Спектр Эйленберга-Маклена

В математике , в частности в алгебраической топологии , существует выделенный класс спектров, называемых спектрами Эйленберга–Маклейна для любой абелевой группы ^{[1] стр} . 134. Обратите внимание, что эта конструкция может быть обобщена на коммутативные кольца также из ее базовой абелевой группы. Это важный класс спектров, поскольку они моделируют обычные целочисленные когомологии и когомологии с коэффициентами в абелевой группе. Кроме того, они являются подъемом гомологической структуры в производной категории абелевых групп в гомотопической категории спектров. Кроме того, эти спектры могут быть использованы для построения разрешений спектров, называемых разрешениями Адамса, которые используются при построении спектральной последовательности Адамса .${\displaystyle ХА}$ ${\displaystyle А}$ ${\displaystyle R}$ ${\displaystyle D(\mathbb {Z})}$

Для фиксированной абелевой группы обозначим множество пространств Эйленберга–Маклейна${\displaystyle А}$${\displaystyle ХА}$

${\displaystyle \{К(А,0),К(А,1),К(А,2),\ldots \}}$

с отображением сопряжения, вытекающим из свойства пространств петель пространств Эйленберга–Маклейна: а именно, потому что существует гомотопическая эквивалентность

${\displaystyle K(A,n-1)\simeq \Омега K(A,n)}$

мы можем построить карты из присоединения, задавая желаемые структурные карты набора, чтобы получить спектр. Этот набор называется спектром Эйленберга–Маклана ^{[1] стр. 134} .${\displaystyle \Сигма K(A,n-1)\to K(A,n)}$${\displaystyle [\Sigma (X),Y]\simeq [X,\Omega (Y)]}$${\displaystyle А}$

Используя спектр Эйленберга–Маклена, мы можем определить понятие когомологии спектра и гомологии спектра ^{[2] стр} . 42. Используя функтор${\displaystyle H\mathbb {Z} }$ ${\displaystyle X}$ ${\displaystyle X}$

${\displaystyle [-,H\mathbb {Z} ]:{\textbf {Спектры}}^{op}\to {\text{GrAb}}}$

мы можем определить когомологии просто как

${\displaystyle H^{*}(E)=[E,H\mathbb {Z} ]}$

Обратите внимание, что для комплекса CW когомологии спектра подвески восстанавливают когомологии исходного пространства . Обратите внимание, что мы можем определить двойственное понятие гомологии как${\displaystyle X}$${\displaystyle \Сигма ^{\infty }X}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle H_{*}(X)=\pi _{*}(E\клин X)=[\mathbb {S} ,E\клин X]}$

что можно интерпретировать как «дуальное» к обычному hom-тензорному присоединению в спектрах. Обратите внимание, что вместо , мы берем для некоторой абелевой группы , мы восстанавливаем обычную (ко)гомологию с коэффициентами в абелевой группе и обозначаем ее как .${\displaystyle H\mathbb {Z} }$${\displaystyle ХА}$${\displaystyle А}$${\displaystyle А}$${\displaystyle H^{*}(X;A)}$

Для спектра Эйленберга–Маклена существует изоморфизм${\displaystyle H\mathbb {Z} /p}$

${\displaystyle H^{*}(H\mathbb {Z} /p,\mathbb {Z} /p)\cong [H\mathbb {Z} /p,H\mathbb {Z} /p]\cong {\mathcal {A}}_{p}}$

для p- алгебры Стинрода .${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$

Одним из наиболее существенных инструментов для вычисления стабильных гомотопических групп является спектральная последовательность Адамса. ^[2] Для того чтобы построить эту конструкцию, используются разрешения Адамса . Они зависят от следующих свойств спектров Эйленберга–Маклена. Мы определяем обобщенный спектр Эйленберга–Маклена как конечный клин суспензий спектров Эйленберга–Маклена , так что${\displaystyle К}$${\displaystyle HA_{i}}$

${\displaystyle K:=\Сигма ^{k_{1}}HA_{1}\клин \cdots \клин \Сигма ^{k_{n}}HA_{n}}$

Обратите внимание, что для и спектр${\displaystyle \Сигма ^{k}HA}$${\displaystyle X}$

${\displaystyle [X,\Sigma ^{k}HA]\cong H^{*+k}(X;A)}$

поэтому он сдвигает степень классов когомологий. Для остальной части статьи для некоторой фиксированной абелевой группы${\displaystyle HA_{i}=HA}$${\displaystyle А}$

Обратите внимание, что гомотопический класс представляет собой конечный набор элементов в . И наоборот, любой конечный набор элементов в представлен некоторым гомотопическим классом .${\displaystyle f\in [X,K]}$${\displaystyle H^{*}(X;A)}$${\displaystyle H^{*}(X;A)}$${\displaystyle f\in [X,K]}$

Для локально конечного набора элементов, порождающего его как абелеву группу, связанное отображение индуцирует сюръекцию на когомологиях, то есть если мы оцениваем эти спектры на некотором топологическом пространстве , всегда существует сюръекция${\displaystyle H^{*}(X;A)}$${\displaystyle f:X\to K}$${\displaystyle S}$

${\displaystyle f^{*}:K(S)\to X(S)}$

абелевых групп.

Для спектра взятие клина строит спектр, который гомотопически эквивалентен обобщенному пространству Эйленберга–Маклейна с одним слагаемым клина для каждого генератора или . В частности, это дает структуру модуля над алгеброй Стинрода для . Это происходит потому, что эквивалентность, указанная ранее, может быть прочитана как${\displaystyle X}$${\displaystyle X\wedge H\mathbb {Z} /p}$${\displaystyle \mathbb {Z} /p}$${\displaystyle H^{*}(X;\mathbb {Z} /p)}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$${\displaystyle H^{*}(X)}$

${\displaystyle H^{*}(X\wedge H\mathbb {Z} /p)\cong {\mathcal {A}}_{p}\otimes H^{*}(X)}$

и отображение индуцирует -структуру.${\displaystyle f:X\to X\wedge H\mathbb {Z} /p}$${\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}}$

• Спектральная последовательность Адамса
• Спектр (топология)
• Гомотопические группы сфер

• Комплексные кобордизмы и стабильные гомотопические группы сфер
• Спектральная последовательность Адамса