Коалгебра

В математике коалгебры или ко-гебры — это структуры, которые являются дуальными (в теоретико-категорном смысле обращения стрелок ) к унитальным ассоциативным алгебрам . Аксиомы унитальных ассоциативных алгебр можно сформулировать в терминах коммутативных диаграмм . Поворачивая все стрелки, получаем аксиомы коалгебр. Каждая коалгебра, по ( векторной ) двойственности , порождает алгебру, но, вообще говоря, не наоборот. В конечных измерениях эта двойственность идет в обоих направлениях (см. ниже).

Коалгебры естественным образом встречаются в ряде контекстов (например, в теории представлений , универсальных обертывающих алгебрах и групповых схемах ).

Существуют также F-коалгебры , имеющие важные приложения в информатике .

Один часто повторяющийся пример коалгебр встречается в теории представлений , и в частности, в теории представлений группы вращений . Первоочередной задачей практического использования в физике является получение комбинаций систем с различными состояниями углового момента и спина . Для этой цели используются коэффициенты Клебша–Гордана . При наличии двух систем с угловыми моментами и , особенно важной задачей является нахождение полного углового момента с учетом объединенного состояния . Это обеспечивается оператором полного углового момента , который извлекает необходимую величину из каждой стороны тензорного произведения. Его можно записать как «внешнее» тензорное произведение${\displaystyle А,Б}$${\displaystyle j_{A}}$${\displaystyle j_{B}}$${\displaystyle j_{A}+j_{B}}$${\displaystyle |A\rangle \otimes |B\rangle }$

${\displaystyle \mathbf {J} \equiv \mathbf {j} \otimes 1+1 \otimes \mathbf {j} }$

Слово «внешний» появляется здесь, в отличие от «внутреннего» тензорного произведения тензорной алгебры . Тензорная алгебра поставляется с тензорным произведением (внутренним); она также может быть снабжена вторым тензорным произведением, «внешним», или копроизведением , имеющим форму выше. То, что это два разных произведения, подчеркивается напоминанием о том, что внутреннее тензорное произведение вектора и скаляра — это простое скалярное умножение. Внешнее произведение разделяет их. В этой настройке копроизведение — это отображение

${\displaystyle \Delta :J\to J\otimes J}$

что занимает

${\displaystyle \Delta :\mathbf {j} \mapsto \mathbf {j} \otimes 1+1\otimes \mathbf {j} }$

Для этого примера можно взять одно из спиновых представлений группы вращений, причем фундаментальное представление является выбором здравого смысла. Это копроизведение может быть поднято на всю тензорную алгебру с помощью простой леммы, которая применяется к свободным объектам : тензорная алгебра является свободной алгеброй , поэтому любой гомоморфизм, определенный на подмножестве, может быть расширен на всю алгебру. Рассматривая поднятие подробно, можно заметить, что копроизведение ведет себя как перетасовочное произведение , по сути, потому что два множителя выше, левый и правый, должны сохраняться в последовательном порядке во время произведений множественных угловых моментов (вращения не коммутативны).${\displaystyle J}$${\displaystyle \mathbf {j} }$

Своеобразная форма появления только один раз в копроизведении, а не (например) определение , заключается в том, чтобы сохранить линейность: для этого примера (и для теории представлений в целом) копроизведение должно быть линейным. Как общее правило, копроизведение в теории представлений является приводимым; множители задаются правилом Литтлвуда–Ричардсона . (Правило Литтлвуда–Ричардсона передает ту же идею, что и коэффициенты Клебша–Гордана, но в более общей постановке).${\displaystyle \mathbf {j} }$${\displaystyle \mathbf {j} \mapsto \mathbf {j} \otimes \mathbf {j} }$

Формальное определение коалгебры, приведенное ниже, абстрагирует этот частный случай и его требуемые свойства в общую ситуацию.

Формально коалгебра над полем K — это векторное пространство C над K вместе с K -линейными отображениями Δ: C → C ⊗ C и ε: C → K такими, что

1. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \Delta)\circ \Delta = (\Delta \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Delta }$
2. ${\displaystyle (\mathrm {id} _{C}\otimes \varepsilon )\circ \Delta =\mathrm {id} _{C} = (\varepsilon \otimes \mathrm {id} _{C})\circ \Дельта }$.

(Здесь ⊗ относится к тензорному произведению над K , а id — это функция тождества .)

Эквивалентно, следующие две диаграммы коммутируют :

На первой диаграмме C ⊗ ( C ⊗ C ) отождествляется с ( C ⊗ C ) ⊗ C ; эти два пространства естественно изоморфны . ^[1] Аналогично на второй диаграмме отождествляются естественно изоморфные пространства C , C ⊗ K и K ⊗ C . ^[2]

Первая диаграмма является двойственной к той, которая выражает ассоциативность умножения алгебры (называемой коассоциативностью коумножения); вторая диаграмма является двойственной к той, которая выражает существование мультипликативного тождества . Соответственно, отображение Δ называется коумножением (или копроизведением ) C , а ε являетсяединица С.​​

Возьмем произвольное множество S и сформируем K -векторное пространство C = K ^{( S )} с базисом S следующим образом. Элементами этого векторного пространства C являются те функции из S в K, которые отображают все, кроме конечного числа элементов S, в ноль; отождествим элемент s из S с функцией, которая отображает s в 1, а все остальные элементы S в 0. Определим

Δ( s ) = s ⊗ s и ε( s ) = 1 для всех s из S .

По линейности и Δ, и ε могут быть единственным образом расширены на все C. Векторные пространства C становятся коалгеброй с коумножением Δ и коединицей ε.

В качестве второго примера рассмотрим кольцо многочленов K [ X ] с одним неопределенным X. Это становится коалгеброй ( коалгеброй разделенных степеней ^{[3] [4]} ), если для всех n ≥ 0 определить:

${\displaystyle \Delta (X^{n})=\sum _{k=0}^{n}{\dbinom {n}{k}}X^{k}\otimes X^{nk},}$

${\displaystyle \varepsilon (X^{n})={\begin{cases}1&{\mbox{if }}n=0\\0&{\mbox{if }}n>0\end{cases}}}$

Опять же, из-за линейности этого достаточно, чтобы определить Δ и ε однозначно на всем K [ X ]. Теперь K [ X ] является как унитальной ассоциативной алгеброй, так и коалгеброй, и эти две структуры совместимы. Такие объекты называются биалгебрами , и на самом деле большинство важных коалгебр, рассматриваемых на практике, являются биалгебрами.

Примерами коалгебр являются тензорная алгебра , внешняя алгебра , алгебры Хопфа и биалгебры Ли . В отличие от полиномиального случая выше, ни одна из них не является коммутативной. Поэтому копроизведение становится перетасованным произведением , а не структурой разделенной мощности, приведенной выше. Перетасованное произведение является подходящим, поскольку оно сохраняет порядок членов, появляющихся в произведении, как это требуется некоммутативными алгебрами.

Сингулярная гомология топологического пространства образует градуированную коалгебру всякий раз , когда выполняется изоморфизм Кюннета , например, если коэффициенты рассматриваются как поле. ^[5]

Если C — это K -векторное пространство с базисом { s , c }, рассмотрим Δ: C → C ⊗ C , которое задается формулой

Δ( s ) = s ⊗ c + c ⊗ s

Δ( с ) = с ⊗ с − с ⊗ с

и ε: C → K определяется как

ε( с ) = 0

ε( с ) = 1

В этой ситуации ( C , Δ, ε) является коалгеброй, известной как тригонометрическая коалгебра . ^{[6] [7]}

Для локально конечного частично упорядоченного множества P с множеством интервалов J определим коалгебру инцидентности C с базисом J. Коумножение и коединица определяются как

${\displaystyle \Delta [x,z]=\sum _{y\in [x,z]}[x,y]\otimes [y,z]{\text{for }}x\leq z\ .}$

${\displaystyle \varepsilon [x,y]={\begin{cases}1&{\text{if }}x=y,\\0&{\text{if }}x\neq y.\end{cases}}}$

Интервалы нулевой длины соответствуют точкам P и являются групповыми элементами. ^[8]

В конечных размерностях дуальность между алгебрами и коалгебрами более тесная: дуальная конечномерной (унитальной ассоциативной) алгебра является коалгеброй, в то время как дуальная конечномерной коалгебре является (унитальной ассоциативной) алгеброй. В общем случае дуальная алгебра может не быть коалгеброй.

Ключевым моментом является то, что в конечных размерностях ( A ⊗ A ) ^∗ и A ^∗ ⊗ A ^∗ изоморфны.

Чтобы различать их: в общем случае алгебра и коалгебра являются дуальными понятиями (это означает, что их аксиомы дуальны: поменяйте стрелки местами), в то время как для конечных измерений они также являются дуальными объектами (это означает, что коалгебра является дуальным объектом алгебры и наоборот).

Если A — конечномерная унитальная ассоциативная K -алгебра, то ее K -дуальная A ^{∗ ,} состоящая из всех K -линейных отображений из A в K, является коалгеброй. Умножение A можно рассматривать как линейное отображение A ⊗ A → A , которое при дуализации дает линейное отображение A ^∗ → ( A ⊗ A ) ^∗ . В конечномерном случае ( A ⊗ A ) ^∗ естественно изоморфно A ^∗ ⊗ A ^∗ , поэтому это определяет коумножение на A ^∗ . Коединица A ^∗ задается путем вычисления линейных функционалов в 1.

При работе с коалгебрами определенная нотация для коумножения значительно упрощает формулы и стала весьма популярной. Если дан элемент c коалгебры ( C , Δ, ε), то существуют элементы c^{( я  )}
₍₁₎и с^{( я  )}
₍₂₎в C такой, что

${\displaystyle \Дельта (c)=\сумма _{i}c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}}$

Обратите внимание, что ни количество членов в этой сумме, ни точные значения каждого или не определяются однозначно ; есть только обещание, что существует конечное число членов, и что полная сумма всех этих членов имеет правильное значение .${\displaystyle c_{(1)}^{(i)}}$${\displaystyle c_{(2)}^{(i)}}$${\displaystyle с}$${\displaystyle c_{(1)}^{(i)}\otimes c_{(2)}^{(i)}}$${\displaystyle \Дельта (с)}$

В нотации Свидлера ^[9] (названной так в честь Мосса Свидлера ) это сокращенно записывается как

${\displaystyle \Дельта (c)=\сумма _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}.}$

Тот факт, что ε является коединицей, можно выразить следующей формулой:

${\displaystyle c=\sum _{(c)}\varepsilon (c_{(1)})c_{(2)}=\sum _{(c)}c_{(1)}\varepsilon (c_{( 2)}).\;}$

Здесь подразумевается, что суммы имеют то же самое количество членов и те же самые списки значений для и , что и в предыдущей сумме для .${\displaystyle c_{(1)}}$${\displaystyle c_{(2)}}$${\displaystyle \Дельта (с)}$

Коассоциативность Δ можно выразить как

${\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes \left(\sum _{(c_{(2)})}(c_{(2)})_{(1)}\otimes (c_{(2)})_{(2)}\right)=\sum _{(c)}\left(\sum _{(c_{(1)})}(c_{(1)})_{(1)}\otimes (c_{(1)})_{(2)}\right)\otimes c_{(2)}.}$

В нотации Свидлера оба эти выражения записываются как

${\displaystyle \sum _{(c)}c_{(1)}\otimes c_{(2)}\otimes c_{(3)}.}$

Некоторые авторы также опускают символы суммирования; в этой нотации Суидлера без суммирования пишут:

${\displaystyle \Delta (c)=c_{(1)}\otimes c_{(2)}}$

и

${\displaystyle c=\varepsilon (c_{(1)})c_{(2)}=c_{(1)}\varepsilon (c_{(2)}).\;}$

Всякий раз, когда в выражении такого рода встречается переменная с опущенным и заключенным в скобки индексом, подразумевается символ суммирования для этой переменной.

Коалгебра ( C , Δ, ε ) называется кокоммутативной , если , где σ: C ⊗ C → C ⊗ C — это K -линейное отображение, определяемое соотношением σ ( c ⊗ d ) = d ⊗ c для всех c , d из C . В бессуммовой нотации Свидлера C является кокоммутативной тогда и только тогда, когда${\displaystyle \сигма \circ \Дельта =\Дельта }$

${\displaystyle c_{(1)}\otimes c_{(2)}=c_{(2)}\otimes c_{(1)}}$

для всех c из C. (Важно понимать, что подразумеваемое суммирование здесь имеет значение: не требуется, чтобы все слагаемые были попарно равны, требуется только, чтобы суммы были равны, что является гораздо более слабым требованием.)

Группоподобный элемент (или элемент множества ) — это элемент x, такой что Δ( x ) = x ⊗ x и ε ( x ) = 1 . Вопреки тому, что предполагает это соглашение об именовании, группоподобные элементы не всегда образуют группу, и в общем случае они образуют только множество. Группоподобные элементы алгебры Хопфа образуют группу. Примитивный элемент — это элемент x , который удовлетворяет Δ( x ) = x ⊗ 1 + 1 ⊗ x . Примитивные элементы алгебры Хопфа образуют алгебру Ли . ^{[10] [11]}

Если ( C ₁ , Δ ₁ , ε ₁ ) и ( C ₂ , Δ ₂ , ε ₂ ) — две коалгебры над одним и тем же полем K , то морфизм коалгебр из C ₁ в C ₂ — это K -линейное отображение f  : C ₁ → C ₂ такое, что и . В бессуммовой нотации Свидлера первое из этих свойств можно записать как:${\displaystyle (f\otimes f)\circ \Delta _{1}=\Delta _{2}\circ f}$${\displaystyle \varepsilon _{2}\circ f=\varepsilon _{1}}$

${\displaystyle f(c_{(1)})\otimes f(c_{(2)})=f(c)_{(1)}\otimes f(c)_{(2)}.}$

Композиция двух морфизмов коалгебр снова является морфизмом коалгебр, а коалгебры над K вместе с этим понятием морфизма образуют категорию .

Линейное подпространство I в C называется коидеалом , если I ⊆ ker( ε ) и Δ( I ) ⊆ I ⊗ C + C ⊗ I. В этом случае факторпространство C / I естественным образом становится коалгеброй.

Подпространство D в C называется подкоалгеброй, если Δ( D ) ⊆ D ⊗ D ; в этом случае D само является коалгеброй с ограничением ε на D в качестве коединицы.

Ядро каждого морфизма коалгебр f  : C ₁ → C ₂ является коидеалом в C ₁ , а образ является подкоалгеброй C ₂ . Общие теоремы об изоморфизме справедливы для коалгебр, так что, например, C 1 _/ ker( f ) изоморфна im( f ).

Если A — конечномерная унитальная ассоциативная K -алгебра, то A ^∗ — конечномерная коалгебра, и действительно, каждая конечномерная коалгебра возникает таким образом из некоторой конечномерной алгебры (а именно из K -дуала коалгебры). При этом соответствии коммутативные конечномерные алгебры соответствуют кокоммутативным конечномерным коалгебрам. Таким образом, в конечномерном случае теории алгебр и коалгебр являются дуальными; изучение одной эквивалентно изучению другой. Однако в бесконечномерном случае соотношения расходятся: в то время как K -дуал каждой коалгебры является алгеброй, K -дуал бесконечномерной алгебры не обязательно должен быть коалгеброй.

Каждая коалгебра является суммой своих конечномерных подкоалгебр, что неверно для алгебр. Абстрактно, коалгебры являются обобщениями, или дуалами, конечномерных унитальных ассоциативных алгебр.

Понятию представления для алгебр соответствует копредставление или комодуль .

• Cofree коалгебра
• Измерение коалгебры
• Диалгебра

• Блок, Ричард Э.; Леру, Пьер (1985), «Обобщенные дуальные коалгебры алгебр с приложениями к косвободным коалгебрам», Журнал чистой и прикладной алгебры , 36 (1): 15– 21, doi : 10.1016/0022-4049(85)90060-X , ISSN  0022-4049, MR  0782637, Zbl  0556.16005
• Даскалеску, Сорин; Нэстасеску, Константин; Райану, Шербан (2001), Алгебры Хопфа: Введение , Чистая и прикладная математика, том. 235 (1-е изд.), Нью-Йорк, Нью-Йорк: Марсель Деккер, ISBN 0-8247-0481-9, ЗБЛ  0962.16026.
• Гомес-Торресильяс, Хосе ( 1998 ), «Коалгебры и комодули над коммутативным кольцом», Revue Roumaine de Mathématiques Pures et Appliquées , 43 : 591–603
• Хазевинкель, Михиль (2003), «Косвободные коалгебры и многомерная рекурсивность», Журнал чистой и прикладной алгебры , 183 (1): 61– 103, doi : 10.1016/S0022-4049(03)00013-6 , ISSN  0022-4049, MR  1992043, Zbl  1048.16022
• Монтгомери, Сьюзен (1993), Алгебры Хопфа и их действия на кольцах , Серия региональных конференций по математике, т. 82, Провиденс, Род-Айленд: Американское математическое общество , ISBN 0-8218-0738-2, ЗБЛ  0793.16029
• Андервуд, Роберт Г. (2011), Введение в алгебры Хопфа , Берлин: Springer-Verlag , ISBN 978-0-387-72765-3, ЗБЛ  1234.16022
• Йоконума, Такео (1992), Тензорные пространства и внешняя алгебра , Переводы математических монографий, т. 108, Американское математическое общество , ISBN 0-8218-4564-0, ЗБЛ  0754.15028
• Глава III, раздел 11, Бурбаки, Николя (1989). Алгебра . Спрингер-Верлаг . ISBN 0-387-19373-1.

• Уильям Чин: Краткое введение в теорию представления коалгебры