алгебра Стинрода

В алгебраической топологии алгебра Стинрода была определена Анри Картаном  (1955) как алгебра стабильных когомологических операций для mod когомологий.${\displaystyle p}$

Для заданного простого числа , алгебра Стинрода является градуированной алгеброй Хопфа над полем порядка , состоящей из всех стабильных когомологических операций для mod когомологий . Она порождается квадратами Стинрода , введенными Норманом Стинродом (1947) для , и приведенными степенями Стинрода , введенными в Стинроде (1953a, 1953b), и гомоморфизмом Бокштейна для .${\displaystyle p}$${\displaystyle A_{p}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$ ${\displaystyle p=2}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p>2}$

Термин «алгебра Стинрода» иногда используется также для алгебры когомологических операций обобщенной теории когомологий .

Операция когомологии — это естественное преобразование между функторами когомологии. Например, если мы возьмем когомологии с коэффициентами в кольце , операция возведения в квадрат произведения кубков дает семейство операций когомологии:${\displaystyle R}$

${\displaystyle H^{n}(X;R)\to H^{2n}(X;R)}$

${\displaystyle x\mapsto x\улыбка x.}$

Когомологические операции не обязательно должны быть гомоморфизмами градуированных колец; см. формулу Картана ниже.

Эти операции не коммутируют с подвеской — то есть они нестабильны. (Это потому, что если является подвеской пространства , то произведение чашек на когомологиях тривиально.) Стинрод построил стабильные операции${\displaystyle Y}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle Sq^{i}\colon H^{n}(X;\mathbb {Z} /2)\to H^{n+i}(X;\mathbb {Z} /2)}$

для всех больше нуля. Обозначение и их название, квадраты Стинрода, происходит от того факта, что ограниченный классами степени - это кубковый квадрат. Существуют аналогичные операции для нечетных первичных коэффициентов, обычно обозначаемые и называемые операциями с приведенной -й степенью:${\displaystyle я}$${\displaystyle Кв.}$${\displaystyle Sq^{n}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle P^{i}}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle P^{i}\colon H^{n}(X;\mathbb {Z} /p)\to H^{n+2i(p-1)}(X;\mathbb {Z} /p)}$

Генерируют связную градуированную алгебру над , где умножение задается композицией операций. Это алгебра Стинрода по модулю 2. В случае алгебра Стинрода по модулю генерируется и операцией Бокштейна, связанной с короткой точной последовательностью${\displaystyle Sq^{i}}$${\displaystyle \mathbb {Z} /2}$${\displaystyle p>2}$${\displaystyle p}$${\displaystyle P^{i}}$ ${\displaystyle \бета}$

${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /p\to \mathbb {Z} /p^{2}\to \mathbb {Z} /p\to 0}$.

В случае элемент Бокштейна равен , а приведенная -я степень равна .${\displaystyle p=2}$${\displaystyle Кв^{1}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle P^{i}}$${\displaystyle Sq^{2i}}$

Мы можем суммировать свойства операций Стинрода как генераторов в кольце когомологий спектров Эйленберга–Маклейна

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}=H\mathbb {F} _{p}^{*}(H\mathbb {F} _{p})}$,

так как существует изоморфизм

${\displaystyle {\begin{align}H\mathbb {F} _{p}^{*}(H\mathbb {F} _{p})&=\bigoplus _{k=0}^{\infty }{\underset {\leftarrow n}{\text{lim}}}\left(H^{n+k}(K(\mathbb {F} _{p},n);\mathbb {F} _{p})\right)\end{align}}}$

давая прямую сумму разложения всех возможных операций когомологии с коэффициентами в . Обратите внимание, что обратный предел групп когомологий появляется, поскольку это вычисление в устойчивом диапазоне групп когомологий пространств Эйленберга–Маклана. Этот результат ^[1] был первоначально вычислен ^[2] Картаном (1954–1955, стр. 7) и Серром (1953).${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Обратите внимание, что существует дуальная характеристика ^[3], использующая гомологию для дуальной алгебры Стинрода .

Следует отметить, что если спектр Эйленберга–Маклена заменить произвольным спектром , то возникнет много проблем при изучении кольца когомологий . В этом случае вместо этого следует рассмотреть обобщенную дуальную алгебру Стинрода , поскольку она обладает гораздо лучшими свойствами и может быть легко изучена во многих случаях (например, ). ^[4] Фактически, эти кольцевые спектры коммутативны, а бимодули плоские. В этом случае это каноническое кодействие на для любого пространства , такое, что это действие хорошо ведет себя по отношению к стабильной гомотопической категории, т. е. существует изоморфизм, поэтому мы можем использовать единицу кольцевого спектра , чтобы получить кодействие на .${\displaystyle H\mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle E}$${\displaystyle E^{*}(E)}$${\displaystyle E_{*}(E)}$${\displaystyle KO,KU,MO,MU,MSp,\mathbb {S}, H\mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle \пи _{*}(E)}$${\displaystyle E_{*}(E)}$${\displaystyle E_{*}(E)}$${\displaystyle E_{*}(X)}$${\displaystyle X}$$${\displaystyle E_{*}(E)\otimes _{\pi _{*}(E)}E_{*}(X)\to [\mathbb {S} ,E\wedge E\wedge X]_{*}}$$${\displaystyle E}$ $${\displaystyle \eta :\mathbb {S} \to E}$$${\displaystyle E_{*}(E)}$${\displaystyle E_{*}(X)}$

Норман Стинрод и Дэвид Б.А. Эпштейн (1962) показали, что квадраты Стинрода характеризуются следующими 5 аксиомами:${\displaystyle Sq^{n}\colon H^{m}\to H^{m+n}}$

1. Естественность: является аддитивным гомоморфизмом и является естественным относительно любого , поэтому .${\displaystyle Sq^{n}\colon H^{m}(X;\mathbb {Z} /2)\to H^{m+n}(X;\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle f\двоеточие от X до Y}$${\displaystyle f^{*}(Sq^{n}(x))=Sq^{n}(f^{*}(x))}$
2. ${\displaystyle Кв^{0}}$является тождественным гомоморфизмом.
3. ${\displaystyle Sq^{n}(x)=x\улыбка x}$для .${\displaystyle x\in H^{n}(X;\mathbb {Z} /2)}$
4. Если тогда${\displaystyle n>\deg(x)}$${\displaystyle Sq^{n}(x)=0}$
5. Формула Картана:${\displaystyle Sq^{n}(x\улыбка y)=\сумма _{i+j=n}(Sq^{i}x)\улыбка (Sq^{j}y)}$

Кроме того, квадраты Стинрода обладают следующими свойствами:

• ${\displaystyle Кв^{1}}$является гомоморфизмом Бокштейна точной последовательности${\displaystyle \бета}$${\displaystyle 0\to \mathbb {Z} /2\to \mathbb {Z} /4\to \mathbb {Z} /2\to 0.}$
• ${\displaystyle Sq^{i}}$коммутирует с соединяющим морфизмом длинной точной последовательности в когомологиях. В частности, он коммутирует относительно подвески${\displaystyle H^{k}(X;\mathbb {Z} /2)\cong H^{k+1}(\Sigma X;\mathbb {Z} /2)}$
• Они удовлетворяют соотношениям Адема, описанным ниже.

Аналогично следующие аксиомы характеризуют приведенные -ые степени для .${\displaystyle p}$${\displaystyle p>2}$

1. Естественность: является аддитивным гомоморфизмом и естественным.${\displaystyle P^{n}\colon H^{m}(X,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )\to H^{m+2n(p-1)}(X,\mathbb {Z} /p\mathbb {Z} )}$
2. ${\displaystyle P^{0}}$является тождественным гомоморфизмом.
3. ${\displaystyle P^{n}}$является степенью кубка по классам степени .${\displaystyle p}$${\displaystyle 2n}$
4. Если тогда${\displaystyle 2n>\deg(x)}$${\displaystyle P^{n}(x)=0}$
5. Формула Картана:${\displaystyle P^{n}(x\улыбка y)=\сумма _{i+j=n}(P^{i}x)\улыбка (P^{j}y)}$

Как и прежде, приведенные p -е степени также удовлетворяют соотношениям Адема и коммутируют с операторами подвески и границы.

Соотношения Адема для были предположены Вэнь-цунь Ву  (1952) и установлены Хосе Адемом  (1952). Они задаются как${\displaystyle p=2}$

${\displaystyle Sq^{i}Sq^{j}=\sum _{k=0}^{\lfloor i/2\rfloor }{jk-1 \choose i-2k}Sq^{i+jk}Sq^{k}}$

для всех таких, что . (Биномиальные коэффициенты следует интерпретировать по модулю 2.) Соотношения Адема позволяют записать произвольную композицию квадратов Стинрода в виде суммы базисных элементов Серра–Картана.${\displaystyle я,j>0}$${\displaystyle я<2j}$

Для нечетных Адемские соотношения имеют вид${\displaystyle p}$

${\displaystyle P^{a}P^{b}=\sum _{i}(-1)^{a+i}{(p-1)(b-i)-1 \choose a-pi}P^{a+b-i}P^{i}}$

для а < пб и

${\displaystyle P^{a}\beta P^{b}=\sum _{i}(-1)^{a+i}{(p-1)(b-i) \choose a-pi}\beta P^{a+b-i}P^{i}+\sum _{i}(-1)^{a+i+1}{(p-1)(b-i)-1 \choose a-pi-1}P^{a+b-i}\beta P^{i}}$

для .${\displaystyle a\leq pb}$

Шон Р. Буллетт и Ян Г. Макдональд  (1982) переформулировали отношения Адема в следующие тождества.

Для пут${\displaystyle p=2}$

${\displaystyle P(t)=\sum _{i\geq 0}t^{i}{\text{Sq}}^{i}}$

тогда отношения Адема эквивалентны

${\displaystyle P(s^{2}+st)\cdot P(t^{2})=P(t^{2}+st)\cdot P(s^{2})}$

Для пут${\displaystyle p>2}$

${\displaystyle P(t)=\sum _{i\geq 0}t^{i}{\text{P}}^{i}}$

тогда отношения Адема эквивалентны утверждению, что

${\displaystyle (1+s\operatorname {Ad} \beta )P(t^{p}+t^{p-1}s+\cdots +ts^{p-1})P(s^{p})}$

симметрично относительно и . Вот операция Бокштейна и .${\displaystyle s}$${\displaystyle t}$${\displaystyle \beta }$${\displaystyle (\operatorname {Ad} \beta )P=\beta P-P\beta }$

Существует простая геометрическая интерпретация квадратов Стинрода с использованием многообразий, представляющих классы когомологий. Предположим, что является гладким многообразием, и рассмотрим класс когомологий, представленный геометрически как гладкий подмногообразие . Когомологически, если мы позволим представить фундаментальный класс , то отображение pushforward${\displaystyle X}$${\displaystyle \alpha \in H^{*}(X)}$${\displaystyle f\colon Y\hookrightarrow X}$${\displaystyle 1=[Y]\in H^{0}(Y)}$${\displaystyle Y}$

${\displaystyle f_{*}(1)=\alpha }$

дает представление . Кроме того, с этим погружением связано вещественное векторное расслоение, называемое нормальным расслоением . Теперь можно понять квадраты Стинрода — они являются продолжением класса Штифеля–Уитни нормального расслоения${\displaystyle \alpha }$${\displaystyle \nu _{Y/X}\to Y}$${\displaystyle \alpha }$

${\displaystyle Sq^{i}(\alpha )=f_{*}(w_{i}(\nu _{Y/X})),}$

что дает геометрическую причину того, почему произведения Стинрода в конечном итоге исчезают. Обратите внимание, что поскольку отображения Стинрода являются групповыми гомоморфизмами, если у нас есть класс , который можно представить как сумму${\displaystyle \beta }$

${\displaystyle \beta =\alpha _{1}+\cdots +\alpha _{n},}$

где представлены как многообразия, мы можем интерпретировать квадраты классов как суммы прямых проецирований нормальных расслоений их базовых гладких многообразий, т.е.${\displaystyle \alpha _{k}}$

${\displaystyle Sq^{i}(\beta )=\sum _{k=1}^{n}f_{*}(w_{i}(\nu _{Y_{k}/X})).}$

Кроме того, эта эквивалентность тесно связана с формулой Ву .

На комплексной проективной плоскости существуют только следующие нетривиальные группы когомологий:${\displaystyle \mathbf {CP} ^{2}}$

${\displaystyle H^{0}(\mathbf {CP} ^{2})\cong H^{2}(\mathbf {CP} ^{2})\cong H^{4}(\mathbf {CP} ^{2})\cong \mathbb {Z} }$,

как можно вычислить с помощью клеточного разложения. Это подразумевает, что единственное возможное нетривиальное произведение Стинрода — это на , поскольку оно дает произведение кубка на когомологиях. Поскольку структура произведения кубка на нетривиальна, этот квадрат нетривиален. Аналогичное вычисление существует на комплексном проективном пространстве , где единственными нетривиальными квадратами являются и операции возведения в квадрат на группах когомологий, представляющих произведение кубка . В квадрате${\displaystyle Sq^{2}}$${\displaystyle H^{2}(\mathbf {CP} ^{2};\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle H^{\ast }(\mathbf {CP} ^{2};\mathbb {Z} /2)}$ ${\displaystyle \mathbf {CP} ^{6}}$${\displaystyle Sq^{0}}$${\displaystyle Sq^{2i}}$${\displaystyle H^{2i}}$${\displaystyle \mathbf {CP} ^{8}}$

${\displaystyle Sq^{2}\colon H^{4}(\mathbf {CP} ^{8};\mathbb {Z} /2)\to H^{6}(\mathbf {CP} ^{8};\mathbb {Z} /2)}$

можно вычислить, используя геометрические методы, описанные выше, и связь между классами Черна и классами Штифеля–Уитни; обратите внимание, что представляет собой ненулевой класс в . Его также можно вычислить напрямую, используя формулу Картана, поскольку и${\displaystyle f\colon \mathbf {CP} ^{4}\hookrightarrow \mathbf {CP} ^{8}}$${\displaystyle H^{4}(\mathbf {CP} ^{8};\mathbb {Z} /2)}$${\displaystyle x^{2}\in H^{4}(\mathbf {CP} ^{8})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Sq^{2}(x^{2})&=Sq^{0}(x)\smile Sq^{2}(x)+Sq^{1}(x)\smile Sq^{1}(x)+Sq^{2}(x)\smile Sq^{0}(x)\\&=0.\end{aligned}}}$

Операции Стинрода для реальных проективных пространств можно легко вычислить, используя формальные свойства квадратов Стинрода. Напомним, что

${\displaystyle H^{*}(\mathbb {RP} ^{\infty };\mathbb {Z} /2)\cong \mathbb {Z} /2[x],}$

где Для операций мы знаем, что${\displaystyle \deg(x)=1.}$${\displaystyle H^{1}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}Sq^{0}(x)&=x\\Sq^{1}(x)&=x^{2}\\Sq^{k}(x)&=0&&{\text{ for any }}k>1\end{aligned}}}$

Соотношение Картана подразумевает, что общая площадь

${\displaystyle Sq:=Sq^{0}+Sq^{1}+Sq^{2}+\cdots }$

является кольцевым гомоморфизмом

${\displaystyle Sq\colon H^{*}(X)\to H^{*}(X).}$

Следовательно

${\displaystyle Sq(x^{n})=(Sq(x))^{n}=(x+x^{2})^{n}=\sum _{i=0}^{n}{n \choose i}x^{n+i}}$

Поскольку в предыдущей сумме имеется только один компонент степени, то имеем:${\displaystyle n+i}$

${\displaystyle Sq^{i}(x^{n})={n \choose i}x^{n+i}.}$

Предположим, что — любая подгруппа степени симметрической группы по точкам, класс когомологий в , абелева группа, на которую действует , и класс когомологий в . Стинрод (1953a, 1953b) показал, как построить приведенную степень в следующим образом.${\displaystyle \pi }$${\displaystyle n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle u}$${\displaystyle H^{q}(X,B)}$${\displaystyle A}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle c}$${\displaystyle H_{i}(\pi ,A)}$${\displaystyle u^{n}/c}$${\displaystyle H^{nq-i}(X,(A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)/\pi )}$

1. Взятие внешнего произведения на себя помноженное на дает эквивариантный коцикл на с коэффициентами в .${\displaystyle u}$${\displaystyle n}$${\displaystyle X^{n}}$${\displaystyle B\otimes \cdots \otimes B}$
2. Выберем в качестве стягиваемого пространства , на котором действует свободно и эквивариантное отображение из в . Оттягивание назад с помощью этого отображения дает эквивариантный коцикл на и, следовательно, коцикл с коэффициентами в .${\displaystyle E}$${\displaystyle \pi }$${\displaystyle E\times X}$${\displaystyle X^{n}.}$${\displaystyle u^{n}}$${\displaystyle E\times X}$${\displaystyle E/\pi \times X}$${\displaystyle B\otimes \cdots \otimes B}$
3. Взяв наклонное произведение с в , получаем коцикл с коэффициентами в .${\displaystyle c}$${\displaystyle H_{i}(E/\pi ,A)}$${\displaystyle X}$${\displaystyle H_{0}(\pi ,A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)}$

Квадраты Стинрода и приведенные степени являются частными случаями этой конструкции, где — циклическая группа простого порядка, действующая как циклическая перестановка элементов, а группы и являются циклическими порядка , так что также является циклической группой порядка .${\displaystyle \pi }$${\displaystyle p=n}$${\displaystyle n}$${\displaystyle A}$${\displaystyle B}$${\displaystyle p}$${\displaystyle H_{0}(\pi ,A\otimes B\otimes \cdots \otimes B)}$${\displaystyle p}$

Помимо аксиоматической структуры, которой удовлетворяет алгебра Стинрода, она обладает рядом дополнительных полезных свойств.

Жан-Пьер Серр (1953) (для ) и Анри Картан (1954, 1955) (для ) описали структуру алгебры Стинрода стабильных mod когомологических операций, показав, что она порождается гомоморфизмом Бокштейна вместе с приведенными степенями Стинрода, а соотношения Адема порождают идеал соотношений между этими генераторами. В частности, они нашли явный базис для алгебры Стинрода. Этот базис опирается на определенное понятие допустимости для целочисленных последовательностей. Мы говорим, что последовательность${\displaystyle p=2}$${\displaystyle p>2}$${\displaystyle p}$

${\displaystyle i_{1},i_{2},\ldots ,i_{n}}$

допустимо , если для каждого имеем, что . Тогда элементы${\displaystyle j}$${\displaystyle i_{j}\geq 2i_{j+1}}$

${\displaystyle Sq^{I}=Sq^{i_{1}}\cdots Sq^{i_{n}},}$

где — допустимая последовательность, образует базис (базис Серра–Картана) для алгебры Стинрода mod 2, называемый допустимым базисом . Аналогичный базис существует для случая, состоящего из элементов${\displaystyle I}$${\displaystyle p>2}$

${\displaystyle Sq_{p}^{I}=Sq_{p}^{i_{1}}\cdots Sq_{p}^{i_{n}}}$,

такой что

${\displaystyle i_{j}\geq pi_{j+1}}$

${\displaystyle i_{j}\equiv 0,1{\bmod {2}}(p-1)}$

${\displaystyle Sq_{p}^{2k(p-1)}=P^{k}}$

${\displaystyle Sq_{p}^{2k(p-1)+1}=\beta P^{k}}$

Алгебра Стинрода имеет больше структуры, чем градуированная -алгебра. Она также является алгеброй Хопфа , так что в частности существует диагональное или коумножительное отображение${\displaystyle \mathbf {F} _{p}}$

${\displaystyle \psi \colon A\to A\otimes A}$

индуцированное формулой Картана для действия алгебры Стинрода на кубковом произведении. Это отображение легче описать, чем отображение произведения, и оно задается как

${\displaystyle \psi (Sq^{k})=\sum _{i+j=k}Sq^{i}\otimes Sq^{j}}$

${\displaystyle \psi (P^{k})=\sum _{i+j=k}P^{i}\otimes P^{j}}$

${\displaystyle \psi (\beta )=\beta \otimes 1+1\otimes \beta }$.

Из этих формул следует, что алгебра Стинрода является кокоммутативной .

Линейный дуал превращает (градуированный) линейный дуал A в алгебру. Джон Милнор  (1958) доказал для , что является полиномиальной алгеброй , с одним генератором степени , для каждого k , а для дуал алгебры Стинрода является тензорным произведением полиномиальной алгебры по генераторам степени и внешней алгебры по генераторам τ _k степени . Мономиальный базис для тогда дает другой выбор базиса для A , называемый базисом Милнора. С дуалом к ​​алгебре Стинрода часто удобнее работать, потому что умножение (супер)коммутативно. Коумножение для является дуалом произведения на A ; оно задается как${\displaystyle \psi }$ ${\displaystyle A_{*}}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle A_{*}}$${\displaystyle \xi _{k}}$${\displaystyle 2^{k}-1}$${\displaystyle p>2}$${\displaystyle A_{*}}$${\displaystyle \xi _{k}}$${\displaystyle 2p^{k}-2}$ ${\displaystyle (k\geq 1)}$${\displaystyle 2p^{k}-1}$ ${\displaystyle (k\geq 0)}$${\displaystyle A_{*}}$${\displaystyle A_{*}}$

${\displaystyle \psi (\xi _{n})=\sum _{i=0}^{n}\xi _{n-i}^{p^{i}}\otimes \xi _{i}.}$где , и${\displaystyle \xi _{0}=1}$

${\displaystyle \psi (\tau _{n})=\tau _{n}\otimes 1+\sum _{i=0}^{n}\xi _{n-i}^{p^{i}}\otimes \tau _{i}}$если .${\displaystyle p>2}$

Единственными примитивными элементами для являются элементы вида , и они двойственны к (единственным неразложимым элементам A ).${\displaystyle A_{*}}$${\displaystyle p=2}$${\displaystyle \xi _{1}^{2^{i}}}$${\displaystyle Sq^{2^{i}}}$

Двойственные алгебры Стинрода являются суперкоммутативными алгебрами Хопфа, поэтому их спектры являются схемами супергрупп алгебр. Эти групповые схемы тесно связаны с автоморфизмами одномерных аддитивных формальных групп. Например, если то двойственная алгебра Стинрода является групповой схемой автоморфизмов одномерной аддитивной формальной групповой схемы, которые являются тождественными для первого порядка. Эти автоморфизмы имеют вид ${\displaystyle p=2}$${\displaystyle x+y}$

${\displaystyle x\rightarrow x+\xi _{1}x^{2}+\xi _{2}x^{4}+\xi _{3}x^{8}+\cdots }$

Алгебра Стинрода допускает фильтрацию конечными подалгебрами Хопфа. Так как порождается элементами ^[5]${\displaystyle p=2}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}}$

${\displaystyle Sq^{2^{i}}}$,

мы можем сформировать подалгебры, порожденные квадратами Стинрода${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}(n)}$

${\displaystyle Sq^{1},Sq^{2},\ldots ,Sq^{2^{n}}}$,

давая фильтрацию

${\displaystyle {\mathcal {A}}_{2}(1)\subset {\mathcal {A}}_{2}(2)\subset \cdots \subset {\mathcal {A}}_{2}.}$

Эти алгебры важны, поскольку их можно использовать для упрощения многих вычислений спектральной последовательности Адамса, например, для , и . ^[6]${\displaystyle \pi _{*}(ko)}$${\displaystyle \pi _{*}(tmf)}$

Ларри Смит (2007) дал следующую алгебраическую конструкцию алгебры Стинрода над конечным полем порядка q . Если V — векторное пространство над , то запишем SV для симметричной алгебры V . Существует гомоморфизм алгебры${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$${\displaystyle \mathbb {F} _{q}}$

${\displaystyle {\begin{cases}P(x)\colon SV[[x]]\to SV[[x]]\\P(x)(v)=v+F(v)x=v+v^{q}x&v\in V\end{cases}}}$

где F — эндоморфизм Фробениуса SV . Если положить

${\displaystyle P(x)(f)=\sum P^{i}(f)x^{i}\qquad p>2}$

или

${\displaystyle P(x)(f)=\sum Sq^{2i}(f)x^{i}\qquad p=2}$

тогда , если V бесконечномерно, элементы порождают изоморфизм алгебры с подалгеброй алгебры Стинрода, порожденной приведенными p′- ми степенями для нечетного p или четными квадратами Стинрода для .${\displaystyle f\in SV}$${\displaystyle P^{I}}$${\displaystyle Sq^{2i}}$${\displaystyle p=2}$

Ранние приложения алгебры Стинрода были вычислениями Жан-Пьера Серра некоторых гомотопических групп сфер, использующих совместимость трансгрессивных дифференциалов в спектральной последовательности Серра с операциями Стинрода, и классификацией Рене Тома гладких многообразий с точностью до кобордизма, посредством идентификации градуированного кольца классов бордизмов с гомотопическими группами комплексов Тома в устойчивом диапазоне. Последнее было уточнено на случай ориентированных многообразий К. Т. С. Уоллом . Знаменитое приложение операций Стинрода, включающее факторизации через вторичные когомологические операции, связанные с соответствующими отношениями Адема, было решением Дж. Фрэнком Адамсом проблемы инварианта Хопфа один . Одним из довольно элементарных приложений алгебры Стинрода mod 2 является следующая теорема.

Теорема . Если существует отображение Хопфа , инвариантное единице , то n является степенью 2.${\displaystyle S^{2n-1}\to S^{n}}$

Доказательство использует тот факт, что каждый элемент разложим для k , не являющегося степенью 2; то есть такой элемент является произведением квадратов строго меньшей степени.${\displaystyle Sq^{k}}$

Майкл А. Манделл дал доказательство следующей теоремы, изучая алгебру Стинрода (с коэффициентами в алгебраическом замыкании ):${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Теорема . Сингулярный коцепной функтор с коэффициентами в алгебраическом замыкании индуцирует контравариантную эквивалентность из гомотопической категории связных -полных нильпотентных пространств конечного -типа в полную подкатегорию гомотопической категории [[ -алгебр]] с коэффициентами в алгебраическом замыкании .${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$${\displaystyle p}$${\displaystyle p}$${\displaystyle E_{\infty }}$${\displaystyle \mathbb {F} _{p}}$

Когомологии алгебры Стинрода — это термин для ( p -локальной ) спектральной последовательности Адамса , опорой которой является p -компонента стабильных гомотопических групп сфер. Более конкретно, член этой спектральной последовательности может быть идентифицирован как${\displaystyle E_{2}}$${\displaystyle E_{2}}$

${\displaystyle \mathrm {Ext} _{A}^{s,t}(\mathbb {F} _{p},\mathbb {F} _{p}).}$

Именно это подразумевается под афоризмом «когомологии алгебры Стинрода являются приближением к стабильным гомотопическим группам сфер».

• Операция когомологии Понтрягина
• Двойственная алгебра Стинрода
• Операция когомологии

• Малкевич, Кэри, Алгебра Стинрода (PDF) , архивировано (PDF) из оригинала 2017-08-15
• Характеристические классы – содержат больше вычислений, например, для многообразий Ву.
• Квадраты Стинрода в спектральной последовательности Адамса – содержат интерпретации терминов Ext и квадратов Стинрода

• Операции с пониженной степенью в мотивных когомологиях
• Мотивные когомологии с коэффициентами Z/2
• Мотивные пространства Эйленберга–Маклена
• Гомотопия C {\displaystyle \mathbb {C} } -мотивных модулярных форм – относится к мотивным tmf${\displaystyle {\mathcal {A}}//{\mathcal {A}}(2)}$

• Адамс, Дж. Франк (1974). Стабильная гомотопия и обобщенная гомология . Чикаго: Издательство Чикагского университета. ISBN 0-226-00523-2. OCLC  1083550.
• Адем, Хосе (1952), «Итерация квадратов Стинрода в алгебраической топологии», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 38 (8): 720– 726, Bibcode : 1952PNAS...38..720A, doi : 10.1073/pnas.38.8.720 , ISSN  0027-8424, JSTOR  88494, MR  0050278, PMC  1063640 , PMID  16589167
• Буллетт, Шон Р.; Макдональд, Ян Г. (1982), «О соотношениях Адема», Топология , 21 (3): 329– 332, doi : 10.1016/0040-9383(82)90015-5 , ISSN  0040-9383, MR  0649764
• Картан, Анри (1954), «О группах Эйленберга–Маклейна. II», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 40 (8): 704– 707, Bibcode : 1954PNAS...40..704C, doi : 10.1073/pnas.40.8.704 , ISSN  0027-8424, JSTOR  88981, MR  0065161, PMC  534145 , PMID  16589542
• Картан, Анри (1955), «Sur l'itération des opérations de Steenrod», Commentarii Mathematici Helvetici , 29 (1): 40–58 , doi : 10.1007/BF02564270, ISSN  0010-2571, MR  0068219, S2CID  124558011
• Картан, Анри (1954–1955). ЧАС * ( π , п ; Z 2 ) {\ displaystyle H_ {*} (\ pi, n; Z_ {2})} et H * ( π , n ; Z 2 ) {\ displaystyle H ^ { *}(\pi ,n;Z_{2})} ; группирует конюшни по модулю p {\displaystyle p} " (PDF) . Семинар Анри Картана (на французском языке). 7 (1): 1–8 .
• Аллен Хэтчер , Алгебраическая топология . Cambridge University Press, 2002. Доступно бесплатно онлайн на домашней странице автора.
• Малыгин, СН; Постников, ММ (2001) [1994], "Приведенная мощность Стинрода", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• Малыгин, СН; Постников, ММ (2001) [1994], "Квадрат Стинрода", Энциклопедия математики , Издательство EMS
• May, J. Peter (1970), "Общий алгебраический подход к операциям Стинрода" (PDF) , Алгебра Стинрода и ее приложения (Proc. Conf. to Celebrate NE Steenrod's Sixtieth Birthday, Battelle Memorial Inst., Columbus, Ohio, 1970) , Lecture Notes in Mathematics, т. 168, Берлин, Нью-Йорк: Springer-Verlag , стр.  153–231 , CiteSeerX  10.1.1.205.6640 , doi :10.1007/BFb0058524, ISBN 978-3-540-05300-2, МР  0281196
• Милнор, Джон Уиллард (1958), «Алгебра Стинрода и ее дуальная», Annals of Mathematics , вторая серия, 67 (1): 150–171 , doi :10.2307/1969932, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969932, MR  0099653
• Мошер, Роберт Э.; Тангора, Мартин К. (2008) [1968], Когомологические операции и их применение в теории гомотопий, Минеола, Нью-Йорк: Dover Publications , ISBN 978-0-486-46664-4, MR  0226634, OCLC  212909028
• Равенел, Дуглас К. (1986). Комплексные кобордизмы и стабильные гомотопические группы сфер. Орландо: Academic Press . ISBN 978-0-08-087440-1. OCLC  316566772.
• Рудяк, Юлий Б. (2001) [1994], «Алгебра Стинрода», Энциклопедия математики , EMS Press
• Серр, Жан-Пьер (1953), «Когомологии по модулю 2 комплексов д'Эйленберга – Маклейна», Commentarii Mathematici Helvetici , 27 (1): 198–232 , doi : 10.1007/BF02564562, ISSN  0010-2571, MR  0060234, S2CID  122407123
• Смит, Ларри (2007). «Алгебраическое введение в алгебру Стинрода». В Хаббак, Джон; Хунг, Нгуен ХВ; Шварц, Лайонел (ред.). Труды Школы и конференции по алгебраической топологии . Монографии по геометрии и топологии. Том 11. С.  327–348 . arXiv : 0903.4997 . doi :10.2140/gtm.2007.11.327. MR  2402812. S2CID  14167493.
• Стинрод, Норман Э. (1947), «Продукты коциклов и расширения отображений», Annals of Mathematics , Вторая серия, 48 (2): 290– 320, doi :10.2307/1969172, ISSN  0003-486X, JSTOR  1969172, MR  0022071
• Стинрод, Норман Э. (1953a), «Группы гомологии симметрических групп и операции с пониженной степенью», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 39 (3): 213– 217, Bibcode : 1953PNAS...39..213S, doi : 10.1073/pnas.39.3.213 , ISSN  0027-8424, JSTOR  88780, MR  0054964, PMC  1063756 , PMID  16589250
• Стинрод, Норман Э. (1953b), «Циклические приведенные степени классов когомологий», Труды Национальной академии наук Соединенных Штатов Америки , 39 (3): 217– 223, Bibcode : 1953PNAS...39..217S, doi : 10.1073/pnas.39.3.217 , ISSN  0027-8424, JSTOR  88781, MR  0054965, PMC  1063757 , PMID  16589251
• Стинрод, Норман Э .; Эпштейн, Дэвид BA (1962), Эпштейн, Дэвид BA (ред.), Когомологические операции, Annals of Mathematics Studies, т. 50, Princeton University Press , ISBN 978-0-691-07924-0, МР  0145525
• Ву, Вэнь-цюн (1952), Sur les puissance de Steenrod , Colloque de Topologie de Strasbourg, vol. IX, Национальная библиотека и университет Страсбурга, MR  0051510