Существование и гладкость Навье–Стокса

Проблема существования и гладкости Навье –Стокса касается математических свойств решений уравнений Навье–Стокса , системы уравнений в частных производных , описывающих движение жидкости в пространстве. Решения уравнений Навье–Стокса используются во многих практических приложениях. Однако теоретическое понимание решений этих уравнений неполно. В частности, решения уравнений Навье–Стокса часто включают турбулентность , которая остается одной из величайших нерешенных проблем в физике , несмотря на ее огромную важность в науке и технике.

Даже более базовые (и, казалось бы, интуитивные) свойства решений Навье–Стокса никогда не были доказаны. Для трехмерной системы уравнений и при некоторых начальных условиях математики не доказали, что гладкие решения всегда существуют, и не нашли никаких контрпримеров. Это называется проблемой существования и гладкости Навье–Стокса .

Поскольку понимание уравнений Навье–Стокса считается первым шагом к пониманию неуловимого явления турбулентности , Математический институт Клэя в мае 2000 года сделал эту задачу одной из семи задач Премии тысячелетия по математике. Он предложил премию в размере 1 000 000 долларов США первому человеку, который предоставит решение для конкретной постановки задачи: ^[1]

Докажите или приведите контрпример следующего утверждения:

В трех измерениях пространства и времени при заданном начальном поле скорости существует векторная скорость и скалярное поле давления, которые являются гладкими и глобально определенными и решают уравнения Навье–Стокса.

В математике уравнения Навье–Стокса представляют собой систему нелинейных уравнений в частных производных для абстрактных векторных полей любого размера. В физике и технике они представляют собой систему уравнений, моделирующих движение жидкостей или неразреженных газов (в которых длина свободного пробега достаточно мала, чтобы ее можно было рассматривать как среднее значение континуума, а не как совокупность частиц) с использованием механики сплошной среды . Уравнения представляют собой формулировку второго закона Ньютона , при этом силы моделируются в соответствии с силами в вязкой ньютоновской жидкости — как сумма вкладов давления, вязкого напряжения и внешней объемной силы. Поскольку постановка задачи, предложенная Математическим институтом Клэя, является трехмерной, для несжимаемой и однородной жидкости ниже рассматривается только этот случай.

Пусть будет трехмерным векторным полем, скоростью жидкости, а будет давлением жидкости. ^{[примечание 1]} Уравнения Навье–Стокса имеют вид:${\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)}$${\displaystyle p({\boldsymbol {x}},t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} +\mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)}$

где — кинематическая вязкость , внешняя объемная сила, — оператор градиента , — оператор Лапласа , который также обозначается или . Обратите внимание, что это векторное уравнение, т.е. оно имеет три скалярных уравнения. Записывая координаты скорости и внешней силы${\displaystyle \nu >0}$${\displaystyle \mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)}$${\displaystyle \nabla }$${\displaystyle \displaystyle \Delta }$${\displaystyle \nabla \cdot \nabla }$${\displaystyle \nabla ^{2}}$

${\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)={\big (}\,v_{1}({\boldsymbol {x}},t),\,v_{2}({\boldsymbol {x}},t),\,v_{3}({\boldsymbol {x}},t)\,{\big )}\,,\qquad \mathbf {f} ({\boldsymbol {x}},t)={\big (}\,f_{1}({\boldsymbol {x}},t),\,f_{2}({\boldsymbol {x}},t),\,f_{3}({\boldsymbol {x}},t)\,{\big )}}$

тогда для каждого существует соответствующее скалярное уравнение Навье–Стокса:${\displaystyle i=1,2,3}$

${\displaystyle {\frac {\partial v_{i}}{\partial t}}+\sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial v_{i}}{\partial x_{j}}}v_{j}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x_{i}}}+\nu \sum _{j=1}^{3}{\frac {\partial ^{2}v_{i}}{\partial x_{j}^{2}}}+f_{i}({\boldsymbol {x}},t).}$

Неизвестные — это скорость и давление . Поскольку в трех измерениях есть три уравнения и четыре неизвестных (три скалярные скорости и давление), то необходимо дополнительное уравнение. Это дополнительное уравнение — уравнение непрерывности для несжимаемых жидкостей, которое описывает сохранение массы жидкости:${\displaystyle \mathbf {v} ({\boldsymbol {x}},t)}$${\displaystyle p({\boldsymbol {x}},t)}$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0.}$

Благодаря этому последнему свойству решения уравнений Навье–Стокса ищутся в множестве соленоидальных (« бездивергентных ») функций. Для этого течения однородной среды плотность и вязкость являются константами.

Поскольку появляется только его градиент, давление p можно исключить, взяв ротор обеих частей уравнений Навье–Стокса. В этом случае уравнения Навье–Стокса сводятся к уравнениям переноса вихря .

Уравнения Навье–Стокса нелинейны , то есть члены уравнений не имеют простой линейной связи друг с другом. Это означает, что уравнения не могут быть решены с использованием традиционных линейных методов, и вместо этого должны использоваться более продвинутые методы. Эта нелинейность позволяет уравнениям описывать широкий спектр явлений динамики жидкости, включая образование ударных волн и других сложных схем течения.

Один из способов понять нелинейность уравнений Навье–Стокса — рассмотреть член в уравнениях. Этот член представляет ускорение жидкости и является произведением вектора скорости v и оператора градиента ∇. Поскольку оператор градиента является линейным оператором, член (v · ∇)v нелинеен относительно вектора скорости v. Это означает, что ускорение жидкости зависит от величины и направления скорости, а также от пространственного распределения скорости внутри жидкости.${\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} }$

Другим источником нелинейности в уравнениях Навье–Стокса является член давления . Давление в жидкости зависит от плотности и градиента давления, и поэтому этот член нелинейный по давлению.${\displaystyle -{\frac {1}{\rho }}\nabla p}$

Чтобы увидеть это более наглядно, рассмотрим случай круглого препятствия радиуса, помещенного в равномерный поток со скоростью и плотностью . Пусть будет скоростью жидкости в положении и времени , а пусть будет давлением в том же положении и времени.${\displaystyle R}$${\displaystyle \mathbf {v_{0}} }$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \mathbf {v} (\mathbf {x} ,t)}$${\displaystyle \mathbf {x} }$${\displaystyle t}$${\displaystyle p(\mathbf {x} ,t)}$

Уравнения Навье–Стокса в этом случае имеют вид:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$

где - кинематическая вязкость жидкости.${\displaystyle \nu }$

Предполагая, что поток является устойчивым (то есть скорость и давление не меняются со временем), мы можем приравнять производные по времени к нулю:

${\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \Delta \mathbf {v} }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$

Теперь мы можем рассмотреть поток вблизи круглого препятствия. В этой области скорость жидкости будет выше скорости равномерного потока из-за наличия препятствия. Это приводит к нелинейному члену в уравнениях Навье–Стокса, который пропорционален скорости жидкости.${\displaystyle \mathbf {v_{0}} }$${\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} }$

В то же время наличие препятствия также приведет к градиенту давления, с более высоким давлением вблизи препятствия и более низким давлением вдали. Это можно увидеть, рассмотрев уравнение непрерывности, которое гласит, что массовый расход через любую поверхность должен быть постоянным. Поскольку скорость выше вблизи препятствия, массовый расход через поверхность вблизи препятствия будет выше, чем массовый расход через поверхность, удаленную от препятствия. Это можно компенсировать градиентом давления, с более высоким давлением вблизи препятствия и более низким давлением вдали.

В результате этих нелинейных эффектов уравнения Навье–Стокса в этом случае становятся трудноразрешимыми, и для нахождения полей скорости и давления в потоке необходимо использовать приближения или численные методы. Рассмотрим случай двумерного потока жидкости в прямоугольной области с полем скорости и полем давления . Мы можем использовать метод конечных элементов для решения уравнения Навье–Стокса для поля скорости:${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$${\displaystyle p(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+f_{x}(x,y,t)}$

Для этого мы разделим область на ряд более мелких элементов и представим поле скорости как:

${\displaystyle u(x,y,t)=\sum _{i=1}^{N}U_{i}(t)\phi _{i}(x,y)}$

где — число элементов, а — функции формы, связанные с каждым элементом. Подставляя это выражение в уравнение Навье–Стокса и применяя метод конечных элементов, можно вывести систему обыкновенных дифференциальных уравнений:${\displaystyle N}$${\displaystyle \phi _{i}(x,y)}$

${\displaystyle {\frac {dU_{i}}{dt}}=-{\frac {1}{\rho }}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}\right)j\int {\Omega }\phi _{j}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x}}d\Omega +\nu \sum _{j=1}^{N}\int _{\Omega }\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)\phi _{j}{\frac {\partial ^{2}\phi _{i}}{\partial x^{2}}}d\Omega +\int {\Omega }f_{x}\phi _{i}d\Omega }$

где — область, а интегралы — по области. Эту систему обыкновенных дифференциальных уравнений можно решить с помощью таких методов, как метод конечных элементов или спектральные методы.${\displaystyle \Omega }$

Здесь мы воспользуемся методом конечных разностей. Для этого мы можем разделить временной интервал на ряд меньших временных шагов и аппроксимировать производную на каждом временном шаге с помощью формулы конечных разностей:${\displaystyle [t_{0},t_{f}]}$

${\displaystyle {\frac {U_{i+1}-U_{i}}{\Delta t}}\approx -{\frac {1}{\rho }}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}\right)j\int {\Omega }\phi _{j}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x}}d\Omega +\nu \sum _{j=1}^{N}\int _{\Omega }\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)j\phi _{j}{\frac {\partial ^{2}\phi _{i}}{\partial x^{2}}}d\Omega +\int {\Omega }f_{x}\phi _{i}d\Omega }$

где — размер временного шага, а и — значения и на временном шаге .${\displaystyle \Delta t=t_{i+1}-t_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle t_{i}}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle t}$${\displaystyle i}$

Используя это приближение, мы можем перебрать временные шаги и вычислить значение на каждом временном шаге. Например, начиная с временного шага и используя приведенное выше приближение, мы можем вычислить значение на временном шаге :${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle i}$${\displaystyle U_{i}}$${\displaystyle i+1}$${\displaystyle U_{i+1}=U_{i}+\Delta t\cdot \left(-{\frac {1}{\rho }}\sum _{j=1}^{N}\left({\frac {\partial p}{\partial x}}\right)j\int {\Omega }\phi _{j}{\frac {\partial \phi _{i}}{\partial x}}d\Omega +\nu \sum _{j=1}^{N}\int _{\Omega }\left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}\right)_{j}\phi _{j}{\frac {\partial ^{2}\phi _{i}}{\partial x^{2}}}d\Omega +\int _{\Omega }f_{x}\phi _{i}d\Omega \right)}$

Этот процесс можно повторять до тех пор, пока мы не достигнем конечного временного шага .${\displaystyle t_{f}}$

Существует много других подходов к решению обыкновенных дифференциальных уравнений, каждый из которых имеет свои преимущества и недостатки. Выбор подхода зависит от конкретного решаемого уравнения, а также от желаемой точности и эффективности решения.

Существуют две различные настройки для проблемы существования и гладкости Навье–Стокса с призом в один миллион долларов. Исходная задача находится во всем пространстве , что требует дополнительных условий на поведение роста начального условия и решений. Чтобы исключить проблемы на бесконечности, уравнения Навье–Стокса можно задать в периодической структуре, что подразумевает, что они больше не работают во всем пространстве, а в трехмерном торе . Каждый случай будет рассматриваться отдельно.${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=\mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}}$

Начальное условие предполагается гладким и бездивергентным (см. гладкую функцию ) таким образом, что для каждого мультииндекса (см. многоиндексную нотацию ) и любого существует константа такая, что${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle K>0}$${\displaystyle C=C(\alpha ,K)>0}$

${\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }\mathbf {v_{0}} (x)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert x\vert )^{K}}}\qquad }$для всех${\displaystyle \qquad x\in \mathbb {R} ^{3}.}$

Предполагается, что внешняя сила также является гладкой функцией и удовлетворяет очень похожему неравенству (теперь мультииндекс включает также производные по времени):${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}$

${\displaystyle \vert \partial ^{\alpha }\mathbf {f} (x,t)\vert \leq {\frac {C}{(1+\vert x\vert +t)^{K}}}\qquad }$для всех${\displaystyle \qquad (x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ).}$

Для физически разумных условий ожидаемым типом решений являются гладкие функции, которые не растут как . Точнее, делаются следующие предположения:${\displaystyle \vert x\vert \to \infty }$

1. ${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty )),\qquad p(x,t)\in C^{\infty }(\mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ))}$
2. Существует константа такая, что для всех${\displaystyle E\in (0,\infty )}$${\displaystyle \int _{\mathbb {R} ^{3}}\vert \mathbf {v} (x,t)\vert ^{2}\,dx<E}$${\displaystyle t\geq 0\,.}$

Условие 1 подразумевает, что функции являются гладкими и глобально определенными, а условие 2 означает, что кинетическая энергия решения глобально ограничена.

(A) Существование и гладкость решений Навье–Стокса в${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Пусть . Для любого начального условия, удовлетворяющего приведенным выше гипотезам, существуют гладкие и глобально определенные решения уравнений Навье–Стокса, т.е. существуют вектор скорости и давление, удовлетворяющие условиям 1 и 2 выше.${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)\equiv 0}$${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$${\displaystyle p(x,t)}$

(B) Разложение решений Навье-Стокса в${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$

Существуют начальное условие и внешняя сила, такие, что не существует решений и удовлетворяющие условиям 1 и 2 выше.${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}$${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$${\displaystyle p(x,t)}$

Гипотезы премии тысячелетия — это две математические проблемы, которые были выбраны Математическим институтом Клэя в качестве наиболее важных нерешенных проблем в математике. Первая гипотеза, известная как гипотеза «гладкости», утверждает, что всегда должны существовать гладкие и глобально определенные решения уравнений Навье–Стокса в трехмерном пространстве. Вторая гипотеза, известная как гипотеза «разрушения», утверждает, что должен быть по крайней мере один набор начальных условий и внешних сил, для которых не существует гладких решений уравнений Навье–Стокса. Уравнения Навье–Стокса представляют собой набор уравнений в частных производных, которые описывают движение жидкостей. Они задаются следующим образом:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}+(\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} =-{\frac {1}{\rho }}\nabla p+\nu \nabla ^{2}\mathbf {v} +\mathbf {f} }$

${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {v} =0}$

где — поле скорости жидкости, — давление, — плотность, — кинематическая вязкость, — внешняя сила. Первое уравнение известно как уравнение импульса, а второе уравнение известно как уравнение непрерывности.${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$${\displaystyle p(x,t)}$${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}$

Эти уравнения обычно сопровождаются граничными условиями, которые описывают поведение жидкости на краях области. Например, в случае жидкости, текущей по трубе, граничные условия могут указывать, что скорость и давление фиксированы на стенках трубы.

Уравнения Навье–Стокса нелинейны и сильно связаны, что делает их решение сложным в целом. В частности, сложность решения этих уравнений заключается в члене , который представляет собой нелинейную адвекцию поля скорости как таковую. Этот член делает уравнения Навье–Стокса очень чувствительными к начальным условиям, и это главная причина, по которой гипотезы Премии тысячелетия столь сложны.${\displaystyle (\mathbf {v} \cdot \nabla )\mathbf {v} }$

Помимо математических проблем решения уравнений Навье–Стокса, существует также много практических проблем в применении этих уравнений к реальным ситуациям. Например, уравнения Навье–Стокса часто используются для моделирования потоков жидкости, которые являются турбулентными, что означает, что жидкость является крайне хаотичной и непредсказуемой. Турбулентность — это сложное для моделирования и понимания явление, и оно добавляет еще один уровень сложности к проблеме решения уравнений Навье–Стокса. Чтобы решить уравнения Навье–Стокса, нам нужно найти поле скорости и поле давления , которые удовлетворяют уравнениям и заданным граничным условиям. Это можно сделать с помощью различных численных методов, таких как методы конечных элементов, спектральные методы или методы конечных разностей.${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$${\displaystyle p(x,t)}$

Например, рассмотрим случай двумерного течения жидкости в прямоугольной области с полями скорости и давления и полем давления ,соответственно. Уравнения Навье–Стокса можно записать в виде:${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$${\displaystyle p(x,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial t}}+u{\frac {\partial u}{\partial x}}+v{\frac {\partial u}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial x}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}\right)+f_{x}(x,y,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial t}}+u{\frac {\partial v}{\partial x}}+v{\frac {\partial v}{\partial y}}=-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial p}{\partial y}}+\nu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}\right)+f_{y}(x,y,t)}$

${\displaystyle {\frac {\partial u}{\partial x}}+{\frac {\partial v}{\partial y}}=0}$

${\displaystyle {\frac {\partial v}{\partial x}}+{\frac {\partial u}{\partial y}}=0}$

где — плотность, — кинематическая вязкость, — внешняя сила. Граничные условия могут указывать, что скорость фиксирована на стенках области или что давление фиксировано в определенных точках. Последнее тождество возникает, поскольку поток является соленоидальным .${\displaystyle \rho }$${\displaystyle \nu }$${\displaystyle \mathbf {f} (x,y,t)=(f_{x}(x,y,t),f_{y}(x,y,t))}$

Чтобы решить эти уравнения численно, мы можем разделить домен на ряд меньших элементов и решить уравнения локально внутри каждого элемента. Например, используя метод конечных элементов, мы можем представить поля скорости и давления как:

${\displaystyle u(x,y,t)=\sum _{i=1}^{N}U_{i}(t)\phi _{i}(x,y)}$

${\displaystyle v(x,y,t)=\sum _{i=1}^{N}V_{i}(t)\phi _{i}(x,y)}$

${\displaystyle p(x,y,t)=\sum _{i=1}^{N}P_{i}(t)\phi _{i}(x,y)}$

где — число элементов, а — функции формы, связанные с каждым элементом. Подставляя эти выражения в уравнения Навье–Стокса и применяя метод конечных элементов, можно вывести систему обыкновенных дифференциальных уравнений${\displaystyle N}$${\displaystyle \phi _{i}(x,y)}$

Искомые функции теперь являются периодическими по пространственным переменным периода 1. Точнее, пусть будет унитарным вектором в направлении i :${\displaystyle e_{i}}$

${\displaystyle e_{1}=(1,0,0)\,,\qquad e_{2}=(0,1,0)\,,\qquad e_{3}=(0,0,1)}$

Тогда является периодической по пространственным переменным, если для любого , то:${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$${\displaystyle i=1,2,3}$

${\displaystyle \mathbf {v} (x+e_{i},t)=\mathbf {v} (x,t){\text{ for all }}(x,t)\in \mathbb {R} ^{3}\times [0,\infty ).}$

Обратите внимание, что здесь рассматриваются координаты mod 1. Это позволяет работать не со всем пространством , а с факторпространством , которое оказывается трехмерным тором:${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}}$ ${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}/\mathbb {Z} ^{3}}$

${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}=\{(\theta _{1},\theta _{2},\theta _{3}):0\leq \theta _{i}<2\pi \,,\quad i=1,2,3\}.}$

Теперь гипотезы могут быть сформулированы должным образом. Начальное условие предполагается гладким и бездивергентным, а внешняя сила также предполагается гладкой функцией. Тип решений, которые физически значимы, это те, которые удовлетворяют этим условиям:${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}$

Как и в предыдущем случае, условие 3 подразумевает, что функции гладкие и глобально определены, а условие 4 означает, что кинетическая энергия решения глобально ограничена.

(C) Существование и гладкость решений Навье–Стокса в${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}}$

Пусть . Для любого начального условия, удовлетворяющего приведенным выше гипотезам, существуют гладкие и глобально определенные решения уравнений Навье–Стокса, т.е. существуют вектор скорости и давление, удовлетворяющие условиям 3 и 4 выше.${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)\equiv 0}$${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$${\displaystyle p(x,t)}$

(D) Разложение решений Навье-Стокса в${\displaystyle \mathbb {T} ^{3}}$

Существуют начальное условие и внешняя сила, такие, что не существует решений и удовлетворяющие условиям 3 и 4 выше.${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$${\displaystyle \mathbf {f} (x,t)}$${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$${\displaystyle p(x,t)}$

В 1934 году Жан Лере доказал, что существуют гладкие и глобально определенные решения уравнений Навье–Стокса при условии, что начальная скорость достаточно мала. ^[1] Он также доказал существование так называемых слабых решений уравнений Навье–Стокса, удовлетворяющих уравнениям в среднем значении, а не поточечно. ^[2]${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$

В 1960-х годах было доказано, что метод конечных разностей сходится для уравнений Навье–Стокса, и уравнения были численно решены. Было также доказано, что существуют гладкие и глобально определенные решения уравнений Навье–Стокса в 2 измерениях. ^[3]

Известно, что при заданной начальной скорости существует конечное «время взрыва» T , зависящее от , такое, что уравнения Навье–Стокса на имеют гладкие решения и . Неизвестно, существуют ли решения за пределами . ^[1]${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$${\displaystyle \mathbf {v} _{0}(x)}$${\displaystyle \mathbb {R} ^{3}\times (0,T)}$${\displaystyle \mathbf {v} (x,t)}$${\displaystyle p(x,t)}$

В 2016 году Теренс Тао опубликовал статью под названием «Конечный взрыв для усредненного трехмерного уравнения Навье–Стокса», в которой он формализует идею «барьера надкритичности» для глобальной проблемы регулярности для истинных уравнений Навье–Стокса и утверждает, что его метод доказательства намекает на возможный путь к установлению взрыва для истинных уравнений. ^[4]

Нерешенные задачи использовались для обозначения редкого математического таланта в художественной литературе. Задача Навье–Стокса представлена ​​в «Шиве математика» (2014), книге о престижном, умершем, вымышленном математике по имени Рашела Карнокович, которая унесла доказательство с собой в могилу в знак протеста против академических кругов. ^{[5] [6]} Фильм «Одаренная » (2017) ссылался на задачи Премии тысячелетия и рассматривал потенциал для 7-летней девочки и ее умершей матери-математика решить задачу Навье–Стокса. ^[7]

• Список нерешенных задач по математике
• Список нерешенных проблем по физике

• Constantin, Peter (2001). «Некоторые открытые проблемы и направления исследований в математическом изучении динамики жидкости». Mathematics Unlimited — 2001 и далее . Berlin: Springer. стр.  353–360 . doi :10.1007/978-3-642-56478-9_15. ISBN 3-642-63114-2.

• Айзенман, Майкл . «Уравнения Навье-Стокса: глобальное существование и единственность».Предоставил: Яков Синай
• Премия Математического института Клэя за уравнение Навье-Стокса
• Почему глобальная закономерность для Навье-Стокса сложна — Возможные пути решения тщательно исследуются Теренсом Тао .
• Существование и гладкость Навье–Стокса (задача премии тысячелетия) Лекция Луиса Каффарелли по этой задаче .
• «Уравнение Навье-Стокса – вопрос на миллион долларов в механике жидкости». Aleph Zero . 3 июня 2020 г. Архивировано из оригинала 2021-12-19 – через YouTube .