Глоссарий теории порядка

Это глоссарий некоторых терминов, используемых в различных разделах математики , которые связаны с областями порядка , решетки и теории доменов . Обратите внимание, что также доступен структурированный список тем по порядку . Другими полезными ресурсами могут быть следующие обзорные статьи:

свойства полноты частичных порядков
теория законов дистрибутивности порядка
свойства сохранения функций между частично упорядоченными множествами.

В дальнейшем частичные порядки будут обычно обозначаться их наборами носителей. Пока предполагаемое значение ясно из контекста, будет достаточно для обозначения соответствующего реляционного символа, даже без предварительного введения. Кроме того, < будет обозначать строгий порядок, вызванный $\,\leq \,$ $\,\leq .$

А

Ацикличное . Бинарное отношение является ацикличным, если оно не содержит «циклов»: эквивалентно, его транзитивное замыкание является антисимметричным . ^[1]
Соседний . См. Связь с Галуа .
Топология Александрова . Для предупорядоченного множества P любое верхнее множество O является открытым по Александрову . Обратно, топология является топологией Александрова, если любое пересечение открытых множеств открыто.
Алгебраическое частично упорядоченное множество . Частично упорядоченное множество является алгебраическим, если оно имеет базу из компактных элементов.
Антицепь . Антицепь — это частично упорядоченное множество, в котором нет двух сравнимых элементов, т. е. нет двух различных элементов x и y таких, что x ≤ y . Другими словами, отношение порядка антицепи — это просто отношение тождества.
Приблизительное отношение . См. отношение значительно ниже .
Антисимметричное отношение . Однородное отношение R на множестве X является антисимметричным , если x R y и y R x влечет x = y для всех элементов x , y из X.
Антитональная . Антитональная функция f между частично упорядоченными множествами P и Q — это функция, для которой для всех элементов x , y из P , x ≤ y (в P ) влечет f ( y ) ≤ f ( x ) (в Q ). Другое название этого свойства — изменение порядка . В анализе при наличии полных порядков такие функции часто называют монотонно убывающими , но это не очень удобное описание при работе с неполными порядками. Двойственное понятие называется монотонным или сохраняющим порядок .
Асимметричное отношение . Однородное отношение R на множестве X является асимметричным, если x R y не влечет y R x для всех элементов x , y из X .
Атом . Атом в частично упорядоченном множестве P с наименьшим элементом 0 — это элемент, который является минимальным среди всех элементов, не равных 0.
Атомарный . Атомарный частично упорядоченный набор P с наименьшим элементом 0 — это такой набор, в котором для каждого ненулевого элемента x из P существует атом a из P с a ≤ x .

Б

База . См. непрерывный посет .
Бинарное отношение . Бинарное отношение между двумя множествамиявляется подмножеством их декартова произведения. $X{\text{ и }}Y$ $X\times Y.$
Булева алгебра . Булева алгебра — это дистрибутивная решетка с наименьшим элементом 0 и наибольшим элементом 1, в которой каждый элемент x имеет дополнение ¬ x , такое, что x ∧ ¬ x = 0 и x ∨ ¬ x = 1.
Ограниченный посет . Ограниченный посет — это такой, который имеет наименьший элемент и наибольший элемент.
Ограниченно полный . ЧУМ является ограниченно полным, если каждое из его подмножеств с некоторой верхней границей также имеет наименьшую такую верхнюю границу. Двойственное понятие не является общепринятым.

С

Цепь . Цепь — это полностью упорядоченное множество или полностью упорядоченное подмножество частично упорядоченного множества. См. также полный порядок .
Полная цепь . Частично упорядоченное множество , в котором каждая цепь имеет наименьшую верхнюю границу .
Оператор замыкания . Оператор замыкания на частично упорядоченном множестве P — это функция C : P → P , которая является монотонной, идемпотентной и удовлетворяет условию C ( x ) ≥ x для всех x из P .
Компактный . Элемент x частично упорядоченного множества является компактным, если он намного ниже самого себя, т.е. x << x . Также говорят, что такой x конечен.
Сравнимый . Два элемента x и y частично упорядоченного множества P сравнимы, если либо x ≤ y, либо y ≤ x .
Граф сравнимости . Граф сравнимости частично упорядоченного множества ( P , ≤) — это граф с множеством вершин P , в котором рёбра представляют собой пары различных элементов P , которые сравнимы относительно ≤ (и, в частности, относительно его рефлексивной редукции <).
Полная булева алгебра . Булева алгебра , представляющая собой полную решетку.
Полная алгебра Гейтинга . Алгебра Гейтинга , которая является полной решеткой, называется полной алгеброй Гейтинга. Это понятие совпадает с понятиями фрейм и локаль .
Полная решетка . Полная решетка — это частично упорядоченное множество, в котором существуют произвольные (возможно, бесконечные) соединения (супремы) и пересечения (инфимы).
Полный частичный порядок . Полный частичный порядок, или cpo , — это направленный полный частичный порядок (qv) с наименьшим элементом.
Полное отношение . Синоним для Связанного отношения .
Полная полурешетка . Понятие полной полурешетки определяется по-разному. Как объясняется в статье о полноте (теория порядка) , любой частично упорядоченный набор, для которого существуют либо все супремы, либо все инфимы, уже является полной решеткой. Поэтому понятие полной полурешетки иногда используется для совпадения с понятием полной решетки. В других случаях полные (meet-) полурешетки определяются как ограниченные полные cpos , что, возможно, является наиболее полным классом частично упорядоченных наборов, которые еще не являются полными решетками.
Полностью дистрибутивная решетка . Полная решетка полностью дистрибутивна, если произвольные соединения распределяются по произвольным точкам.
Завершение . Завершение частично упорядоченного множества — это упорядоченное вложение частично упорядоченного множества в полную решетку.
Завершение разрезами . Синоним завершения Дедекинда–Макнейла .
Связное отношение . Полное отношение R на множестве X обладает тем свойством, что для всех элементов x , y из X выполняетсяпо крайней мере одно из x R y или y R x .
Непрерывное частично упорядоченное множество . Частично упорядоченное множество является непрерывным, если оно имеет базу , т. е. подмножество B множества P , такое, что каждый элемент x множества P является супремумом направленного множества, содержащегося в { y in B | y << x }.
Непрерывная функция . См. Scott-continuous .
Обратное <° порядка < — это то, при котором x <° y всякий раз, когда y < x.
Покрытие . Элемент y частично упорядоченного множества P называется покрытием элемента x множества P (и называется покрытием x ), если x < y и не существует элемента z множества P , такого что x < z < y .
cpo . Смотреть полный частичный заказ .

Д

dcpo . Смотрите направленный полный частичный заказ .
Пополнение Дедекинда–Макнейла . Пополнение Дедекинда–Макнейла частично упорядоченного множества — это наименьшая полная решетка , которая его содержит.
Плотный порядок . Плотный посет P — это такой, в котором для всех элементов x и y в P с x < y существует элемент z в P , такой что x < z < y . Подмножество Q множества P является плотным в P , если для любых элементов x < y в P существует элемент z в Q , такой что x < z < y .
Расстройство . Перестановка элементов множества, при которой ни один элемент не появляется на своем первоначальном месте.
Направленное множество . Непустое подмножество X частично упорядоченного множества P называется направленным, если для всех элементов x и y из X существует элемент z из X , такой что x ≤ z и y ≤ z . Двойственное понятие называется отфильтрованным .
Направленный полный частичный порядок . ЧУМ D называется направленным полным ЧУМ, или dcpo , если каждое направленное подмножество D имеет супремум.
Дистрибутивный . Решётка L называется дистрибутивной, если для всех x , y и z из L мы находим, что x ∧ ( y ∨ z ) = ( x ∧ y ) ∨ ( x ∧ z ). Известно, что это условие эквивалентно её порядковому двойственному. Полурешётка meet является дистрибутивной, если для всех элементов a , b и x , a ∧ b ≤ x влечет существование элементов a' ≥ a и b' ≥ b таких, что a' ∧ b' = x . См. также полностью дистрибутивный .
Домен . Домен — это общий термин для объектов, подобных тем, которые изучаются в теории доменов . Если он используется, то требует дальнейшего определения.
Нижний набор . Смотрите нижний набор .
Двойственный . Для частично упорядоченного множества ( P , ≤) двойственный порядок P ^d = ( P , ≥) определяется установкой x ≥ y тогда и только тогда, когда y ≤ x . Двойственный порядок P иногда обозначается как P ^op , а также называется противоположным или обратным порядком. Любое теоретико-порядковое понятие индуцирует двойственное понятие, определяемое применением исходного утверждения к порядку, двойственному данному множеству. Это меняет местами ≤ и ≥, встречается и соединяет, ноль и единицу.

Э

Расширение . Для частичных порядков ≤ и ≤′ на множестве X , ≤′ является расширением ≤ при условии, что для всех элементов x и y из X , x ≤ y влечет, что x ≤′ y .

Ф

Фильтр . Подмножество X частично упорядоченного множества P называется фильтром, если оно является фильтрованным верхним множеством. Двойственное понятие называется идеальным .
Фильтрованный . Непустое подмножество X частично упорядоченного множества P называется фильтрованным, если для всех элементов x и y из X существует элемент z из X такой, что z ≤ x и z ≤ y . Двойственное понятие называется направленным .
Конечный элемент . См. компактный .
Рамка . Рамка F — это полная решетка, в которой для каждого x из F и каждого подмножества Y из F выполняется бесконечный дистрибутивный закон x ∧ Y ={ x ∧ y | y в Y }. Рамки также известны как локали и как полные алгебры Гейтинга . $\bigvee$ $\bigvee$

Г

Связь Галуа . Для двух частично упорядоченных множеств P и Q пара монотонных функций F : P → Q и G : Q → P называется связью Галуа, если F ( x ) ≤ y эквивалентно x ≤ G ( y ) для всех x из P и y из Q . F называется нижним сопряженным элементом G , а G называется верхним сопряженным элементом F.
Наибольший элемент . Для подмножества X частично упорядоченного множества P элемент a из X называется наибольшим элементом X , если x ≤ a для каждого элемента x из X. Двойственное понятие называется наименьшим элементом .
Базовый набор . Базовый набор частично упорядоченного множества ( X , ≤) — это множество X, на котором определен частичный порядок ≤.

ЧАС

Алгебра Гейтинга . Алгебра Гейтинга H — это ограниченная решетка, в которой функция f _a : H → H , заданная как f _a ( x ) = a ∧ x , является нижним сопряженным элементом связи Галуа для каждого элемента a из H . Верхний сопряженный элемент связи f _a обозначается тогда через g _a , причем g _a ( x ) = a ⇒; x . Каждая булева алгебра является алгеброй Гейтинга.
Диаграмма Хассе . Диаграмма Хассе — это тип математической диаграммы, используемой для представления конечного частично упорядоченного множества в виде рисунка его транзитивной редукции .
Однородное отношение . Однородное отношение на множествеявляется подмножеством. Иными словами, это бинарное отношение надсобой. $X$ $X\times X.$ $X$

я

Идеал . Идеал — это подмножество X частично упорядоченного множества P , которое является направленным нижним множеством. Двойственное понятие называется фильтром .
Алгебра инцидентности . Алгебра инцидентности частично упорядоченного множества — это ассоциативная алгебра всех скалярных функций на интервалах, в которой сложение и скалярное умножение определяются поточечно, а умножение определяется как некоторая свертка;подробности см. в алгебре инцидентности .
Infimum . Для частично упорядоченного множества P и подмножества X множества P наибольший элемент в множестве нижних границ X (если он существует, что может и не быть) называется infimum , meet , или наилучшей нижней границей X . Он обозначается как inf X или X . Инфимум двух элементов может быть записан как inf{ x , y } или x ∧ y . Если множество X конечно, говорят о конечном инфимуме . Двойственное понятие называется supremum . $\bigwedge$
Интервал . Для двух элементов a , b частично упорядоченного множества P интервал[ a , b ] является подмножеством { x в P | a ≤ x ≤ b } множества P. Если a ≤ b не выполняется, интервал будет пустым.
Интервально-конечный частично упорядоченный набор . Частично упорядоченное множество P является интервально-конечным , если каждый интервал вида {x в P | x ≤ a} является конечным множеством. ^[2]
Обратное . См . обратное .
Иррефлексивность . Отношение R на множестве X является иррефлексивным, если в X нет элемента x такого, что x R x .
Изотон . См. монотонный .

Дж.

Присоединяйтесь . Смотрите supremum .

Л

Решетка . Решетка — это частично упорядоченное множество, в котором существуют все непустые конечные соединения (супремы) и пересечения (инфимы).
Наименьший элемент . Для подмножества X частично упорядоченного множества P элемент a из X называется наименьшим элементом X , если a ≤ x для каждого элемента x из X. Двойственное понятие называется наибольшим элементом .
Длина цепи — это количество элементов за вычетом одного. Цепь с 1 элементом имеет длину 0, с 2 элементами — 1 и т. д .
Линейный . Смотрите общий порядок .
Линейное расширение . Линейное расширение частичного порядка — это расширение, которое является линейным порядком или полным порядком.
Локаль . Локаль — это полная алгебра Гейтинга . Локаль также называется фреймом и появляется в двойственности Стоуна и бесточечной топологии .
Локально конечный частично упорядоченный набор . Частично упорядоченное множество P является локально конечным , если каждый интервал [ a , b ] = { x in P | a ≤ x ≤ b } является конечным множеством.
Нижняя граница . Нижняя граница подмножества X частично упорядоченного множества P — это элемент b из P , такой что b ≤ x для всех x из X. Двойственное понятие называется верхней границей .
Нижнее множество . Подмножество X частично упорядоченного множества P называется нижним множеством, если для всех элементов x из X и p из P из p ≤ x следует ,что p содержится в X. Двойственное понятие называется верхним множеством .

М

Максимальная цепь . Цепь в частично упорядоченном множестве, к которой нельзя добавить ни одного элемента, не теряя свойства быть полностью упорядоченным. Это сильнее, чем быть насыщенной цепью, так как это также исключает существование элементов, которые либо меньше всех элементов цепи, либо больше всех ее элементов. Конечная насыщенная цепь является максимальной тогда и только тогда, когда она содержит как минимальный, так и максимальный элемент частично упорядоченного множества.
Максимальный элемент . Максимальный элемент подмножества X частично упорядоченного множества P — это элемент m из X , такой что m ≤ x влечет m = x для всех x из X. Двойственное понятие называется минимальным элементом .
Максимальный элемент . Синоним наибольшего элемента. Для подмножества X частично упорядоченного множества P элемент a из X называется максимальным элементом X, если x ≤ a для каждого элемента x из X. Максимальный элемент обязательно является максимальным al , но обратное не обязательно выполняется.
Знакомьтесь . Смотрите инфимум .
Минимальный элемент . Минимальный элемент подмножества X частично упорядоченного множества P — это элемент m из X , такой что x ≤ m влечет m = x для всех x из X. Двойственное понятие называется максимальным элементом .
Минимальный элемент . Синоним наименьшего элемента. Для подмножества X частично упорядоченного множества P элемент a из X называется минимальным элементом X, если x ≥ a для каждого элемента x из X. Минимальный элемент обязательно является минимальным , но обратное не обязательно выполняется.
Монотонная . Функция f между частично упорядоченными множествами P и Q является монотонной, если для всех элементов x , y из P , x ≤ y (в P ) влечет f ( x ) ≤ f ( y ) (в Q ). Другие названия этого свойства — изотонность и сохранение порядка . В анализе при наличии полных порядков такие функции часто называют монотонно возрастающими , но это не очень удобное описание при работе с неполными порядками. Двойственное понятие называется антитоном или обращением порядка .

О

Порядок-дуальный . Порядок, дуальный частично упорядоченному множеству, — это то же самое множество, в котором отношение частичного порядка заменено на обратное.
Порядковое вложение . Функция f между частично упорядоченными множествами P и Q является порядковым вложением, если для всех элементов x , y из P , x ≤ y (в P ) эквивалентно f ( x ) ≤ f ( y ) (в Q ).
Изоморфизм порядка . Отображение f : P → Q между двумя частично упорядоченными множествами P и Q называется изоморфизмом порядка, если оно биективно и обе функции f и f ⁻¹ являются. Эквивалентно, изоморфизм порядка — это сюръективное вложение порядка .
Сохраняющий порядок . См. монотонный .
Изменение порядка . См. антитон .

П

Частичный порядок . Частичный порядок — это бинарное отношение , которое является рефлексивным , антисимметричным и транзитивным . В небольшом злоупотреблении терминологией этот термин иногда также используется для обозначения не такого отношения, а соответствующего ему частично упорядоченного множества.
Частично упорядоченный набор . Частично упорядоченный наборили сокращенно ЧУМ — это наборс частичным порядкомна $(P,\leq),$ $P$ $\,\leq \,$ $П.$
ЧУМ — частично упорядоченное множество.
Предпорядок . Предпорядок — это бинарное отношение , которое является рефлексивным и транзитивным . Такие порядки также могут называться квазипорядками или нестрогим предпорядком . Термин предпорядок также используется для обозначения ациклического бинарного отношения (также называемого ациклическим орграфом ).
Предварительно заказанный набор . Предварительно заказанный набор— это наборвместе с предварительным заказомна $(P,\leq)$ $P$ $\,\leq \,$ $П.$
Сохраняющая . Говорят, чтофункция f между частично упорядоченными множествами P и Q сохраняет супремумы (соединения), если для всех подмножеств X из P , имеющих супремум sup X в P , мы обнаруживаем, что sup{ f ( x ): x в X } существует и равна f (sup X ). Такая функция также называется сохраняющей соединение . Аналогично говорят, что f сохраняет конечные, непустые, направленные или произвольные соединения (или встречает). Обратное свойство называется отражающим соединение .
Простой . Идеал I в решетке L называется простым, если для всех элементов x и y в L из x ∧ y в I следует x в I или y в I . Двойственное понятие называется простым фильтром . Эквивалентно, множество является простым фильтром тогда и только тогда, когда его дополнение является простым идеалом.
Principal . Фильтр называется главным, если у него есть наименьший элемент. Двойственно, главный идеал — это идеал с наибольшим элементом. Наименьшие или наибольшие элементы также могут называться главными элементами в этих ситуациях.
Проекция (оператор) . Самоотображение на частично упорядоченном множестве , монотонное и идемпотентное относительно композиции функций . Проекции играют важную роль в теории доменов .
Псевдодополнение . В алгебре Гейтинга элемент x ⇒; 0 называется псевдодополнением x . Он также задается как sup{ y : y ∧ x = 0}, т.е. как точная верхняя граница всех элементов y с y ∧ x = 0.

В

Квазипорядок . См. предварительный заказ .
Квазитранзитивность . Отношение является квазитранзитивным, если отношение на отдельных элементах является транзитивным. Транзитивность подразумевает квазитранзитивность, а квазитранзитивность подразумевает ацикличность.^[1]

Р

Отражение . Говорят, что функция f между частично упорядоченными множествами P и Q отражает супремумы (соединения), если для всех подмножеств X из P , для которых супремум sup{ f ( x ): x в X } существует и имеет вид f ( s ) для некоторого s из P , то мы обнаруживаем, что sup X существует и что sup X = s . Аналогично говорят, что f отражает конечные, непустые, направленные или произвольные соединения (или встречается). Обратное свойство называется сохранением соединения .
Рефлексивный . Бинарное отношение R на множестве X является рефлексивным, если x R x выполняется для каждогоэлемента x из X.
Остаток . Двойственная карта, прикрепленная к остаточному отображению .
Остаточное отображение . Монотонное отображение, для которого прообраз главного нижнего множества снова является главным. Эквивалентно, один компонент связности Галуа.

С

Насыщенная цепь . Цепь в частично упорядоченном множестве, такая, что ни один элемент не может быть добавлен между двумя ее элементами без потери свойства полной упорядоченности. Если цепь конечна, это означает, что в каждой паре последовательных элементов больший покрывает меньший. См. также максимальная цепь.
Рассеянный . Полный порядок является рассеянным, если он не имеет плотно упорядоченного подмножества.
Непрерывная по Скотту . Монотонная функция f : P → Q между частично упорядоченными множествами P и Q является непрерывной по Скотту, если для каждого направленного множества D , имеющего супремум sup D в P , множество { fx | x в D } имеет супремум f (sup D ) в Q . Другими словами, непрерывная по Скотту функция — это функция, которая сохраняет все направленные супремумы. Это фактически эквивалентно непрерывности относительно топологии Скотта на соответствующих частично упорядоченных множествах.
Домен Скотта . Домен Скотта — это частично упорядоченное множество, которое является ограниченным полным алгебраическим cpo .
Скотт открыт . См. топологию Скотта .
Топология Скотта . Для частично упорядоченного множества P подмножество O является открытым по Скотту , если оно является верхним множеством и все направленные множества D , имеющие супремум в O, имеют непустое пересечение с O. Множество всех открытых по Скотту множеств образует топологию , топологию Скотта .
Полурешетка . Полурешетка — это частично упорядоченное множество, в котором существуют либо все конечные непустые соединения (suprema), либо все конечные непустые соединения (infima). Соответственно, говорят о join-полурешетке или meet-полурешетке .
Наименьший элемент . См. наименьший элемент .
Свойство Шпернера частично упорядоченного множества
Шпернер посет
Строго Шпернер ЧУМ
Сильно Шпернер ЧОЗЕТ
Строгий порядок . См. строгий частичный порядок .
Строгий частичный порядок . Строгий частичный порядок — это однородное бинарное отношение , которое является транзитивным , иррефлексивным и антисимметричным .
Строгий предварительный заказ . См. строгий частичный заказ .
Supremum . Для частично упорядоченного множества P и подмножества X из P наименьший элемент в наборе верхних границ X (если он существует, что может и не быть) называется supremum , join , или наименьшей верхней границей X . Он обозначается sup X или X . Супремум двух элементов может быть записан как sup{ x , y } или x ∨ y . Если множество X конечно, говорят о конечном супремуме . Двойственное понятие называется infimum . $\bigvee$
Согласованность Судзумуры . Бинарное отношение R согласовано по Судзумуре, если x R ^∗ y подразумевает, что x R y или не y R x . ^[1]
Симметричное отношение . Однородное отношение R на множестве X является симметричным, если x R y влечет y R x для всех элементов x , y из X .

Т

Верх . См. блок .
Полный порядок . Полный порядок T — это частичный порядок, в котором для каждого x и y в T выполняется x ≤ y или y ≤ x . Полные порядки также называются линейными порядками или цепями .
Общее отношение . Синоним для Связанного отношения .
Транзитивное отношение . Отношение R на множестве X является транзитивным, если x R y и y R z влекут x R z для всех элементов x , y , z из X .
Транзитивное замыкание . Транзитивное замыкание R^∗ отношения R состоит из всех пар x , y ,для которых существует конечная цепочка xR a , aR b , ...,zR y . [1^]

У

Единица . Наибольший элемент частично упорядоченного множества P можно назвать единицей или просто 1 (если он существует). Другой распространенный термин для этого элемента — вершина . Это инфимум пустого множества и супремум P. Двойственное понятие называется нулем .
См. верхний набор .
Верхняя граница . Верхняя граница подмножества X частично упорядоченного множества P — это элемент b из P , такой что x ≤ b для всех x из X. Двойственное понятие называется нижней границей .
Верхнее множество . Подмножество X частично упорядоченного множества P называется верхним множеством, если для всех элементов x из X и p из P из x ≤p следует , что p содержится в X. Двойственное понятие называется нижним множеством .

В

Оценка . При заданной решетке оценка является строгой (то есть ), монотонной, модульной (то есть ) и положительной. Непрерывные оценки являются обобщением мер. $X$ $\nu :X\to [0,1]$ $\nu (\varnothing )=0$ $\nu (U)+\nu (V)=\nu (U\cup V)+\nu (U\cap V)$

Вт

Отношение «далеко-ниже » . В частично упорядоченном множестве P некоторый элемент x находится намного ниже y , что обозначается как x << y , если для всех направленных подмножеств D множества P , имеющих супремум, y ≤ sup D влечет x ≤ d для некоторого d из D. Также говорят, что x приближает y . См. также теорию доменов .
Слабый порядок . Частичный порядок ≤ на множестве X является слабым порядком при условии, что частично упорядоченное множество (X, ≤) изоморфно счетному набору множеств, упорядоченных путем сравнения мощности .

З

Ноль . Наименьший элемент частично упорядоченного множества P можно назвать нулем или просто 0 (если он существует). Другой распространенный термин для этого элемента — bottom . Ноль — это супремум пустого множества и инфимум P. Двойственное понятие называется unit .

Примечания

^ abcd Боссерт, Уолтер; Судзумура, Котаро (2010). Последовательность, выбор и рациональность . Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0674052994.
^ Дэн 2008, стр. 22

Ссылки

Приведенные здесь определения соответствуют определениям, которые можно найти в следующих стандартных справочниках:

Б. А. Дэви и Х. А. Пристли, Введение в решетки и порядок , 2-е издание, Cambridge University Press, 2002.
G. Gierz, KH Hofmann, K. Keimel, JD Lawson, M. Mislove и DS Scott, Непрерывные решетки и области , в Encyclopedia of Mathematics and Its Applications , том 93, Cambridge University Press, 2003.

Конкретные определения:

Дэн, Бангминг (2008), Конечномерные алгебры и квантовые группы , Математические обзоры и монографии, т. 150, Американское математическое общество, ISBN 978-0-8218-4186-0

[BosSuz-1] Боссерт, Уолтер; Судзумура, Котаро (2010). Последовательность, выбор и рациональность . Издательство Гарвардского университета. ISBN 978-0674052994.

[2] Дэн 2008, стр. 22