Теорема Нильсена–Ниномии
No-go theorem concerning chirality of regularized fermions

В решеточной теории поля теорема Нильсена –Ниномии является теоремой «нет-го» о размещении киральных фермионов на решетке . В частности, при очень общих предположениях, таких как локальность , эрмитовость и трансляционная симметрия , любая решеточная формулировка киральных фермионов обязательно приводит к удвоению фермионов , где имеется одинаковое количество левосторонних и правосторонних фермионов. Впервые она была доказана Хольгером Бехом Нильсеном и Масао Ниномией в 1981 году с использованием двух методов: один из них опирался на теорию гомотопии [1] , а другой — на дифференциальную топологию [2] . Другое доказательство, предоставленное Дэниелом Фриданом, использует дифференциальную геометрию [3] . Теорема также была обобщена на любую схему регуляризации киральных теорий . [4] Одним из следствий теоремы является то, что Стандартную модель нельзя поместить на решетку. [5] Обычный метод преодоления проблемы удвоения фермионов заключается в использовании модифицированных формул фермионов, таких как ступенчатые фермионы , фермионы Вильсона или фермионы Джинспарга–Вильсона и другие.

Регуляризация решетки

Первоначально теорема была сформулирована в гамильтоновой формулировке решеточной теории поля, где время непрерывно, но пространство дискретизировано. [1] [2] Рассмотрим теорию с гамильтонианом вида

H = ∑ x , y ψ † ( x ) F ( x , y ) ψ ( y ) {\displaystyle H=\sum _{{\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}}}\psi ^{\dagger }({\boldsymbol {x}})F({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})\psi ({\boldsymbol {y}})}

вместе с зарядом . Теорема Нильсена–Ниномии утверждает, что существует равное количество левосторонних и правосторонних фермионов для каждого набора зарядов, если выполняются следующие предположения [6] Q {\displaystyle Q}

  • Трансляционная инвариантность: подразумевает, что . F ( x , y ) = F ( x − y ) {\displaystyle F({\boldsymbol {x}},{\boldsymbol {y}})=F({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})}
  • Локальность: должна исчезать достаточно быстро, чтобы имелось преобразование Фурье с непрерывными производными. F ( x − y ) {\displaystyle F({\boldsymbol {x}}-{\boldsymbol {y}})}
  • Эрмитовость: Чтобы гамильтониан был эрмитовым, он также должен быть эрмитовым. F ( x ) {\displaystyle F({\boldsymbol {x}})}
  • Заряд определяется локально через некоторую локальную плотность заряда.
  • Заряд квантуется .
  • Заряд точно сохраняется .

Эта теорема тривиально выполняется в нечетных размерностях, поскольку нечетномерные теории не допускают киральных фермионов из-за отсутствия допустимого оператора хиральности, то есть оператора, который антикоммутирует со всеми гамма-матрицами . Это следует из свойств алгебр Дирака в нечетных размерностях.

Теорема Нильсена–Ниномии также была доказана в евклидовой формулировке. Например, рассмотрим более слабую версию теоремы, которая предполагает менее общее действие вида [7]

S = ∑ x , y , μ ψ ¯ ( x ) i γ μ F μ ( x , y ) P R ψ ( y ) , {\displaystyle S=\sum _{x,y,\mu }{\bar {\psi }}(x)i\gamma _{\mu }F_{\mu }(x,y)P_{R}\psi (y),}

где — правосторонний проекционный оператор, вместе с тремя предположениями P R {\displaystyle P_{R}}

  • Трансляционная инвариантность: . F μ ( x , y ) = F μ ( x − y ) {\displaystyle F_{\mu }(x,y)=F_{\mu }(x-y)}
  • Гермитичность: Чтобы действие было гермитичным, оно должно содержать следующее . F μ ( − x ) = F μ ( x ) ∗ {\displaystyle F_{\mu }(-x)=F_{\mu }(x)^{*}}
  • Локальность: Обратный пропагатор убывает достаточно быстро, так что его преобразование Фурье существует и все его производные непрерывны.

Если все эти условия выполнены, то снова будет равное количество левосторонних и правосторонних фермионов. [8]

Краткое изложение доказательств

Упрощенная евклидова версия теоремы имеет гораздо более короткое доказательство, опирающееся на ключевую теорему из дифференциальной топологии, известную как теорема Пуанкаре–Хопфа . [9] Ее можно резюмировать следующим образом. Из предположения локальности преобразование Фурье обратного пропагатора должно быть непрерывным векторным полем в зоне Бриллюэна , изолированные нули которого соответствуют различным видам частиц теории. Вокруг каждого нуля поведение векторного поля является либо седловой особенностью, либо особенностью стока/истока. Это фиксируется индексом векторного поля в нуле, который принимает значения для двух случаев. Можно показать, что два случая определяют, является ли частица левой или правой. Теорема Пуанкаре–Хопфа утверждает, что сумма индексов векторного поля на многообразии равна эйлеровой характеристике этого многообразия. В этом случае векторное поле живет в зоне Бриллюэна, которая топологически является 4-тором с нулевой эйлеровой характеристикой. Следовательно, должно быть равное количество левых и правых частиц. F μ ( k ) {\displaystyle F_{\mu }(k)} ± 1 {\displaystyle \pm 1}

Общие схемы регуляризации

Теорему Нильсена–Ниномии можно обобщить на все возможные схемы регуляризации, а не только на решеточную регуляризацию. [4] Эта общая теорема о запрете утверждает, что никакая регуляризованная теория киральных фермионов не может удовлетворять всем следующим условиям:

Краткое доказательство от противного показывает, что ток Нётер, полученный из некоторых предположений, сохраняется, в то время как другие предположения подразумевают, что это не так.

Каждая схема регуляризации должна нарушать одно или несколько условий. Для решеточной регуляризации теорема Нильсена–Ниномии приводит к тому же результату при еще более слабых предположениях, где требование правильной хиральной аномалии заменяется предположением о локальности взаимодействий. Размерная регуляризация зависит от конкретной реализации хиральности. Если матрица определена как для бесконечно малых , то это приводит к исчезающей хиральной аномалии, в то время как использование нарушает глобальную инвариантность. Между тем, регуляризация Паули–Вилларса нарушает глобальную инвариантность, поскольку вводит регуляторную массу. γ 5 {\displaystyle \gamma _{5}} γ [ 1 γ 2 ⋯ γ 4 + ϵ ] {\displaystyle \gamma _{[1}\gamma _{2}\cdots \gamma _{4+\epsilon ]}} ϵ {\displaystyle \epsilon } γ [ 1 γ 2 γ 3 γ 4 ] {\displaystyle \gamma _{[1}\gamma _{2}\gamma _{3}\gamma _{4]}}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ ab Nielsen, HB ; Ninomiya, M. (1981). "Отсутствие нейтрино на решетке: (I). Доказательство с помощью теории гомотопии". Nuclear Physics B . 185 (1): 20– 40. Bibcode :1981NuPhB.185...20N. doi :10.1016/0550-3213(81)90361-8.
  2. ^ ab Nielsen, HB ; Ninomiya, M. (1981). "Отсутствие нейтрино на решетке: (II). Интуитивное топологическое доказательство". Nuclear Physics B . 193 (1): 173– 194. Bibcode :1981NuPhB.193..173N. doi :10.1016/0550-3213(81)90524-1.
  3. ^ Фридан, Д. (1982). «Доказательство теоремы Нильсена-Ниномии». Commun. Math. Phys . 85 (4): 481– 490. Bibcode :1982CMaPh..85..481F. doi :10.1007/BF01403500. S2CID  2649595.
  4. ^ ab Nielsen, HB ; Ninomiya, M. (1981). "Теорема о недопустимости для регуляризации киральных фермионов". Physics Letters B . 105 ( 2– 3): 219– 223. Bibcode :1981PhLB..105..219N. doi :10.1016/0370-2693(81)91026-1.
  5. ^ Тонг, Д. (2018), "4", Заметки лекций по теории калибровок , стр. 232
  6. ^ Монтвей, И.; Манстер, Г. (1994). "4". Квантовые поля на решетке . Кембриджские монографии по математической физике. Кембридж: Издательство Кембриджского университета. стр.  208–213 . doi :10.1017/CBO9780511470783. ISBN 9780511470783. S2CID  118339104.
  7. ^ Карстен, Л. Х. (1981). «Решеточные фермионы в евклидовом пространстве-времени». Phys. Lett. B. 104 ( 4): 315– 319. Bibcode :1981PhLB..104..315K. doi :10.1016/0370-2693(81)90133-7.
  8. ^ Gattringer, C.; Lang, CB (2009). "7". Квантовая хромодинамика на решетке: Вводная презентация . Lecture Notes in Physics 788. Springer. стр.  162– 163. doi :10.1007/978-3-642-01850-3. ISBN 978-3642018497.
  9. ^ Смит, Ян (2002). "8". Введение в квантовое поле на решетке . Cambridge Lecture Notes in Physics. Кембридж: Cambridge University Press. стр.  221– 222. doi : 10.1017/CBO9780511583971. hdl : 20.500.12657/64022. ISBN 9780511583971.
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Nielsen–Ninomiya_theorem&oldid=1234756574"