Рефлексивное отношение

Транзитивные  бинарные отношения в т е
Симметричный Антисимметричный Подключен Обоснованный Имеет соединения Имеет встречает Рефлексивный Нерефлексивный Асимметричный Всего, Полуконнекc Антирефлексивный ​ Отношение эквивалентности И ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ И ✗ ✗ Предварительный заказ (квазизаказ) ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ И ✗ ✗ Частичный заказ ✗ И ✗ ✗ ✗ ✗ И ✗ ✗ Всего предзаказов ✗ ✗ И ✗ ✗ ✗ И ✗ ✗ Общий заказ ✗ И И ✗ ✗ ✗ И ✗ ✗ Предварительный заказ ✗ ✗ И И ✗ ✗ И ✗ ✗ Хорошо-квази-упорядочение ✗ ✗ ✗ И ✗ ✗ И ✗ ✗ Хорошо упорядоченный ✗ И И И ✗ ✗ И ✗ ✗ Решетка ✗ И ✗ ✗ И И И ✗ ✗ Join-полурешетка ✗ И ✗ ✗ И ✗ И ✗ ✗ Встреча-полурешетка ✗ И ✗ ✗ ✗ И И ✗ ✗ Строгий частичный порядок ✗ И ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ И И Строгий слабый порядок ✗ И ✗ ✗ ✗ ✗ ✗ И И Строгий общий порядок ✗ И И ✗ ✗ ✗ ✗ И И Симметричный Антисимметричный Подключен Обоснованный Имеет соединения Имеет встречает Рефлексивный Нерефлексивный Асимметричный Определения, для всех и${\displaystyle а,б}$${\displaystyle S\neq \varnothing:}$ ${\displaystyle {\begin{align}&aRb\\\Стрелка вправо {}&bRa\end{align}}}$ ${\displaystyle {\begin{align}aRb{\text{ и }}&bRa\\\Стрелка вправо a={}&b\end{align}}}$ ${\displaystyle {\begin{align}a\neq {}&b\Rightarrow \\aRb{\text{ или }}&bRa\end{align}}}$ ${\displaystyle {\begin{align}\min S\\{\text{exists}}\end{align}}}$ ${\displaystyle {\begin{align}a\vee b\\{\text{существует}}\end{align}}}$ ${\displaystyle {\begin{align}a\wedge b\\{\text{существует}}\end{align}}}$ ${\displaystyle аРа}$ ${\displaystyle {\text{не}}aRa}$ ${\displaystyle {\begin{align}aRb\Rightarrow \\{\text{not}}bRa\end{align}}}$
Иуказывает, что свойство столбца всегда верно для термина строки (слева), в то время как ✗ указывает, что свойство не гарантируется в общем случае (оно может выполняться, а может и не выполняться). Например, то, что каждое отношение эквивалентности симметрично, но не обязательно антисимметрично, обозначается в столбце «Симметрично» и ✗ в столбце «Антисимметрично» соответственно.И Все определения неявно требуют, чтобы однородное отношение было транзитивным : для всех, если и то Определение термина может требовать дополнительных свойств, которые не перечислены в этой таблице.${\displaystyle R}$${\displaystyle а,б,в,}$${\displaystyle aRb}$${\displaystyle bRc}$${\displaystyle aRc.}$

В математике бинарное отношение на множестве является рефлексивным , если оно связывает каждый элемент с самим собой. ^{[1] [2]}${\displaystyle R}$ ${\displaystyle X}$${\displaystyle X}$

Примером рефлексивного отношения является отношение « равно » на множестве действительных чисел , поскольку каждое действительное число равно самому себе. Говорят, что рефлексивное отношение имеет свойство рефлексивности или обладает рефлексивностью . Наряду с симметрией и транзитивностью , рефлексивность является одним из трех свойств, определяющих отношения эквивалентности .

Отношение на множестве называется рефлексивным, если для любого , .${\displaystyle R}$${\displaystyle X}$${\displaystyle x\in X}$${\displaystyle (x,x)\in R}$

Эквивалентно, обозначим через отношение тождества на , отношение рефлексивно, если .${\displaystyle \operatorname {I} _{X}:=\{(x,x)~:~x\in X\}}$${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle \operatorname {I} _{X}\subseteq R}$

Рефлексивное замыкание — это объединение , которое можно эквивалентно определить как наименьшее (по отношению к ) рефлексивное отношение на , которое является надмножеством . Отношение рефлексивно тогда и только тогда, когда оно равно своему рефлексивному замыканию. ${\displaystyle R}$${\displaystyle R\cup \operatorname {I} _{X},}$${\displaystyle \subseteq}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Р.}$${\displaystyle R}$

Рефлексивная редукция или иррефлексивное ядро ​​— это наименьшее (по отношению к ) отношение на , имеющее то же рефлексивное замыкание, что и Оно равно Рефлексивную редукцию можно, в некотором смысле, рассматривать как конструкцию, которая является «противоположностью» рефлексивному замыканию Например, рефлексивное замыкание канонического строгого неравенства на действительных числах является обычным нестрогим неравенством, тогда как рефлексивная редукция является${\displaystyle R}$${\displaystyle \subseteq}$${\displaystyle X}$${\displaystyle Р.}$${\displaystyle R\setminus \operatorname {I} _{X}=\{(x,y)\in R~:~x\neq y\}.}$${\displaystyle R}$${\displaystyle Р.}$${\стиль_отображения <}$ ${\displaystyle \mathbb {R} }$${\displaystyle \leq}$${\displaystyle \leq}$${\displaystyle <.}$

Существует несколько определений, связанных с рефлексивным свойством. Отношение называется:${\displaystyle R}$

нерефлексивный ,антирефлексивный илиалиоотносительный

^[3] если оно не связывает ни один элемент с собой; то есть, если выполняется ни для одного Отношение является иррефлексивным тогда и только тогда, когда его дополнение в рефлексивно. Асимметричное отношение обязательно иррефлексивно. Транзитивное и иррефлексивное отношение обязательно асимметрично.${\displaystyle xRx}$${\displaystyle x\in X.}$${\displaystyle X\times X}$

левый квазирефлексивный

если когда-либо таковы, что тогда обязательно ^[4]${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle xRy,}$${\displaystyle xRx.}$

правый квазирефлексивный

если когда-либо таковы, что тогда обязательно${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle xRy,}$${\displaystyle yRy.}$

квазирефлексивный

если каждый элемент, являющийся частью некоторого отношения, связан с самим собой. Явно это означает, что всякий раз, когда таковы, что то обязательно и Эквивалентно, бинарное отношение является квазирефлексивным тогда и только тогда, когда оно является как левым квазирефлексивным, так и правым квазирефлексивным. Отношение является квазирефлексивным тогда и только тогда, когда его симметричное замыкание является левым (или правым) квазирефлексивным.${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle xRy,}$${\displaystyle xRx}$${\displaystyle yRy.}$${\displaystyle R}$ ${\displaystyle R\cup R^{\operatorname {T} }}$

антисимметричный

если когда-либо таковы, что тогда обязательно${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle xRy{\text{ и }}yRx,}$${\displaystyle x=y.}$

корефлексивный

если и когда таковы, что то обязательно ^[5] Отношение является корефлексивным тогда и только тогда, когда его симметричное замыкание является антисимметричным .${\displaystyle x,y\in X}$${\displaystyle xRy,}$${\displaystyle x=y.}$${\displaystyle R}$

Рефлексивное отношение на непустом множестве не может быть ни иррефлексивным, ни асимметричным ( называется асимметричным, если влечет не ), ни антитранзитивным ( является антитранзитивным, если влечет не ).${\displaystyle X}$${\displaystyle R}$${\displaystyle xRy}$${\displaystyle yRx}$${\displaystyle R}$${\displaystyle xRy{\text{ и }}yRz}$${\displaystyle xRz}$

Примеры рефлексивных отношений включают в себя:

• "равно" ( равенство )
• «является подмножеством » (включение множества)
• «делит» ( делимость )
• "больше или равно"
• "меньше или равно"

Примеры нерефлексивных отношений включают в себя:

• "не равно"
• « взаимно прост » для целых чисел больше 1
• "является собственным подмножеством "
• "больше чем"
• "меньше чем"

Примером иррефлексивного отношения, которое означает, что оно не связывает ни один элемент с самим собой, является отношение "больше, чем" ( ) на действительных числах . Не каждое отношение, которое не является рефлексивным, является иррефлексивным; можно определить отношения, в которых некоторые элементы связаны с собой, а другие нет (то есть, ни все, ни ни один не связаны). Например, бинарное отношение "произведение и четно" рефлексивно на множестве четных чисел , иррефлексивно на множестве нечетных чисел и ни рефлексивно, ни иррефлексивно на множестве натуральных чисел . ${\displaystyle х>у}$${\displaystyle x}$${\displaystyle y}$

Примером квазирефлексивного отношения является отношение «имеет тот же предел, что и» на множестве последовательностей действительных чисел: не каждая последовательность имеет предел, и, таким образом, отношение не является рефлексивным, но если последовательность имеет тот же предел, что и некоторая последовательность, то она имеет тот же предел, что и она сама. Примером левого квазирефлексивного отношения является левое евклидово отношение , которое всегда является левым квазирефлексивным, но не обязательно правым квазирефлексивным, и, таким образом, не обязательно квазирефлексивным. ${\displaystyle R}$

Примером корефлексивного отношения является отношение целых чисел , в котором каждое нечетное число связано с самим собой и нет других отношений. Отношение равенства является единственным примером как рефлексивного, так и корефлексивного отношения, а любое корефлексивное отношение является подмножеством отношения тождества. Объединение корефлексивного отношения и транзитивного отношения на одном и том же множестве всегда транзитивно.

Число рефлексивных отношений на -элементном множестве равно ^[6]${\displaystyle n}$${\displaystyle 2^{n^{2}-n}.}$

Обратите внимание, что S ( n , k ) относится к числам Стирлинга второго рода .

Авторы философской логики часто используют разную терминологию. Рефлексивные отношения в математическом смысле в философской логике называются тотально рефлексивными , а квазирефлексивные отношения называются рефлексивными . ^{[7] [8]}

• «Рефлексивность», Энциклопедия математики , EMS Press , 2001 [1994]