Двойственная алгебра Стинрода

В алгебраической топологии , посредством алгебраической операции (дуализации), существует связанная коммутативная алгебра [1] из некоммутативных алгебр Стинрода, называемая дуальной алгеброй Стинрода . Эта дуальная алгебра имеет ряд удивительных преимуществ, таких как коммутативность и предоставление технических инструментов для вычисления спектральной последовательности Адамса во многих случаях (например, [2] : 61–62  ) с большой легкостью. π ∗ ( М У ) {\displaystyle \пи _{*}(MU)}

Определение

Напомним [2] : 59  , что алгебра Стинрода (также обозначаемая ) является градуированной некоммутативной алгеброй Хопфа , которая является кокоммутативной, то есть ее коумножение кокоммутативно. Это означает, что если мы возьмем дуальную алгебру Хопфа, обозначаемую , или просто , то это даст градуированно-коммутативную алгебру, которая имеет некоммутативное коумножение. Мы можем суммировать эту двойственность посредством дуализации коммутативной диаграммы структуры алгебры Хопфа Стинрода: А п ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}^{*}} А ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}^{*}} А п , ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}_{p,*}} А ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}_{*}}

А п ∗ → ψ ∗ А п ∗ ⊗ А п ∗ → ϕ ∗ А п ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}_{p}^{*}\xrightarrow {\psi ^{*}} {\mathcal {A}}_{p}^{*}\otimes {\mathcal {A }}_{p}^{*}\xrightarrow {\phi ^{*}} {\mathcal {A}}_{p}^{*}}

Если мы дуализируем, то получим карты

А п , ∗ ← ψ ∗ А п , ∗ ⊗ А п , ∗ ← ϕ ∗ А п , ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}_{p,*}\xleftarrow {\psi _{*}} {\mathcal {A}}_{p,*}\otimes {\mathcal {A}}_{ p,*}\xleftarrow {\phi _{*}} {\mathcal {A}}_{p,*}}

давая основные структурные карты для дуальной алгебры Хопфа. Оказывается, есть хорошая структурная теорема для дуальной алгебры Хопфа, разделенная на то, является ли простое число или нечетным. 2 {\displaystyle 2}

Случай p=2

В этом случае двойственная алгебра Стинрода является градуированной коммутативной полиномиальной алгеброй, где степень . Тогда отображение копроизведения задается как А ∗ = З / 2 [ ξ 1 , ξ 2 , … ] {\displaystyle {\mathcal {A}}_{*}=\mathbb {Z} /2[\xi _{1},\xi _{2},\ldots ]} градус ⁡ ( ξ н ) = 2 н − 1 {\displaystyle \deg(\xi _{n})=2^{n}-1}

Δ : А ∗ → А ∗ ⊗ А ∗ {\displaystyle \Delta :{\mathcal {A}}_{*}\to {\mathcal {A}}_{*}\otimes {\mathcal {A}}_{*}}

отправка

Δ ξ н = ∑ 0 ≤ я ≤ н ξ н − я 2 я ⊗ ξ я {\displaystyle \Delta \xi _{n}=\sum _{0\leq i\leq n}\xi _{ni}^{2^{i}}\otimes \xi _{i}}

где . ξ 0 = 1 {\displaystyle \xi _{0}=1}

Общий случай p > 2

Для всех остальных простых чисел двойственная алгебра Стинрода немного сложнее и включает в себя градуированно-коммутативную внешнюю алгебру в дополнение к градуированно-коммутативной полиномиальной алгебре. Если мы обозначим внешнюю алгебру над с генераторами и , то двойственная алгебра Стинрода имеет представление Λ ( х , у ) {\displaystyle \Лямбда (x,y)} З / п {\displaystyle \mathbb {Z} /p} х {\displaystyle x} у {\displaystyle у}

А ∗ = З / п [ ξ 1 , ξ 2 , … ] ⊗ Λ ( τ 0 , τ 1 , … ) {\displaystyle {\mathcal {A}}_{*}=\mathbb {Z} /p[\xi _{1},\xi _{2},\ldots ]\otimes \Лямбда (\tau _{0},\tau _{1},\ldots )}

где

градус ⁡ ( ξ н ) = 2 ( п н − 1 ) градус ⁡ ( τ н ) = 2 п н − 1 {\displaystyle {\begin{aligned}\deg(\xi _{n})&=2(p^{n}-1)\\\deg(\tau _{n})&=2p^{n} -1\end{выровнено}}}

Кроме того, он имеет коумножение, определяемое как Δ : А ∗ → А ∗ ⊗ А ∗ {\displaystyle \Delta :{\mathcal {A}}_{*}\to {\mathcal {A}}_{*}\otimes {\mathcal {A}}_{*}}

Δ ( ξ н ) = ∑ 0 ≤ я ≤ н ξ н − я п я ⊗ ξ я Δ ( τ н ) = τ н ⊗ 1 + ∑ 0 ≤ я ≤ н ξ н − я п я ⊗ τ я {\displaystyle {\begin{aligned}\Delta (\xi _{n})&=\sum _{0\leq i\leq n}\xi _{ni}^{p^{i}}\otimes \ xi _{i}\\\Delta (\tau _{n})&=\tau _{n}\otimes 1+\sum _{0\leq i\leq n}\xi _{ni}^{p^{i}}\otimes \tau _{i}\end{aligned}}}

где снова . ξ 0 = 1 {\displaystyle \xi _{0}=1}

Остальная часть структуры алгебры Хопфа в обоих случаях

Остальные структуры алгебры Хопфа можно описать совершенно одинаково в обоих случаях. Существует как единичное отображение, так и коединичное отображение η {\displaystyle \эта} ε {\displaystyle \varepsilon}

η : З / п → А ∗ ε : А ∗ → З / п {\displaystyle {\begin{align}\eta &:\mathbb {Z} /p\to {\mathcal {A}}_{*}\\\varepsilon &:{\mathcal {A}}_{*}\to \mathbb {Z} /p\end{align}}}

которые оба являются изоморфизмами в степени : они происходят из исходной алгебры Стинрода. Кроме того, существует также карта сопряжения, определяемая рекурсивно уравнениями 0 {\displaystyle 0} с : А ∗ → А ∗ {\displaystyle c:{\mathcal {A}}_{*}\to {\mathcal {A}}_{*}}

с ( ξ 0 ) = 1 ∑ 0 ≤ я ≤ н ξ н − я п я с ( ξ я ) = 0 {\displaystyle {\begin{align}c(\xi _{0})&=1\\\sum _{0\leq i\leq n}\xi _{ni}^{p^{i}}c(\xi _{i})&=0\end{align}}}

Кроме того, мы будем обозначать как ядро ​​отображения коединицы , которое изоморфно в степенях . А ∗ ¯ {\displaystyle {\overline {{\mathcal {A}}_{*}}}} ε {\displaystyle \varepsilon} А ∗ {\displaystyle {\mathcal {A}}_{*}} > 1 {\displaystyle >1}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ Милнор, Джон (29.03.2012), «Алгебра Стинрода и ее дуальная», Топологическая библиотека , Серия об узлах и всем остальном, т. 50, WORLD SCIENTIFIC, стр.  357–382 , doi :10.1142/9789814401319_0006, ISBN 978-981-4401-30-2, получено 2021-01-05
  2. ^ ab Ravenel, Douglas C. (1986). Комплексные кобордизмы и стабильные гомотопические группы сфер. Орландо: Academic Press. ISBN 978-0-08-087440-1. OCLC  316566772.
Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Двойная_алгебра_Стинрода&oldid=1225140987"