Медианта (математика)
Дробь, полученная путем сложения числителя и знаменателя двух дробей.

В математике — медиана двух дробей , обычно состоящих из четырёх положительных целых чисел.

а с {\displaystyle {\frac {a}{c}}\quad } и определяется как б г {\displaystyle \quad {\frac {b}{d}}\quad } а + б с + г . {\displaystyle \quad {\frac {a+b}{c+d}}.}

То есть числитель и знаменатель медианы являются суммами числителей и знаменателей данных дробей соответственно. Иногда это называют суммой новичка , так как это распространенная ошибка на ранних этапах изучения сложения дробей .

Технически это бинарная операция над допустимыми дробями (знаменатель ненулевой), рассматриваемыми как упорядоченные пары соответствующих целых чисел, априори игнорируя перспективу рациональных чисел как классов эквивалентности дробей. Например, медиана дробей 1/1 и 1/2 равна 2/3. Однако, если дробь 1/1 заменить дробью 2/2, которая является эквивалентной дробью, обозначающей то же рациональное число 1, медиана дробей 2/2 и 1/2 равна 3/4. Для более сильной связи с рациональными числами может потребоваться, чтобы дроби были сведены к наименьшим членам , тем самым выбрав уникальных представителей из соответствующих классов эквивалентности.

Дерево Штерна–Броко обеспечивает перечисление всех положительных рациональных чисел через медианы в наименьших членах, полученных исключительно путем итеративного вычисления медианы в соответствии с простым алгоритмом.

Характеристики

  • Неравенство медианы: Важным свойством (также объясняющим ее название) медианы является то, что она лежит строго между двумя дробями, медианой которых она является: Если и , то Это свойство следует из двух соотношений и а / с < б / г {\displaystyle а/с<b/d} с ⋅ г > 0 {\displaystyle c\cdot d>0} а с < а + б с + г < б г . {\displaystyle {\frac {a}{c}}<{\frac {a+b}{c+d}}<{\frac {b}{d}}.} а + б с + г − а с = б с − а г с ( с + г ) = г с + г ( б г − а с ) {\displaystyle {\frac {a+b}{c+d}}-{\frac {a}{c}}={{bc-ad} \over {c(c+d)}}={d \over {c+d}}\left({\frac {b}{d}}-{\frac {a}{c}}\right)} б г − а + б с + г = б с − а г г ( с + г ) = с с + г ( б г − а с ) . {\displaystyle {\frac {b}{d}}-{\frac {a+b}{c+d}}={{bc-ad} \over {d(c+d)}}={c \over {c+d}}\left({\frac {b}{d}}-{\frac {a}{c}}\right).}
  • Теоремы о слагаемом и делимом: Если и , то [1] а / с = б / г {\displaystyle а/с=б/г} с ≠ 0 ,   г ≠ 0 {\displaystyle c\neq 0,\ d\neq 0} а с = б г = а + б с + г {\displaystyle {\frac {a}{c}}={\frac {b}{d}}={\frac {a+b}{c+d}}}
  • Состав: [1]
а + с с = б + г г {\displaystyle {\frac {a+c}{c}}={\frac {b+d}{d}}}
  • Дивиденды: [1]
а − с с = б − г г {\displaystyle {\frac {ac}{c}}={\frac {bd}{d}}}
  • Предположим, что пара дробей a / c и b / d удовлетворяет определительному соотношению . Тогда медиана обладает тем свойством, что она является простейшей дробью в интервале ( a / c , b / d ), в том смысле, что является дробью с наименьшим знаменателем. Точнее, если дробь с положительным знаменателем c' лежит (строго) между a / c и b / d , то ее числитель и знаменатель можно записать как и с двумя положительными действительными (фактически рациональными) числами . Чтобы понять, почему должно быть положительным, отметим, что и должно быть положительным. Определительное отношение тогда подразумевает, что оба должны быть целыми числами, решая систему линейных уравнений для . Следовательно, б с − а г = 1 {\displaystyle bc-ad=1} а ′ / с ′ {\displaystyle а'/с'} а ′ = λ 1 а + λ 2 б {\displaystyle a'=\лямбда _{1}a+\лямбда _{2}b} с ′ = λ 1 с + λ 2 г {\displaystyle c'=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d} λ 1 , λ 2 {\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2}} λ я {\displaystyle \лямбда _{я}} λ 1 а + λ 2 б λ 1 с + λ 2 г − а с = λ 2 б с − а г с ( λ 1 с + λ 2 г ) {\displaystyle {\frac {\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}{\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}}-{\frac {a}{c}}=\lambda _{2}{{bc-ad} \over {c(\lambda _{1}c+\lambda _{2}d)}}} б г − λ 1 а + λ 2 б λ 1 с + λ 2 г = λ 1 б с − а г г ( λ 1 с + λ 2 г ) {\displaystyle {\frac {b}{d}}-{\frac {\lambda _{1}a+\lambda _{2}b}{\lambda _{1}c+\lambda _{2}d}}=\lambda _{1}{{bc-ad} \over {d(\lambda _{1}c+\lambda _{2}d)}}} б с − а г = 1 {\displaystyle bc-ad=1\,} λ 1 , λ 2 {\displaystyle \lambda _{1},\,\lambda _{2}} а ′ = λ 1 а + λ 2 б {\displaystyle a'=\лямбда _{1}a+\лямбда _{2}b} с ′ = λ 1 с + λ 2 г {\displaystyle c'=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d} λ 1 , λ 2 {\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}} с ′ ≥ с + г . {\displaystyle c'\geq c+d.}
  • Обратное также верно: предположим, что пара сокращённых дробей a / c  <  b / d обладает тем свойством, что сокращённая дробь с наименьшим знаменателем, лежащим в интервале ( a / c ,  b / d ), равна медиане двух дробей. Тогда имеет место детерминантное соотношение bc − ad = 1. Этот факт можно вывести, например, с помощью теоремы Пика , которая выражает площадь плоского треугольника, вершины которого имеют целые координаты, через число v interior точек решётки (строго) внутри треугольника и число v border точек решётки на границе треугольника. Рассмотрим треугольник с тремя вершинами v 1 = (0, 0), v 2 = ( a ,  c ), v 3 = ( b ,  d ). Его площадь равна Точка внутри треугольника может быть параметризована как где Формула Пика теперь подразумевает, что должна быть точка решетки q = ( q 1 , q 2 ), лежащая внутри треугольника, отличная от трех вершин, если bc − ad > 1 (тогда площадь треугольника равна ). Соответствующая дробь q 1 / q 2 лежит (строго) между заданными (по предположению сокращенными) дробями и имеет знаменатель как Δ ( в 1 , в 2 , в 3 ) {\displaystyle \Delta (v_{1},v_{2},v_{3})} область ( Δ ) = б с − а г 2 . {\displaystyle {\text{площадь}}(\Дельта)={{bc-ad} \over 2}\,.} п = ( п 1 , п 2 ) {\displaystyle p=(p_{1},p_{2})} п 1 = λ 1 а + λ 2 б , п 2 = λ 1 с + λ 2 г , {\displaystyle p_{1}=\lambda _{1}a+\lambda _{2}b,\;p_{2}=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d,} λ 1 ≥ 0 , λ 2 ≥ 0 , λ 1 + λ 2 ≤ 1. {\displaystyle \lambda _{1}\geq 0,\,\lambda _{2}\geq 0,\,\lambda _{1}+\lambda _{2}\leq 1.} область ( Δ ) = в я н т е г я о г + в б о ты н г а г у 2 − 1 {\displaystyle {\text{area}}(\Delta)=v_ {\mathrm {interior} }+{v_{\mathrm {boundary} } \over 2}-1} ≥ 1 {\displaystyle \geq 1} д 2 = λ 1 с + λ 2 г ≤ макс ( с , г ) < с + г {\displaystyle q_{2}=\lambda _{1}c+\lambda _{2}d\leq \max(c,d)<c+d} λ 1 + λ 2 ≤ 1. {\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}\leq 1.}
  • Соответственно, если p / q и r / s являются сокращенными дробями на единичном интервале такими, что | ps  −  rq | = 1 (так что они являются соседними элементами строки последовательности Фарея ), то где ? — функция вопросительного знака Минковского . ? ( п + г д + с ) = 1 2 ( ? ( п д ) + ? ( г с ) ) {\displaystyle ?\left({\frac {p+r}{q+s}}\right)={\frac {1}{2}}\left(?\left({\frac {p}{q}}\right)+{}?\left({\frac {r}{s}}\right)\right)}
    Фактически, медианты часто встречаются при изучении непрерывных дробей и, в частности, дробей Фарея . n- я последовательность Фарея F n определяется как (упорядоченная по величине) последовательность сокращенных дробей a / b (с взаимно простыми числами a , b ) такая, что b  ≤  n . Если две дроби a / c  <  b / d являются смежными (соседними) дробями в сегменте F n , то указанное выше детерминантное соотношение , как правило, справедливо, и, следовательно, медиана является простейшей дробью в интервале ( a / c ,  b / d ), в том смысле, что она является дробью с наименьшим знаменателем. Таким образом, медиана затем (первой) появится в ( c  +  d )-й последовательности Фарея и является «следующей» дробью, которая вставляется в любую последовательность Фарея между a / c и b / d . Это дает правило, как последовательности Фарея F n последовательно строятся с увеличением n . б с − а г = 1 {\displaystyle bc-ad=1}

Графическое определение медиан

Определение медианы двух рациональных чисел графически. Наклоны синего и красного отрезков — два рациональных числа; наклон зеленого отрезка — их медиана.

Положительное рациональное число — это число в форме , где — положительные натуральные числа ; т. е . Множество положительных рациональных чисел , таким образом, является декартовым произведением самого себя; т. е . . Точка с координатами представляет рациональное число , а наклон отрезка, соединяющего начало координат с этой точкой, равен . Поскольку не обязаны быть взаимно простыми , точка представляет одно и только одно рациональное число, но рациональное число представляется более чем одной точкой; например, все являются представлениями рационального числа . Это небольшая модификация формального определения рациональных чисел, ограничивающая их положительными значениями и меняющая порядок членов в упорядоченной паре так, что наклон отрезка становится равным рациональному числу. а / б {\displaystyle а/б} а , б {\displaystyle а,б} а , б ∈ Н + {\displaystyle a,b\in \mathbb {N} ^{+}} В + {\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}} Н + {\displaystyle \mathbb {N} ^{+}} В + = ( Н + ) 2 {\displaystyle \mathbb {Q} ^{+}=(\mathbb {N} ^{+})^{2}} ( б , а ) {\displaystyle (б,а)} а / б {\displaystyle а/б} а / б {\displaystyle а/б} а , б {\displaystyle а,б} ( б , а ) {\displaystyle (б,а)} ( 4 , 2 ) , ( 60 , 30 ) , ( 48 , 24 ) {\displaystyle (4,2),(60,30),(48,24)} 1 / 2 {\displaystyle 1/2} ( б , а ) {\displaystyle (б,а)}

Две точки , где — два представления (возможно, эквивалентных) рациональных чисел и . Отрезки прямых, соединяющие начало координат с и , образуют две смежные стороны параллелограмма. Вершина параллелограмма, противоположная началу координат, — это точка , которая является медианой и . ( б , а ) ≠ ( г , с ) {\displaystyle (б,а)\neq (г,с)} а , б , с , г ∈ Н + {\displaystyle a,b,c,d\in \mathbb {N} ^{+}} а / б {\displaystyle а/б} с / г {\displaystyle c/d} ( б , а ) {\displaystyle (б,а)} ( г , с ) {\displaystyle (d,c)} ( б + г , а + с ) {\displaystyle (b+d,a+c)} а / б {\displaystyle а/б} с / г {\displaystyle c/d}

Площадь параллелограмма равна , что также является величиной векторного произведения векторов и . Из формального определения эквивалентности рациональных чисел следует , что площадь равна нулю, если и эквивалентны. В этом случае один сегмент совпадает с другим, поскольку их наклоны равны. Площадь параллелограмма, образованного двумя последовательными рациональными числами в дереве Штерна–Броко, всегда равна 1. [2] б с − а г {\displaystyle bc-ad} ⟨ b , a ⟩ {\displaystyle \langle b,a\rangle } ⟨ d , c ⟩ {\displaystyle \langle d,c\rangle } a / b {\displaystyle a/b} c / d {\displaystyle c/d}

Обобщение

Понятие медианы можно обобщить на n дробей, и обобщенное неравенство медианы выполняется, [3] факт, который, кажется, был впервые замечен Коши. Точнее, взвешенная медиана n дробей определяется как (с ). Можно показать, что лежит где-то между наименьшей и наибольшей дробью среди . m w {\displaystyle m_{w}} a 1 / b 1 , … , a n / b n {\displaystyle a_{1}/b_{1},\ldots ,a_{n}/b_{n}} ∑ i w i a i ∑ i w i b i {\displaystyle {\frac {\sum _{i}w_{i}a_{i}}{\sum _{i}w_{i}b_{i}}}} w i > 0 {\displaystyle w_{i}>0} m w {\displaystyle m_{w}} a i / b i {\displaystyle a_{i}/b_{i}}

Смотрите также

Ссылки

  1. ^ abc Milburn, RM (1880). Математические формулы: для использования кандидатами, готовящимися к экзаменам в армию, на государственную службу, в университет и другим экзаменам. Longmans, Green & Company. С. 18–19.
  2. ^ Остин, Дэвид. Деревья, зубы и время: математика создания часов, тематическая колонка AMS
  3. ^ Бенсимхун, Майкл (2013). "Заметка о срединном неравенстве" (PDF) . Получено 25.12.2023 .
  • Медиантные дроби в cut-the-knot
  • MATHPAGES, Кевин Браун: Обобщенная медианта
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Mediant_(mathematics)&oldid=1256504120"