Биномиальная теорема

${\displaystyle {\begin{array}{c}1\\1\quad 1\\1\quad 2\quad 1\\1\quad 3\quad 3\quad 1\\1\quad 4\quad 6\quad 4\quad 1\\1\quad 5\quad 10\quad 10\quad 5\quad 1\\1\quad 6\quad 15\quad 20\quad 15\quad 6\quad 1\\1\quad 7\quad 21\quad 35\quad 35\quad 21\quad 7\quad 1\end{array}}}$

Биномиальный коэффициент появляется как k -й элемент в n- й строке треугольника Паскаля (где вершина — 0-й ряд ). Каждый элемент представляет собой сумму двух элементов над ним.${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}}$

В элементарной алгебре , теорема о биноме (или биномиальное разложение ) описывает алгебраическое разложение степеней двучлена . Согласно теореме, степень ⁠ ⁠ расширяется в многочлен с членами вида ⁠ ⁠ , где показатели ⁠ ⁠ и ⁠ ⁠ являются неотрицательными целыми числами , удовлетворяющими ⁠ ⁠ , а коэффициент ⁠ ⁠ каждого члена является определенным положительным целым числом, зависящим от ⁠ ⁠ и ⁠ ⁠ . Например, для ⁠ ⁠ ,${\displaystyle \textstyle (x+y)^{n}}$${\displaystyle \textstyle ax^{k}y^{m}}$${\displaystyle к}$${\displaystyle м}$${\displaystyle k+m=n}$ ${\displaystyle a}$${\displaystyle n}$${\displaystyle k}$${\displaystyle n=4}$$${\displaystyle (x+y)^{4}=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4}.}$$

Коэффициент ⁠ ⁠${\displaystyle a}$ в каждом члене ⁠ ⁠${\displaystyle \textstyle ax^{k}y^{m}}$ известен как биномиальный коэффициент ⁠ ⁠${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ или ⁠ ⁠${\displaystyle {\tbinom {n}{m}}}$ (оба имеют одинаковое значение). Эти коэффициенты для изменения ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ и ⁠ ⁠${\displaystyle k}$ могут быть организованы так, чтобы сформировать треугольник Паскаля . Эти числа также встречаются в комбинаторике , где ⁠ ⁠${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ дает количество различных комбинаций (т. е. подмножеств) ⁠ ⁠ ${\displaystyle k}$ элементов , которые могут быть выбраны из ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ -элементного набора . Поэтому ⁠ ⁠${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$ обычно произносится как " ⁠ ⁠${\displaystyle n}$ choose ⁠ ⁠${\displaystyle k}$ ".

Согласно теореме, разложение любой неотрицательной целой степени n двучлена x + y представляет собой сумму вида , где каждое из них является положительным целым числом, известным как биномиальный коэффициент , определяемый как$${\displaystyle (x+y)^{n}={n \choose 0}x^{n}y^{0}+{n \choose 1}x^{n-1}y^{1}+{n \choose 2}x^{n-2}y^{2}+\cdots +{n \choose n}x^{0}y^{n},}$$${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\,(n-k)!}}={\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)(k-2)\cdots 2\cdot 1}}.}$$

Эта формула также называется биномиальной формулой или биномиальным тождеством . Используя запись суммирования , ее можно записать более кратко как$${\displaystyle (x+y)^{n}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{n-k}y^{k}=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}y^{n-k}.}$$

Окончательное выражение следует из предыдущего в силу симметрии x и y в первом выражении, а из сравнения следует, что последовательность биномиальных коэффициентов в формуле симметрична,${\textstyle {\binom {n}{k}}={\binom {n}{n-k}}.}$

Простой вариант биномиальной формулы получается путем замены y на 1 , так что в ней участвует только одна переменная . В этой форме формула имеет вид$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+1)^{n}&={n \choose 0}x^{0}+{n \choose 1}x^{1}+{n \choose 2}x^{2}+\cdots +{n \choose n}x^{n}\\[4mu]&=\sum _{k=0}^{n}{n \choose k}x^{k}.{\vphantom {\Bigg )}}\end{aligned}}}$$

Вот несколько первых случаев биномиальной теоремы: В общем случае для разложения ( x + y ) ⁿ в правой части в n -й строке (пронумерованной так, что верхняя строка является 0-й строкой):$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{0}&=1,\\[8pt](x+y)^{1}&=x+y,\\[8pt](x+y)^{2}&=x^{2}+2xy+y^{2},\\[8pt](x+y)^{3}&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3},\\[8pt](x+y)^{4}&=x^{4}+4x^{3}y+6x^{2}y^{2}+4xy^{3}+y^{4},\end{aligned}}}$$

• показатели степени x в членах равны n , n − 1, ..., 2, 1, 0 (последний член неявно содержит x ⁰ = 1 );
• показатели степеней y в членах равны 0, 1, 2, ..., n − 1, n (первый член неявно содержит y ⁰ = 1 );
• коэффициенты образуют n- ю строку треугольника Паскаля;
• до объединения подобных членов в разложении имеется 2 ⁿ членов x ⁱ y ^{j (не показано);}
• После объединения подобных членов получается n + 1 член, а их коэффициенты в сумме составляют 2 ⁿ .

Пример, иллюстрирующий последние два пункта: с .$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=xxx+xxy+xyx+xyy+yxx+yxy+yyx+yyy&(2^{3}{\text{ terms}})\\&=x^{3}+3x^{2}y+3xy^{2}+y^{3}&(3+1{\text{ terms}})\end{aligned}}}$$${\displaystyle 1+3+3+1=2^{3}}$

Простой пример с определенным положительным значением y :$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+2)^{3}&=x^{3}+3x^{2}(2)+3x(2)^{2}+2^{3}\\&=x^{3}+6x^{2}+12x+8.\end{aligned}}}$$

Простой пример с определенным отрицательным значением y :$${\displaystyle {\begin{aligned}(x-2)^{3}&=x^{3}-3x^{2}(2)+3x(2)^{2}-2^{3}\\&=x^{3}-6x^{2}+12x-8.\end{aligned}}}$$

Для положительных значений a и b теорема о биноме Ньютона при n = 2 является геометрически очевидным фактом, что квадрат со стороной a + b можно разрезать на квадрат со стороной a , квадрат со стороной b и два прямоугольника со сторонами a и b . При n = 3 теорема утверждает, что куб со стороной a + b можно разрезать на куб со стороной a , куб со стороной b , три прямоугольных ящика a × a × b и три прямоугольных ящика a × b × b .

В исчислении эта картинка также дает геометрическое доказательство производной [ ^1] если положить и интерпретировать b как бесконечно малое изменение a , то эта картинка показывает бесконечно малое изменение объема n -мерного гиперкуба , где коэффициент линейного члена (в ) представляет собой площадь n граней, каждая из которых имеет размерность n − 1 : Подстановка этого в определение производной через разностное отношение и взятие пределов означает, что члены более высокого порядка и выше становятся пренебрежимо малыми, и дает формулу, интерпретируемую как${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1}:}$${\displaystyle a=x}$${\displaystyle b=\Delta x,}$${\displaystyle (x+\Delta x)^{n},}$${\displaystyle \Delta x}$${\displaystyle nx^{n-1},}$$${\displaystyle (x+\Delta x)^{n}=x^{n}+nx^{n-1}\Delta x+{\binom {n}{2}}x^{n-2}(\Delta x)^{2}+\cdots .}$$${\displaystyle (\Delta x)^{2}}$${\displaystyle (x^{n})'=nx^{n-1},}$

«бесконечно малая скорость изменения объема n- мерного куба при изменении длины его стороны равна площади n его ( n − 1) -мерных граней».

Если интегрировать эту картину, что соответствует применению основной теоремы исчисления , то получим квадратурную формулу Кавальери , интеграл – см. доказательство квадратурной формулы Кавальери для получения подробной информации. ^[1]${\displaystyle \textstyle {\int x^{n-1}\,dx={\tfrac {1}{n}}x^{n}}}$

Коэффициенты, которые появляются в биномиальном разложении, называются биномиальными коэффициентами . Они обычно пишутся и произносятся как « n choose k ».${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$

Коэффициент x ^{n − k} y ^k задается формулой , которая определяется в терминах факториальной функции n ! . Эквивалентно, эта формула может быть записана с k множителями как в числителе, так и в знаменателе дроби . Хотя эта формула включает дробь, биномиальный коэффициент на самом деле является целым числом .$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n!}{k!\;(n-k)!}},}$$$${\displaystyle {\binom {n}{k}}={\frac {n(n-1)\cdots (n-k+1)}{k(k-1)\cdots 1}}=\prod _{\ell =1}^{k}{\frac {n-\ell +1}{\ell }}=\prod _{\ell =0}^{k-1}{\frac {n-\ell }{k-\ell }}}$$${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

Биномиальный коэффициент можно интерпретировать как число способов выбора k элементов из n -элементного набора ( комбинации ). Это связано с биномами по следующей причине: если мы запишем ( x + y ) ⁿ как произведение , то, согласно распределительному закону , в разложении будет один член для каждого выбора x или y из каждого из биномов произведения. Например, будет только один член x ⁿ , соответствующий выбору x из каждого бинома. Однако будет несколько членов вида x ^{n −2} y ² , по одному для каждого способа выбора ровно двух биномов для внесения вклада y . Поэтому после объединения подобных членов коэффициент при x ^{n −2} y ² будет равен числу способов выбора ровно 2 элементов из n -элементного набора.${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$$${\displaystyle (x+y)(x+y)(x+y)\cdots (x+y),}$$

Разложение ( x + y ) ⁿ дает сумму 2 ⁿ произведений вида e ₁ e ₂ ... e _n , где каждое e _i равно x или  y . Перестановка множителей показывает, что каждое произведение равно x ^{n − k} y ^k для некоторого k между 0 и  n . Для заданного k последовательно доказывается равенство следующих произведений:

• число членов, равных x ^{n − k} y ^k в разложении
• количество n -символьных строк x , y , содержащих y ровно в k позициях
• количество k -элементных подмножеств {1, 2, ..., n }
• ${\displaystyle {\tbinom {n}{k}},}$либо по определению, либо с помощью короткого комбинаторного аргумента, если кто-то определяет как${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$${\displaystyle {\tfrac {n!}{k!(n-k)!}}.}$

Это доказывает биномиальную теорему.

Коэффициент при xy ² равен , поскольку существует три строки x , y длины 3, содержащие ровно два y , а именно, соответствующие трем 2-элементным подмножествам {1, 2, 3} , а именно, где каждое подмножество определяет позиции y в соответствующей строке.$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{3}&=(x+y)(x+y)(x+y)\\&=xxx+xxy+xyx+{\underline {xyy}}+yxx+{\underline {yxy}}+{\underline {yyx}}+yyy\\&=x^{3}+3x^{2}y+{\underline {3xy^{2}}}+y^{3}\end{aligned}}}$$${\displaystyle {\tbinom {3}{2}}=3}$$${\displaystyle xyy,\;yxy,\;yyx,}$$$${\displaystyle \{2,3\},\;\{1,3\},\;\{1,2\},}$$

Индукция дает еще одно доказательство биномиальной теоремы. Когда n = 0 , обе стороны равны 1 , так как x ⁰ = 1 и Теперь предположим, что равенство выполняется для заданного n ; мы докажем его для n + 1. Для j , k ≥ 0 пусть [ f ( x , y )] _{j , k} обозначает коэффициент при x ^j y ^k в многочлене f ( x , y ) . По индуктивному предположению, ( x + y ) ⁿ является многочленом от x и y таким, что [( x + y ) ⁿ ] _{j , k} равно , если j + k = n , и 0 в противном случае. Тождество показывает, что ( x + y ) ^{n +1} также является многочленом от x и y , и так как если j + k = n + 1 , то ( j − 1) + k = n и j + ( k − 1) = n . Теперь правая часть — по тождеству Паскаля . ^[2] С другой стороны, если j + k ≠ n + 1 , то ( j – 1) + k ≠ n и j + ( k – 1) ≠ n , так что мы получаем 0 + 0 = 0. Таким образом, это индуктивная гипотеза с заменой n на n + 1 , и таким образом завершается индуктивный шаг.${\displaystyle {\tbinom {0}{0}}=1.}$${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$$${\displaystyle (x+y)^{n+1}=x(x+y)^{n}+y(x+y)^{n}}$$$${\displaystyle [(x+y)^{n+1}]_{j,k}=[(x+y)^{n}]_{j-1,k}+[(x+y)^{n}]_{j,k-1},}$$$${\displaystyle {\binom {n}{k}}+{\binom {n}{k-1}}={\binom {n+1}{k}},}$$$${\displaystyle (x+y)^{n+1}=\sum _{k=0}^{n+1}{\binom {n+1}{k}}x^{n+1-k}y^{k},}$$

Около 1665 года Исаак Ньютон обобщил теорему о биноме, чтобы разрешить действительные показатели, отличные от неотрицательных целых чисел. (То же обобщение применимо и к комплексным показателям.) В этом обобщении конечная сумма заменяется бесконечным рядом . Чтобы сделать это, нужно придать смысл биномиальным коэффициентам с произвольным верхним индексом, что невозможно сделать с помощью обычной формулы с факториалами. Однако для произвольного числа r можно определить , где есть символ Похгаммера , здесь обозначающий падающий факториал . Это согласуется с обычными определениями, когда r — неотрицательное целое число. Тогда, если x и y — действительные числа с | x | > | y | , ^{[Примечание 1]} и r — любое комплексное число, то имеем$${\displaystyle {r \choose k}={\frac {r(r-1)\cdots (r-k+1)}{k!}}={\frac {(r)_{k}}{k!}},}$$${\displaystyle (\cdot )_{k}}$$${\displaystyle {\begin{aligned}(x+y)^{r}&=\sum _{k=0}^{\infty }{r \choose k}x^{r-k}y^{k}\\&=x^{r}+rx^{r-1}y+{\frac {r(r-1)}{2!}}x^{r-2}y^{2}+{\frac {r(r-1)(r-2)}{3!}}x^{r-3}y^{3}+\cdots .\end{aligned}}}$$

Когда r — неотрицательное целое число, биномиальные коэффициенты при k > r равны нулю, поэтому это уравнение сводится к обычной биномиальной теореме, и имеется не более r + 1 ненулевых членов. Для других значений r ряд обычно имеет бесконечно много ненулевых членов.

Например, r = 1/2 дает следующий ряд для квадратного корня:$${\displaystyle {\sqrt {1+x}}=1+{\frac {1}{2}}x-{\frac {1}{8}}x^{2}+{\frac {1}{16}}x^{3}-{\frac {5}{128}}x^{4}+{\frac {7}{256}}x^{5}-\cdots .}$$

Принимая r = −1 , обобщенный биномиальный ряд дает формулу геометрической прогрессии , верную для | x | < 1 :$${\displaystyle (1+x)^{-1}={\frac {1}{1+x}}=1-x+x^{2}-x^{3}+x^{4}-x^{5}+\cdots .}$$

В более общем случае при r = − s мы имеем для | x | < 1 : ^[3]$${\displaystyle {\frac {1}{(1+x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{-s \choose k}x^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}(-1)^{k}x^{k}.}$$

Так, например, когда s = 1/2 ,$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1+x}}}=1-{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}-{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}-{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}$$

Замена x на -x дает:$${\displaystyle {\frac {1}{(1-x)^{s}}}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}(-1)^{k}(-x)^{k}=\sum _{k=0}^{\infty }{s+k-1 \choose k}x^{k}.}$$

Так, например, когда s = 1/2 , мы имеем для | x | < 1 :$${\displaystyle {\frac {1}{\sqrt {1-x}}}=1+{\frac {1}{2}}x+{\frac {3}{8}}x^{2}+{\frac {5}{16}}x^{3}+{\frac {35}{128}}x^{4}+{\frac {63}{256}}x^{5}+\cdots .}$$

Обобщенную биномиальную теорему можно распространить на случай, когда x и y — комплексные числа. Для этой версии следует снова предположить | x | > | y | ^{[Примечание 1]} и определить степени x + y и x с помощью голоморфной ветви логарифма , определенной на открытом круге радиуса | x | с центром в точке x . Обобщенная биномиальная теорема верна также для элементов x и y банаховой алгебры , пока xy = yx , а x обратим и ‖ y / x ‖ < 1 .

Версия биномиальной теоремы верна для следующего семейства полиномов, подобных символу Похгаммера : для заданной действительной константы c определим и для Тогда ^[4] Случай c = 0 восстанавливает обычную биномиальную теорему.${\displaystyle x^{(0)}=1}$$${\displaystyle x^{(n)}=\prod _{k=1}^{n}[x+(k-1)c]}$$${\displaystyle n>0.}$$${\displaystyle (a+b)^{(n)}=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}a^{(n-k)}b^{(k)}.}$$

В более общем смысле последовательность многочленов называется биномиальной, если${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$

• ${\displaystyle \deg p_{n}=n}$для всех ,${\displaystyle n}$
• ${\displaystyle p_{0}(0)=1}$, и
• ${\displaystyle p_{n}(x+y)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}p_{k}(x)p_{n-k}(y)}$для всех , , и .${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$${\displaystyle n}$

Оператор в пространстве многочленов называется базисным оператором последовательности тогда и для всех . Последовательность является биномиальной тогда и только тогда, когда ее базисный оператор является дельта-оператором . ^[5] Записывая для сдвига на оператор, дельта-операторы, соответствующие указанным выше семействам многочленов «Похгаммера», являются обратной разностью для , обычной производной для и прямой разностью для .${\displaystyle Q}$${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$${\displaystyle Qp_{0}=0}$${\displaystyle Qp_{n}=np_{n-1}}$${\displaystyle n\geqslant 1}$${\displaystyle \{p_{n}\}_{n=0}^{\infty }}$${\displaystyle E^{a}}$${\displaystyle a}$${\displaystyle I-E^{-c}}$${\displaystyle c>0}$${\displaystyle c=0}$${\displaystyle E^{-c}-I}$${\displaystyle c<0}$

Биномиальную теорему можно обобщить, включив в нее степени сумм с более чем двумя членами. Общая версия такова:

$${\displaystyle (x_{1}+x_{2}+\cdots +x_{m})^{n}=\sum _{k_{1}+k_{2}+\cdots +k_{m}=n}{\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}x_{1}^{k_{1}}x_{2}^{k_{2}}\cdots x_{m}^{k_{m}},}$$

где суммирование берется по всем последовательностям неотрицательных целых индексов k ₁ через k _m таким образом, что сумма всех k _i равна  n . (Для каждого члена в разложении показатели степени должны в сумме давать  n ). Коэффициенты известны как коэффициенты полинома и могут быть вычислены по формуле${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$$${\displaystyle {\binom {n}{k_{1},k_{2},\ldots ,k_{m}}}={\frac {n!}{k_{1}!\cdot k_{2}!\cdots k_{m}!}}.}$$

Комбинаторно мультиномиальный коэффициент подсчитывает количество различных способов разбиения множества из n элементов на непересекающиеся подмножества размеров k ₁ , ..., k _m .${\displaystyle {\tbinom {n}{k_{1},\cdots ,k_{m}}}}$

При работе в большем количестве измерений часто бывает полезно иметь дело с произведениями биномиальных выражений. По биномиальной теореме это равно$${\displaystyle (x_{1}+y_{1})^{n_{1}}\dotsm (x_{d}+y_{d})^{n_{d}}=\sum _{k_{1}=0}^{n_{1}}\dotsm \sum _{k_{d}=0}^{n_{d}}{\binom {n_{1}}{k_{1}}}x_{1}^{k_{1}}y_{1}^{n_{1}-k_{1}}\dotsc {\binom {n_{d}}{k_{d}}}x_{d}^{k_{d}}y_{d}^{n_{d}-k_{d}}.}$$

Это можно записать более кратко, используя многоиндексную нотацию , как$${\displaystyle (x+y)^{\alpha }=\sum _{\nu \leq \alpha }{\binom {\alpha }{\nu }}x^{\nu }y^{\alpha -\nu }.}$$

Общее правило Лейбница дает n- ю производную произведения двух функций в форме, аналогичной форме биномиальной теоремы: ^[6] $${\displaystyle (fg)^{(n)}(x)=\sum _{k=0}^{n}{\binom {n}{k}}f^{(n-k)}(x)g^{(k)}(x).}$$

Здесь верхний индекс ( n ) указывает n- ю производную функции, . Если положить f ( x ) = e ^ax и g ( x ) = e ^bx , то сокращение общего множителя e ^{( a + b ) x} из каждого члена дает обычную биномиальную теорему. ^[7]${\displaystyle f^{(n)}(x)={\tfrac {d^{n}}{dx^{n}}}f(x)}$

Частные случаи теоремы о биноме были известны по крайней мере с 4 века до н. э., когда греческий математик Евклид упомянул частный случай теоремы о биноме для показателя степени . ^[8] Греческий математик Диофант возвел в куб различные биномы, включая . ^[8] Метод индийского математика Арьябхаты для нахождения кубических корней, датируемый примерно 510 годом н. э., предполагает, что он знал формулу бинома для показателя степени . ^[8]${\displaystyle n=2}$${\displaystyle x-1}$${\displaystyle n=3}$

Биномиальные коэффициенты, как комбинаторные величины, выражающие число способов выбора k объектов из n без замены ( комбинации ), представляли интерес для древнеиндийских математиков. Джайнская Бхагавати-сутра (ок. 300 г. до н. э.) описывает число комбинаций философских категорий, чувств или других вещей с правильными результатами вплоть до ⁠ ⁠${\displaystyle n=4}$ (вероятно, полученными путем перечисления всех возможностей и их подсчета) [ ^9] и предположением, что более высокие комбинации также могут быть найдены. ^[10] Чандахшастра индийского лирика Пингалы (3 или 2 век до н. э.) несколько загадочно описывает метод расположения двух типов слогов для формирования метров различной длины и их подсчета; Как интерпретировал и разработал Халаюдха, комментатор Пингалы в X веке, его «метод пирамидального расширения» ( меру-прастара ) для подсчета метров эквивалентен треугольнику Паскаля . ^[11] Варахамихира (VI век н. э.) описывает другой метод вычисления количества комбинаций путем сложения чисел в столбцах. ^[12] К IX веку индийские математики научились выражать это как произведение дробей , и четкие формулировки этого правила можно найти в « Патиганите » Шридхары (VIII–IX века), « Ганита -сара-санграхе» Махавиры (ок. 850 г.) и «Лилавати » Бхаскары II (XII век). ^{[12] [9] [13]} ${\displaystyle {\tfrac {n}{1}}\times {\tfrac {n-1}{2}}\times \cdots \times {\tfrac {n-k+1}{n-k}}}$

Персидский математик аль-Караджи (953–1029) написал ныне утерянную книгу, содержащую теорему о биноме и таблицу биномиальных коэффициентов, которую часто считают первым появлением этих теорем. ^{[14] [15] [16]} Явное утверждение теоремы о биноме появляется в труде аль -Бахира аль-Самау'аля (XII век), авторство которого приписывают аль-Караджи. ^{[17] [14]} Аль-Самау'аль алгебраически разложил квадрат, куб и четвертую степень двучлена, каждую через предыдущую степень, и отметил, что аналогичные доказательства могут быть предоставлены для более высоких степеней, ранней формы математической индукции . Затем он предоставил таблицу биномиальных коэффициентов аль-Караджи (треугольник Паскаля, повернутый на бок) вплоть до ⁠ ⁠ и правило для их генерации, эквивалентное рекуррентному соотношению ⁠ ⁠ . ^{[14] [18]} Персидский поэт и математик Омар Хайям, вероятно, был знаком с формулой до более высоких порядков, хотя многие из его математических работ утеряны. ^[8] Биномиальные разложения малых степеней были известны в математических работах 13-го века Ян Хуэя ^[19] , а также Чжу Ши-Чье . ^[8] Ян Хуэй приписывает этот метод гораздо более раннему тексту 11-го века Цзя Сяня , хотя эти сочинения теперь также утеряны. ^[20]${\displaystyle n=12}$ ${\displaystyle \textstyle {\binom {n}{k}}={\binom {n-1}{k-1}}+{\binom {n-1}{k}}}$

В Европе описания построения треугольника Паскаля можно найти уже в труде Иордана де Немора « De arithmetica » (13 век). ^[21] В 1544 году Михаэль Штифель ввел термин «биномиальный коэффициент» и показал, как использовать их для выражения через , через «треугольник Паскаля». ^[22] Другие математики 16 века, включая Никколо Фонтана Тарталья и Симона Стевина, также знали о нем. ^[22] Математик 17 века Блез Паскаль всесторонне изучил одноименный треугольник в своем «Трактате об арифметике треугольника» . ^[23]${\displaystyle (1+x)^{n}}$${\displaystyle (1+x)^{n-1}}$

К началу 17 века некоторые конкретные случаи обобщенной биномиальной теоремы, такие как для , можно найти в работе Генри Бриггса Arithmetica Logarithmica (1624). ^[24] Исааку Ньютону обычно приписывают открытие обобщенной биномиальной теоремы, справедливой для любого действительного показателя, в 1665 году, вдохновленного работой Джона Уоллиса Arithmetic Infinitorum и его методом интерполяции. ^{[22] [ 25] [8] [26] [24]} Логарифмическая версия теоремы для дробных показателей была открыта независимо Джеймсом Грегори , который записал свою формулу в 1670 году. ^[24]${\displaystyle n={\tfrac {1}{2}}}$

Для комплексных чисел биномиальную теорему можно объединить с формулой Муавра, чтобы получить формулы для нескольких углов для синуса и косинуса . Согласно формуле Муавра,$${\displaystyle \cos \left(nx\right)+i\sin \left(nx\right)=\left(\cos x+i\sin x\right)^{n}.}$$

Используя биномиальную теорему, выражение справа можно разложить, а затем взять действительную и мнимую части, чтобы получить формулы для cos( nx ) и sin( nx ) . Например, так как Но формула Муавра отождествляет левую часть с , так что которые являются обычными тождествами двойного угла. Аналогично, так как формула Муавра дает В общем случае и Существуют также похожие формулы с использованием многочленов Чебышёва .$${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{2}=\cos ^{2}x+2i\cos x\sin x-\sin ^{2}x=(\cos ^{2}x-\sin ^{2}x)+i(2\cos x\sin x),}$$${\displaystyle (\cos x+i\sin x)^{2}=\cos(2x)+i\sin(2x)}$$${\displaystyle \cos(2x)=\cos ^{2}x-\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(2x)=2\cos x\sin x,}$$$${\displaystyle \left(\cos x+i\sin x\right)^{3}=\cos ^{3}x+3i\cos ^{2}x\sin x-3\cos x\sin ^{2}x-i\sin ^{3}x,}$$$${\displaystyle \cos(3x)=\cos ^{3}x-3\cos x\sin ^{2}x\quad {\text{and}}\quad \sin(3x)=3\cos ^{2}x\sin x-\sin ^{3}x.}$$$${\displaystyle \cos(nx)=\sum _{k{\text{ even}}}(-1)^{k/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x}$$$${\displaystyle \sin(nx)=\sum _{k{\text{ odd}}}(-1)^{(k-1)/2}{n \choose k}\cos ^{n-k}x\sin ^{k}x.}$$

Число e часто определяется формулой$${\displaystyle e=\lim _{n\to \infty }\left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}.}$$

Применение биномиальной теоремы к этому выражению дает обычный бесконечный ряд для e . В частности:$${\displaystyle \left(1+{\frac {1}{n}}\right)^{n}=1+{n \choose 1}{\frac {1}{n}}+{n \choose 2}{\frac {1}{n^{2}}}+{n \choose 3}{\frac {1}{n^{3}}}+\cdots +{n \choose n}{\frac {1}{n^{n}}}.}$$

K - й член этой суммы равен$${\displaystyle {n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}\cdot {\frac {n(n-1)(n-2)\cdots (n-k+1)}{n^{k}}}}$$

При n → ∞ рациональное выражение справа стремится к 1 , и поэтому$${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{n \choose k}{\frac {1}{n^{k}}}={\frac {1}{k!}}.}$$

Это означает, что e можно записать в виде ряда:$${\displaystyle e=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {1}{k!}}={\frac {1}{0!}}+{\frac {1}{1!}}+{\frac {1}{2!}}+{\frac {1}{3!}}+\cdots .}$$

Действительно, поскольку каждый член биномиального разложения является возрастающей функцией n , из теоремы о монотонной сходимости рядов следует , что сумма этого бесконечного ряда равна  e .

Биномиальная теорема тесно связана с функцией массы вероятности отрицательного биномиального распределения . Вероятность (счетного) набора независимых испытаний Бернулли с вероятностью успеха, когда все они не происходят, равна${\displaystyle \{X_{t}\}_{t\in S}}$${\displaystyle p\in [0,1]}$

${\displaystyle P{\biggl (}\bigcap _{t\in S}X_{t}^{C}{\biggr )}=(1-p)^{|S|}=\sum _{n=0}^{|S|}{|S| \choose n}(-p)^{n}.}$

Верхняя граница этой величины составляет ^[27]${\displaystyle e^{-p|S|}.}$

Биномиальная теорема справедлива в более общем случае для двух элементов x и y в кольце или даже полукольце , при условии, что xy = yx . Например, она справедлива для двух матриц n × n , при условии, что эти матрицы коммутируют; это полезно при вычислении степеней матрицы. ^[28]

^{Биномиальную теорему можно} сформулировать, сказав, что ^{полиномиальная} последовательность {1, x , x2 , x3 , ...} имеет биномиальный тип .

• Биномиальное приближение
• Биномиальное распределение
• Биномиальная обратная теорема
• Биномиальный коэффициент
• Приближение Стерлинга
• Теорема Таннери
• Многочлены, вычисляющие суммы степеней арифметических прогрессий
• q-биномиальная теорема

• Грэм, Рональд ; Кнут, Дональд ; Паташник, Орен (1994). «Биномиальные коэффициенты». Конкретная математика (2-е изд.). Эддисон Уэсли. Гл. 5, стр. 153–256. ISBN 978-0-201-55802-9.

В Wikibook Combinatorics есть страница на тему: Биномиальная теорема

• Соломенцев, Э. Д. (2001) [1994]. «Бином Ньютона». Энциклопедия математики . Издательство EMS .
• «Биномиальная теорема» Стивена Вольфрама и «Биномиальная теорема (шаг за шагом)» Брюса Коллетти и Джеффа Брайанта, Wolfram Demonstrations Project , 2007.
• В данной статье использованы материалы индуктивного доказательства биномиальной теоремы с сайта PlanetMath , лицензированного по лицензии Creative Commons Attribution/Share-Alike License .