Скрученная К-теория

В математике скрученная К-теория (также называемая К-теорией с локальными коэффициентами [1] ) является вариацией К-теории , математической теории 1950-х годов, которая охватывает алгебраическую топологию , абстрактную алгебру и теорию операторов .

Более конкретно, скрученная K-теория с твистом H является частным вариантом K-теории, в которой твист задается целым 3-мерным классом когомологий . Он является особенным среди различных твистов, которые допускает K-теория, по двум причинам. Во-первых, он допускает геометрическую формулировку. Это было сделано в два этапа; первый был сделан в 1970 году (Publ. Math. de l' IHÉS ) Питером Донованом и Максом Каруби; второй в 1988 году Джонатаном Розенбергом в Continuous-Trace Algebras from the Bundle Theoretic Point of View.

В физике предполагалось, что D-браны , напряженности поля Рамона-Рамона и в некоторых случаях даже спиноры можно классифицировать в теории струн типа II . Для получения дополнительной информации о скрученной K-теории в теории струн см. K-теория (физика) .

В более широком контексте K-теории в каждом предмете она имеет многочисленные изоморфные формулировки и во многих случаях изоморфизмы, связывающие определения в различных предметах, были доказаны. Она также имеет многочисленные деформации, например, в абстрактной алгебре K-теория может быть скручена любым целочисленным классом когомологий.

Определение

Чтобы мотивировать геометрическую формулировку Розенбергом скрученной К-теории, начнем с теоремы Атьи–Яниха , утверждающей, что

Ф г е г ( ЧАС ) , {\displaystyle Фред({\mathcal {H}}),}

операторы Фредгольма в гильбертовом пространстве , являются классифицирующим пространством для обычной, нескрученной K-теории. Это означает, что K-теория пространства состоит из гомотопических классов отображений ЧАС {\displaystyle {\mathcal {H}}} М {\displaystyle М}

[ М Ф г е г ( ЧАС ) ] {\displaystyle [M\rightarrow Фред({\mathcal {H}})]}

от до М {\displaystyle М} Ф г е г ( ЧАС ) . {\displaystyle Фред({\mathcal {H}}).}

Немного более сложный способ сказать то же самое заключается в следующем. Рассмотрим тривиальное расслоение над , то есть декартово произведение и . Тогда K-теория состоит из гомотопических классов сечений этого расслоения. Ф г е г ( ЧАС ) {\displaystyle Фред({\mathcal {H}})} М {\displaystyle М} М {\displaystyle М} Ф г е г ( ЧАС ) {\displaystyle Фред({\mathcal {H}})} М {\displaystyle М}

Мы можем сделать это еще более сложным, введя тривиальный

П У ( ЧАС ) {\displaystyle PU({\mathcal {H}})}

расслоение над , где есть группа проективных унитарных операторов на гильбертовом пространстве . Тогда группа отображений П {\displaystyle P} М {\displaystyle М} П У ( ЧАС ) {\displaystyle PU({\mathcal {H}})} ЧАС {\displaystyle {\mathcal {H}}}

[ П Ф г е г ( ЧАС ) ] П У ( ЧАС ) {\displaystyle [P\rightarrow Фред({\mathcal {H}})]_{PU({\mathcal {H}})}}

из в которые являются эквивариантными относительно действия эквивалентны исходным группам отображений П {\displaystyle P} Ф г е г ( ЧАС ) {\displaystyle Фред({\mathcal {H}})} П У ( ЧАС ) {\displaystyle PU({\mathcal {H}})}

[ М Ф г е г ( ЧАС ) ] . {\displaystyle [M\rightarrow Фред({\mathcal {H}})].}

Эта более сложная конструкция обычной K-теории естественным образом обобщается на скрученный случай. Чтобы увидеть это, заметим, что расслоения на классифицируются элементами третьей целочисленной группы когомологий . Это следствие того факта, что топологически является представительным пространством Эйленберга–Маклейна П У ( ЧАС ) {\displaystyle PU({\mathcal {H}})} М {\displaystyle М} ЧАС {\displaystyle H} М {\displaystyle М} П У ( ЧАС ) {\displaystyle PU({\mathcal {H}})}

К ( З , 3 ) {\displaystyle K(\mathbf {Z},3)} .

Обобщение тогда простое. Розенберг определил

К ЧАС ( М ) {\displaystyle K_{H}(M)} ,

скрученная K-теория с скручиванием, заданная 3-классом , должна быть пространством гомотопических классов сечений тривиального расслоения над , которые ковариантны относительно расслоения , расслоенного над с 3-классом , то есть М {\displaystyle М} ЧАС {\displaystyle H} Ф г е г ( ЧАС ) {\displaystyle Фред({\mathcal {H}})} М {\displaystyle М} П У ( ЧАС ) {\displaystyle PU({\mathcal {H}})} П ЧАС {\displaystyle P_{H}} М {\displaystyle М} ЧАС {\displaystyle H}

К ЧАС ( М ) = [ П ЧАС Ф г е г ( ЧАС ) ] П У ( ЧАС ) . {\displaystyle K_{H}(M)=[P_{H}\rightarrow Фред({\mathcal {H}})]_{PU({\mathcal {H}})}.}

Эквивалентно, это пространство гомотопических классов сечений расслоений, связанных с расслоением с классом . Ф г е г ( ЧАС ) {\displaystyle Фред({\mathcal {H}})} П У ( ЧАС ) {\displaystyle PU({\mathcal {H}})} ЧАС {\displaystyle H}

Связь с К-теорией

Когда — тривиальный класс, скрученная K-теория — это просто раскрученная K-теория, которая является кольцом. Однако, когда — нетривиально, эта теория уже не является кольцом. Она имеет сложение, но уже не замкнута относительно умножения. ЧАС {\displaystyle H} ЧАС {\displaystyle H}

Однако прямая сумма скрученных K-теорий со всеми возможными скручиваниями является кольцом. В частности, произведение элемента K-теории с скручиванием на элемент K-теории с скручиванием является элементом K-теории, скрученным на . Этот элемент можно построить непосредственно из приведенного выше определения, используя сопряженные операторы Фредгольма и построить из них конкретную матрицу 2 x 2 (см. ссылку 1, где также представлена ​​более естественная и общая версия с Z/2-градуировкой). В частности, скрученная K-теория является модулем над классической K-теорией. М {\displaystyle М} ЧАС {\displaystyle H} ЧАС {\displaystyle H'} ЧАС + ЧАС {\displaystyle H+H'}

Расчеты

Физики обычно хотят вычислить скрученную K-теорию, используя спектральную последовательность Атьи–Хирцебруха . [2] Идея состоит в том, что мы начинаем со всех четных или всех нечетных интегральных когомологий, в зависимости от того, хотим ли мы вычислить скрученную или скрученную , а затем берем когомологии относительно ряда дифференциальных операторов. Первый оператор, , например, является суммой трехклассового , который в теории струн соответствует 3-форме Невё-Шварца, и третьего квадрата Стинрода , [3] так что К 0 {\displaystyle К_{0}} К 0 {\displaystyle К^{0}} г 3 {\displaystyle d_{3}} ЧАС {\displaystyle H}

г 3 п , д = С д 3 + ЧАС {\displaystyle d_{3}^{p,q}=Sq^{3}+H}

Элементарная форма для следующего оператора, , не найдена, хотя существует несколько предполагаемых форм. Высшие операторы не вносят вклад в -теорию 10-многообразия, которая является измерением, представляющим интерес в критической теории суперструн . Над рациональными числами Майкл Атья и Грэм Сигал показали, что все дифференциалы сводятся к произведениям Масси . [4] г 5 {\displaystyle d_{5}} К {\displaystyle К} М {\displaystyle М}

После взятия когомологий относительно полного ряда дифференциалов получаем скрученную -теорию как набор, но для получения полной групповой структуры в общем случае необходимо решить задачу расширения . К {\displaystyle К}

Пример: трехсфера

Трёхмерная сфера, , имеет тривиальные когомологии, за исключением и , которые обе изоморфны целым числам. Таким образом, чётные и нечётные когомологии обе изоморфны целым числам. Поскольку трёхмерная сфера имеет размерность три, что меньше пяти, третий квадрат Стинрода тривиален на её когомологиях, и поэтому первый нетривиальный дифференциал равен просто . Последующие дифференциалы увеличивают степень класса когомологий более чем на три и поэтому снова тривиальны; таким образом, скрученная -теория — это просто когомологии оператора , который действует на класс, охватывая его 3-классом . С 3 {\displaystyle S^{3}} ЧАС 0 ( С 3 ) {\displaystyle H^{0}(S^{3})} ЧАС 3 ( С 3 ) {\displaystyle H^{3}(S^{3})} г 5 = ЧАС {\displaystyle d_{5}=H} К {\displaystyle К} г 3 {\displaystyle d_{3}} ЧАС {\displaystyle H}

Представьте, что это тривиальный класс, ноль. Тогда также тривиально. Таким образом, вся его область определения является его ядром, и ничто не находится в его образе. Таким образом, ядро ​​находится в четных когомологиях, которые являются полными четными когомологиями, состоящими из целых чисел. Аналогично состоит из нечетных когомологий, профакторизованных по образу , другими словами, профакторизованных по тривиальной группе. Это оставляет исходные нечетные когомологии, которые снова являются целыми числами. В заключение, и трехсферы с тривиальным поворотом оба изоморфны целым числам. Как и ожидалось, это согласуется с нескрученной -теорией. ЧАС {\displaystyle H} г 3 {\displaystyle d_{3}} К ЧАС 0 ( С 3 ) {\displaystyle K_{H}^{0}(S^{3})} г 3 {\displaystyle d_{3}} К ЧАС 1 ( С 3 ) {\displaystyle K_{H}^{1}(S^{3})} г 3 {\displaystyle d_{3}} К 0 {\displaystyle К^{0}} К 1 {\displaystyle К^{1}} К {\displaystyle К}

Теперь рассмотрим случай, в котором нетривиально. определяется как элемент третьей целочисленной когомологии, которая изоморфна целым числам. Таким образом, соответствует числу, которое мы будем называть . теперь берет элемент из и дает элемент из . Так как не равно нулю по предположению, то единственным элементом ядра является нулевой элемент, и поэтому . Образ состоит из всех элементов целых чисел, кратных . Следовательно, нечетные когомологии, , профакторизованные по образу , , являются циклической группой порядка , . В заключение ЧАС {\displaystyle H} ЧАС {\displaystyle H} ЧАС {\displaystyle H} н {\displaystyle n} г 3 {\displaystyle d_{3}} м {\displaystyle м} ЧАС 0 {\displaystyle H^{0}} н м {\displaystyle нм} ЧАС 3 {\displaystyle H^{3}} н {\displaystyle n} г 3 {\displaystyle d_{3}} К ЧАС = н 0 ( С 3 ) = 0 {\displaystyle K_{H=n}^{0}(S^{3})=0} г 3 {\displaystyle d_{3}} н {\displaystyle n} З {\displaystyle \mathbb {Z} } г 3 {\displaystyle d_{3}} н З {\displaystyle n\mathbb {Z} } н {\displaystyle n} З / н {\displaystyle \mathbb {Z} /n}

К ЧАС = н 1 ( С 3 ) = З / н {\displaystyle K_{H=n}^{1}(S^{3})=\mathbb {Z} /n}

В теории струн этот результат воспроизводит классификацию D-бран на 3-сфере с единицами -потока, что соответствует набору симметричных граничных условий в суперсимметричной модели WZW на уровне . н {\displaystyle n} ЧАС {\displaystyle H} С У ( 2 ) {\displaystyle SU(2)} n 2 {\displaystyle n-2}

Существует расширение этого вычисления на групповое многообразие SU(3) . [5] В этом случае квадратный член Стинрода в , оператор и проблема расширения нетривиальны. d 3 {\displaystyle d_{3}} d 5 {\displaystyle d_{5}}

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Донаван, Питер; Каруби, Макс (1970). «Градуированные группы Брауэра и $K$-теория с локальными коэффициентами». Публикации Mathématiques de l'IHÉS . 38 : 5–25.
  2. ^ Руководство по таким вычислениям в случае скрученной К-теории можно найти в книге E8 Gauge Theory, and a Derivation of K-Theory from M-Theory Эмануэля Диаконеску, Грегори Мура и Эдварда Виттена (DMW).
  3. ^ (DMW) также предлагает ускоренный курс по квадратам Стинрода для физиков.
  4. ^ В скрученной K-теории и когомологиях.
  5. ^ В книге «Инстантоны D-браны и заряды K-теории» Хуана Малдасены , Грегори Мура и Натана Зайберга .

Ссылки

  • «Градуированные группы Брауэра и K-теория с локальными коэффициентами», Питер Донован и Макс Каруби. Publ. Math. IHÉS Nr. 38, стр. 5–25 (1970).
  • Инстантоны D-браны и заряды теории К Хуана Малдасены , Грегори Мура и Натана Сейберга
  • Скрученная К-теория и когомологии Майкла Атьи и Грэма Сигала
  • Скрученная К-теория и К-теория пучковых гербер Питера Боукнегта , Алана Кэри, Варгезе Матаи , Майкла Мюррея и Дэнни Стивенсона.
  • Извращенная К-теория, старая и новая
  • Strings 2002, лекция Майкла Атьи «Скрученная К-теория и физика»
  • Алгебра Верлинде — это скрученная эквивариантная K-теория (PDF)
  • Формулы Римана–Роха и индекса в скрученной K-теории (PDF)
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Twisted_K-theory&oldid=1149086859"