры относительно средней плоскости x=0 и с учетом поляризации электрического поля для требуемой моды, которая является ортогональным вектором к средней плоскости. В этом случае можно разделить структуру пополам вертикальной металлической плоскостью, не меняя граничных условий и, таким образом, внутренней конфигурации электромагнитного поля. Это соответствует короткому замыканию пополам в эквивалентной линии передачи, как показано в упрощенной сети на рис. 3.

Тогда можно применить условие поперечного резонанса вдоль горизонтального направления x, выраженное соотношением:

${\displaystyle {\overleftarrow {Y}}+{\overrightarrow {Y}}=0\ \ \ \ \ \ }$

где

${\displaystyle \ \ \ \ \ \ \ {\overleftarrow {Y}}\ \ \ и\ \ \ {\overrightarrow {Y}}\ \ }$

— это пропуски, направленные влево и вправо соответственно относительно произвольного сечения T.

Выбираем опорный раздел, как показано на рис. 3, поскольку линия бесконечна справа. Если смотреть налево, то это${\displaystyle {\overrightarrow {Y}}=Y_{o}}$

${\displaystyle {\overleftarrow {Y}}=-jY_ {\varepsilon }кроватка (k_ {x\varepsilon }w)}$

Затем введем выражение характеристических проводимостей в условие резонанса:

${\displaystyle -jY_{\varepsilon }детская кроватка (k_ {x\varepsilon }w)+Y_{o}=0}$

выводится дисперсионное уравнение:

${\displaystyle -j\varepsilon _{r}k_{xo}cot(k_{x\varepsilon }w)+k_{x\varepsilon }=0\ \ \ \ (4)}$

Более того, из (1) и (2) получаем

${\displaystyle k_{xo}={\sqrt {{k_{o}^{2}}-({\frac {m\pi {a}})^{2}-\beta ^{2}}} =k_{o}{\sqrt {1-({\frac {m\pi }{ak_{o}}})^{2}-{\frac {\beta ^{2}}{k_{o}} }}}}$

${\displaystyle k_{xo}={\sqrt {{k_{o}^{2}\varepsilon _{r}}-({\frac {m\pi }{a}})^{2}-\beta ^{2}}}=k_{o}{\sqrt {\varepsilon _{r}-({\frac {m\pi }{ak_{o}}})^{2}-{\frac {\beta ^{2}}{k_{o}}}}}}$

Поэтому можно принять нормированное неизвестное , где - так называемая эффективная относительная диэлектрическая проницаемость волновода.${\displaystyle {\frac {\beta }{k_{o}}}={\sqrt {\varepsilon _{eff}}}}$${\displaystyle \varepsilon _{eff}}$

Частота среза f _c получается путем решения дисперсионного уравнения для β =0.

Важно отметить, что из-за наличия двух диэлектриков решение зависит от частоты, то есть значение β для любой частоты не может быть просто получено из частоты среза, как это было бы только для одного диэлектрика, для которого: . В нашем случае вместо этого необходимо решить дисперсионное уравнение для каждого значения частоты. Двойственным образом можно рассмотреть TE-моды относительно x. Выражения для характеристических проводимостей в этом случае (μ=μ _o ):${\displaystyle \beta ={\sqrt {k^{2}-k_{t}^{2}}}={\sqrt {\omega ^{2}\mu \varepsilon -\omega _{c}^{2}\mu \varepsilon }}}$

${\displaystyle Y_{o}={\frac {k_{xo}}{\mu _{o}\omega }}\ \ \ ,\ \ \ \ Y_{\varepsilon }={\frac {k_{x\varepsilon }}{\mu _{o}\omega }}\ \ \ \ \ \ \ (5)}$

Более того, в этом случае магнитное поле ортогонально срединной плоскости x = 0. Поэтому можно разделить структуру пополам идеальной магнитной стенкой, что соответствует делению пополам с разомкнутой цепью, получив цепь, показанную на рис. 4. Тогда относительно плоскости T это будет: , откуда получается дисперсионное уравнение :${\displaystyle {\overrightarrow {Y}}=Y_{o}\ \ \ ,\ \ \ {\overleftarrow {Y}}=jY_{\varepsilon }tan(k_{x\varepsilon }w)}$

${\displaystyle jk_{x\varepsilon }tan(k_{x\varepsilon }w)+k_{xo}=0\ \ \ (6)}$

Очевидно, что результаты, полученные здесь для дисперсионного поведения, могли бы быть получены из полной поперечной эквивалентной сети без делений пополам, показанной на рис. 2. В этом случае, относительно плоскости T, получается

${\displaystyle {\overrightarrow {Y}}=Y_{o}\ \ \ \ \ \ \ \ {\overleftarrow {Y}}=Y_{\varepsilon }{\frac {Y_{o}+jY_{\varepsilon }tan(k_{x\varepsilon }b)}{Y_{\varepsilon }+jY_{o}tan(k_{x\varepsilon }b)}}}$

а потом

${\displaystyle Y_{o}+Y_{\varepsilon }{\frac {Y_{o}+jY_{\varepsilon }tan(k_{x\varepsilon }b)}{Y_{\varepsilon }+jY_{o}tan(k_{x\varepsilon }b)}}=0\ \ \ \ \ \ \ \ \ (7)}$

Это зависит от того, рассматриваются ли моды TM или TE относительно направления x, поэтому уравнения (3) или (5) можно использовать для соответствующих характеристических проводимостей.

Тогда, как было показано ранее, метод поперечного резонанса позволяет легко получить дисперсионное уравнение для волновода NRD.

Однако конфигурация электромагнитного поля в трех регионах не была подробно рассмотрена. Дополнительную информацию можно получить с помощью метода модального разложения.

Что касается поперечного сечения волновода, показанного на рис. 1, поля TM и TE можно рассматривать относительно продольного направления z, вдоль которого волновод однороден. Как уже было сказано, в волноводе NRD моды TM или (m≠0) TE относительно направления z существовать не могут, поскольку они не могут удовлетворять условиям, налагаемым наличием диэлектрической пластины. Однако известно, что мода распространения внутри направляющей структуры может быть выражена как суперпозиция поля TM и поля TE относительно z.

Более того, поле TM может быть получено из чисто продольного потенциала вектора Лоренца . Электромагнитное поле может быть затем выведено из общих формул: ${\displaystyle {\underline {A}}}$

${\displaystyle {\underline {H}}=\triangledown \times {\underline {A}}\ \ \ \ \ ,\ \ \ \ \ \ {\underline {E}}=-j\omega \mu {\underline {A}}+{\frac {\triangledown \triangledown \cdot {\underline {A}}}{j\omega \varepsilon }}\ \ \ \ \ \ (8)}$

Двойственным образом поле TE может быть получено из чисто продольного векторного потенциала . Электромагнитное поле выражается как:${\displaystyle {\underline {F}}}$

${\displaystyle {\underline {E}}=-\triangledown \times {\underline {F}}\ \ \ \ \ \ ,\ \ \ \ \ \ {\underline {H}}=-j\omega {\underline {F}}+{\frac {\triangledown \triangledown \cdot {\underline {F}}}{j\omega \mu }}\ \ \ \ \ \ \ (9)}$

Ввиду цилиндрической симметрии конструкции вдоль направления z можно предположить:

${\displaystyle {\underline {A}}=A_{z}{\underline {z_{o}}}=L^{TM}(z)T^{TM}(x,y){\underline {z_{o}}}\ \ \ \ \ \ \ (10)}$

${\displaystyle {\underline {F}}=F_{z}{\underline {z_{o}}}=L^{TM}(z)T^{TM}(x,y){\underline {z_{o}}}\ \ \ \ \ \ (11)}$

Как известно, в области без источника потенциал должен удовлетворять однородному уравнению электромагнитной волны Гельмгольца :

${\displaystyle \triangledown ^{2}A_{z}+k^{2}A_{z}=0\ \ \ \ \ \ (12)}$

${\displaystyle \triangledown ^{2}F_{z}+k^{2}F_{z}=0\ \ \ \ \ \ (13)}$

Из уравнений (10)-(13) получаем

${\displaystyle {\frac {d^{2}L}{dz^{2}}}+k_{z}^{2}L=0\ \ \ \ \ \ (14)}$

${\displaystyle \triangledown _{t}^{2}T+k_{t}^{2}T=0\ \ \ \ \ \ (15)}$

где k _z — волновое число в продольном направлении,

${\displaystyle \triangledown _{t}^{2}=\triangledown ^{2}-{\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}\ \ \ and\ \ \ k_{t}^{2}=k^{2}-k_{z}^{2}}$ .

Для случая k _z ≠ 0 общее решение уравнения (14) имеет вид:

${\displaystyle L(z)=L_{o}^{\dotplus }e^{-jk_{z}z}+L_{o}^{-}e^{jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (16)}$

В дальнейшем предположим, что присутствует только прямая бегущая волна (L _o ⁻ = 0). Волновые числа k _y и k _z должны быть одинаковыми в диэлектрике и в воздушных областях, чтобы удовлетворять условию непрерывности тангенциальных компонент поля. Более того, k _z должен быть одинаковым как в полях TM, так и в полях TE.

Уравнение (15) можно решить путем разделения переменных . Полагая , получаем${\displaystyle T(x,y)=X(x)Y(y)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}X}{dx^{2}}}+k_{x}^{2}X=0\ \ \ \ \ \ \ (17)}$

${\displaystyle {\frac {d^{2}Y}{dy^{2}}}+k_{y}^{2}Y=0\ \ \ \ \ \ \ \ (18)}$

где ${\displaystyle Y(y)=C_{1}\cos(k_{y}y)+C_{2}sin(k_{y}y)}$

Для поля ТМ решение уравнения (18) с учетом граничных условий при y = 0 и y = a имеет вид:

${\displaystyle sin({\frac {m\pi }{a}}y)\ \ \ \ \ (m=1,2,3,...)}$.

Для поля TE аналогично получаем:

${\displaystyle cos({\frac {m\pi }{a}}y)\ \ \ \ \ \ (m=1,2,3,...)}$.

Что касается уравнения (17), то для общего решения выбрана следующая форма:

${\displaystyle X(x)=C_{3}e^{-jk_{x}x}+C_{4}e^{jk_{x}x}}$

Поэтому для различных регионов предположим, что:

Диэлектрическая область (-w < x < w)

${\displaystyle T_{\varepsilon }^{TM}=sin({\frac {m\pi }{a}}y)\cdot (Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}+Be^{jk_{x\varepsilon }x})\ \ \ \ \ m=0,1,2,...\ \ \ \ \ \ (19)}$

${\displaystyle T_{\varepsilon }^{TE}=cos({\frac {m\pi }{a}}y)\cdot (Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}+De^{jk_{x\varepsilon }x})\ \ \ \ \ \ m=1,2,3,...\ \ \ \ (20)}$

где

${\displaystyle k_{x\varepsilon }=k_{o}{\sqrt {\varepsilon _{r}-({\frac {m\pi }{k_{o}a}})^{2}-({\frac {k_{z}}{k_{o}}})^{2}}}\ \ \ \ (21)}$

Воздушная область справа (x > w)

${\displaystyle T_{o+}^{TM}=Esin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{xo}(x-w)}\ \ \ \ (22)}$

${\displaystyle T_{o+}^{TE}=Fcos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{xo}(x-w)}\ \ \ \ \ \ \ \ \ (23)}$

Воздушная область слева (x < w)

${\displaystyle T_{o-}^{TM}=Gsin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{jk_{xo}(x+w)}\ \ \ \ \ \ \ (24)}$

${\displaystyle T_{o-}^{TE}=Hcos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{jk_{xo}(x-w)}\ \ \ \ \ \ \ \ (25)}$

В воздушных областях получается

${\displaystyle k_{xo}=k_{o}{\sqrt {1-({\frac {m\pi }{k_{o}a}})^{2}-({\frac {k_{z}}{k_{o}}})^{2}}}\ \ \ \ \ \ \ (26)}$

Восемь констант A, B, C, D, E, F, G, H определяются путем наложения восьми условий непрерывности для тангенциальных составляющих E _y , E _z , H _y , H _z электромагнитного поля при x = w и при x = – w.

Различные компоненты поля определяются следующим образом:

${\displaystyle E_{x}={\frac {1}{j\omega \varepsilon }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}={\frac {-k_{z}}{\omega \varepsilon }}L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}\ \ \ \ \ \ \ (27)}$

${\displaystyle E_{y}={\frac {1}{j\omega \varepsilon }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}={\frac {-k_{z}}{\omega \varepsilon }}L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}\ \ \ \ \ \ (28)}$

${\displaystyle E_{z}={\frac {k_{t}^{2}}{j\omega \varepsilon }}L\ T^{TM}={\frac {k^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon }}L\ T^{TM}\ \ \ \ \ \ \ (29)}$

${\displaystyle H_{x}=L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}+{\frac {1}{j\omega \mu }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}=L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TE}\ \ \ \ \ (30)}$

${\displaystyle H_{y}=-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}+{\frac {1}{j\omega \mu }}{\frac {\mathrm {dL} }{\mathrm {d} z}}{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}=-L{\frac {\partial T}{\partial x}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}L{\frac {\partial T}{\partial y}}^{TE}\ \ \ \ (31)}$

${\displaystyle H_{z}={\frac {k_{t}^{2}}{j\omega \mu }}L\ T^{TE}={\frac {k^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}L\ T^{TE}\ \ \ \ (32)}$

Налагая условия непрерывности на каждом интерфейсе,

${\displaystyle -{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}}}{\frac {\partial T_{o}}{\partial y}}^{TM}+{\frac {\partial T_{o}}{\partial x}}^{TE}=-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial y}}^{TM}+{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial x}}^{TE}}$

${\displaystyle {\frac {k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}}}\ T_{o}^{TM}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{r}\varepsilon _{o}}}T_{\varepsilon }^{TM}}$

${\displaystyle -{\frac {\partial T_{o}}{\partial x}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {\partial T_{o}}{\partial y}}^{TE}=-{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial x}}^{TM}-{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {\partial T_{\varepsilon }}{\partial y}}^{TE}}$

${\displaystyle {\frac {k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}\ T_{o}^{TE}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}^{TE}}$

где первые члены относятся к воздушным областям, а вторые члены — к диэлектрическим областям.

Вводя уравнения (19), (20) и (22)-(25) в четыре условия непрерывности при x = w, константы E и F можно выразить через A, B, C, D, которые связаны двумя соотношениями.

Аналогично на границе раздела x = -w константы G и H можно выразить через A, B, C, D. Тогда выражения для компонент электромагнитного поля приобретают вид:

Диэлектрическая область (-w < x < w)

${\displaystyle E_{x}=\left[j{\frac {k_{x\varepsilon }k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}-Be^{jk_{x\varepsilon }x})+{\frac {m\pi }{a}}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}+De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (33)}$

${\displaystyle E_{y}=\left[-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {m\pi }{a}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}+Be^{jk_{x\varepsilon }x})-jk_{x\varepsilon }(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}-De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (34)}$

${\displaystyle E_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}-Be^{jk_{x\varepsilon }x})sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (35)}$

${\displaystyle H_{x}=\left[{\frac {m\pi }{a}}(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}+Be^{jk_{x\varepsilon }x})+j{\frac {k_{x\varepsilon }k_{z}}{\omega \mu }}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}-De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (36)}$

${\displaystyle H_{y}=\left[jk_{x\varepsilon }(Ae^{-jk_{x\varepsilon }x}-Be^{jk_{x\varepsilon }x})+{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {m\pi }{a}}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}+De^{jk_{x\varepsilon }x})\right]sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (37)}$

${\displaystyle H_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}(Ce^{-jk_{x\varepsilon }x}+De^{jk_{x\varepsilon }x})cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ \ \ \ \ (38)}$

Воздушная область справа (x > w)

${\displaystyle E_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {jk_{xo}k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{xo}(x-w)}sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ \ (39)}$

${\displaystyle E_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {m\pi }{a}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})-jk_{xo}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{xo}(x-w)}cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (40)}$

${\displaystyle E_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})e^{-jk_{xo}(x-w)}sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (41)}$

${\displaystyle H_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {m\pi }{a}}{\frac {1}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {jk_{xo}k_{z}}{\omega \mu }}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{xo}(x-w)}cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (42)}$

${\displaystyle H_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[j{\frac {k_{xo}}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})]e^{-jk_{x0}(x-w)}sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (43)}$

${\displaystyle H_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}(C\ e^{-jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{jk_{x\varepsilon }w})e^{-jk_{xo}(x-w)}cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (44)}$

Воздушная область слева (x < -w)

${\displaystyle E_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {-jk_{xo}k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{xo}(x+w)}sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ \ (45)}$

${\displaystyle E_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[-{\frac {k_{z}}{\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}{\frac {m\pi }{a}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})-jk_{xo}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{xo}(x+w)}cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (46)}$

${\displaystyle E_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \varepsilon _{o}\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})e^{-jk_{xo}(x+w)}sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (47)}$

${\displaystyle H_{x}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[{\frac {m\pi }{a}}{\frac {1}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})-{\frac {jk_{xo}k_{z}}{\omega \mu }}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{xo}(x+w)}cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ \ (48)}$

${\displaystyle H_{y}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{k_{o}^{2}-k_{z}^{2}}}[-j{\frac {k_{xo}}{\varepsilon _{r}}}(A\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+B\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})+{\frac {k_{z}}{\omega \mu }}{\frac {m\pi }{a}}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})]e^{jk_{xo}(x+w)}sin({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ \ (49)}$

${\displaystyle H_{z}={\frac {k_{o}^{2}\varepsilon _{r}-k_{z}^{2}}{j\omega \mu }}(C\ e^{jk_{x\varepsilon }w}+D\ e^{-jk_{x\varepsilon }w})e^{jk_{xo}(x+w)}cos({\frac {m\pi }{a}}y)e^{-jk_{z}z}\ \ \ \ \ (50)}$

Эти выражения не получены напрямую методом поперечного резонанса.

Наконец, из оставшихся условий непрерывности получается однородная система из четырех уравнений относительно четырех неизвестных A, B , C, D. Нетривиальные решения находятся путем навязывания того, что определитель коэффициентов равен нулю. Таким образом, используя уравнения (21) и (26), получается дисперсионное уравнение, которое дает возможное значение продольной постоянной распространения k _z для различных мод.

Затем можно найти неизвестные A, B, C, D, за исключением произвольного множителя.

Для получения частот среза различных мод достаточно положить k _z =0 в определителе и решить уравнение, которое теперь сильно упрощено, относительно частоты. Подобное упрощение не происходит при использовании метода поперечного резонанса, поскольку k _z появляется только неявно; тогда уравнения, которые нужно решить для получения частот среза, формально одинаковы.

Более простой анализ, снова расширяющий поле как суперпозицию мод, можно получить, принимая во внимание ориентацию электрического поля для требуемой моды и разделяя структуру пополам идеально проводящей стенкой, как это сделано на рис. 3. В этом случае имеется только две области, необходимо определить только шесть неизвестных и условий непрерывности также шесть (непрерывность E _y , E _z , H _y , H _z при x = w и обращение в нуль E _y , E _z при x=0).

Наконец, важно отметить, что полученное дисперсионное уравнение факторизуется в произведении двух выражений, которые совпадают с дисперсионным уравнением для мод TE и TM относительно направления x соответственно. Таким образом, все решения принадлежат этим двум классам мод.