Проективно-гармонически сопряженный

В проективной геометрии гармонически сопряженная точка точки на действительной проективной прямой относительно двух других точек определяется следующей конструкцией:

Даны три коллинеарные точки A, B, C , пусть L будет точкой, не лежащей на их соединении, и пусть любая прямая, проходящая через C, пересекает LA , LB в точках M, N соответственно. Если AN и BM пересекаются в точке K , а LK пересекает AB в точке D , то D называется гармонически сопряженной точкой C относительно A и B. [ ^1]

Точка D не зависит ни от того, какая точка L взята изначально, ни от того, какая прямая через C используется для нахождения M и N. Этот факт следует из теоремы Дезарга .

В реальной проективной геометрии гармоническое сопряжение также можно определить через перекрестное отношение как  ( A , B ; C , D ) = −1 .

Четыре точки иногда называют гармоническим диапазоном (на действительной проективной прямой), поскольку обнаружено, что D всегда делит отрезок AB внутренне в той же пропорции, в которой C делит AB внешне . То есть:

$${\displaystyle {\overline {AC}}:{\overline {BC}}={\overline {AD}}:{\overline {DB}}\,.}$$

Если теперь эти сегменты наделить обычной метрической интерпретацией действительных чисел, то они будут иметь знак и образовывать двойную пропорцию, известную как перекрестное отношение (иногда двойное отношение ).

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\left/{\frac {\overline {BC}}{-{\overline {DB}}}}\right.,}$

для которого гармонический диапазон характеризуется значением −1. Поэтому мы пишем:

${\displaystyle (A,B;C,D)={\frac {\overline {AC}}{\overline {AD}}}\times {\frac {\overline {BD}}{\overline {BC}}}=-1.}$

Значение перекрестного отношения в общем случае не является уникальным , поскольку оно зависит от порядка выбора сегментов (и таких вариантов выбора может быть шесть). Но для гармонического диапазона в частности существует всего три значения перекрестного отношения: {−1, 1/2, 2}, поскольку −1 является самообратным – поэтому обмен последними двумя точками просто делает каждое из этих значений обратным, но не производит нового значения, и классически известно как гармоническое перекрестное отношение .

В терминах двойного отношения, если заданы точки a, b на аффинной прямой, отношение деления ^[2] точки x равно Обратите внимание, что когда a < x < b , то t ( x ) отрицательно, и что оно положительно вне интервала. Перекрестное отношение является отношением отношений деления или двойным отношением. Установка двойного отношения в минус один означает, что когда t ( c ) + t ( d ) = 0 , то c и d являются гармонически сопряженными относительно a и b . Таким образом, критерий отношения деления заключается в том, что они должны быть аддитивными обратными .$${\displaystyle t(x)={\frac {xa}{xb}}.}$$${\displaystyle (c,d;a,b)={\tfrac {t(c)}{t(d)}}}$

Гармоническое деление отрезка прямой является частным случаем определения окружности Аполлонием .

В некоторых школьных предметах конфигурация гармонического ряда называется гармоническим делением .

Когда x является средней точкой отрезка от a до b , то По критерию перекрестного отношения гармонически сопряженной точкой x будет y при t ( y ) = 1. Но не существует конечного решения для y на прямой, проходящей через a и b . Тем не менее, таким образом мотивируя включение точки на бесконечности в проективную прямую. Эта точка на бесконечности служит гармонически сопряженной точкой средней точки x .$${\displaystyle t(x)={\frac {xa}{xb}}=-1.}$$$${\displaystyle \lim _{y\to \infty }t(y)=1,}$$

Другой подход к гармоническому сопряжению — через концепцию полного четырехугольника , такого как KLMN на диаграмме выше. Основываясь на четырех точках, полный четырехугольник имеет пары противоположных сторон и диагоналей. В выражении гармонических сопряжений HSM Coxeter диагонали считаются парой противоположных сторон:

D является гармонически сопряженным треугольником C относительно A и B , что означает, что существует четырехугольник IJKL, такой, что одна пара противоположных сторон пересекается в точке A , а вторая пара — в точке B , в то время как третья пара пересекает AB в точках C и D. ^[3 ]

Карл фон Штаудт первым использовал гармоническое сопряжение в качестве основы проективной геометрии независимо от метрических соображений:

...Штаудту удалось освободить проективную геометрию от элементарной геометрии. В своей работе Geometrie der Lage Штаудт ввел гармоническую четверку элементов независимо от концепции крестообразного отношения, следуя чисто проективному пути, используя полный четырехугольник или четырехугольник. ^[4]

Чтобы увидеть полный четырехугольник, применяемый для получения средней точки, рассмотрим следующий отрывок из книги Дж. У. Янга:

Если провести через A две произвольные прямые AQ, AS , а через B провести прямые BS, BQ параллельно AQ, AS соответственно, то прямые AQ, SB по определению пересекаются в точке R на бесконечности, в то время как AS, QB по определению пересекаются в точке P на бесконечности. Полный четырехугольник PQRS тогда имеет две диагональные точки в A и B , в то время как оставшаяся пара противоположных сторон проходит через M и точку на бесконечности на AB . Тогда точка M по построению является гармонически сопряженной точкой на бесконечности на AB относительно A и B. С другой стороны, то, что M является серединой отрезка AB, следует из известного предложения, что диагонали параллелограмма ( PQRS ) делят пополам друг друга. ^[5]

Четыре упорядоченные точки на проективном диапазоне называются гармоническими точками , когда на плоскости существует тетрастигм, такой, что первая и третья являются кодотами, а другие две точки находятся на коннекторах третьего кодота. ^[6]

Если p — точка, не лежащая на прямой с гармоническими точками, то соединения p с точками являются гармоническими прямыми . Аналогично, если ось пучка плоскостей наклонена к прямой с гармоническими точками, то плоскости на точках являются гармоническими плоскостями . ^[6]

Набор из четырех элементов в таком отношении называется гармонической четверкой . ^[7]

Коника в проективной плоскости — это кривая C , которая обладает следующим свойством: если P — точка, не лежащая на C , и если переменная прямая, проходящая через P, пересекает C в точках A и B , то переменная гармонически сопряженная P относительно A и B вычерчивает прямую. Точка P называется полюсом этой линии гармонически сопряженных точек, а эта линия называется полярной линией P относительно коники. Подробнее см. статью Полюс и поляра .

В случае, когда коника является окружностью, на расширенных диаметрах окружности гармонически сопряженные относительно окружности кривые являются обратными в окружности . Этот факт следует из одной из теорем Смогоржевского: ^[8]

Если окружности k и q взаимно ортогональны, то прямая, проходящая через центр k и пересекающая q , делает это в точках, симметричных относительно  k .

То есть, если линия является расширенным диаметром k , то пересечения с q являются гармонически сопряженными.

Рассмотрим в качестве кривой эллипс, заданный уравнением${\displaystyle С}$

${\displaystyle {\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}=1.}$

Пусть будет точкой вне эллипса и прямой линией, из которой проведена точка пересечения эллипса в точках и . Пусть имеет координаты . Затем возьмем точку на и внутри эллипса, которая делит отрезок в отношении к , т.е. ${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle L}$${\displaystyle P}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle А}$${\displaystyle (\xi ,\eta )}$${\displaystyle Q(x,y)}$${\displaystyle L}$${\displaystyle А}$${\displaystyle PQ}$${\displaystyle 1}$${\displaystyle \лямбда}$

${\displaystyle PA={\sqrt {(x_{0}-\xi)^{2}+(y_{0}-\eta)^{2}}}=1,\;\;\;AQ={ \sqrt {(x-\xi )^{2}+(y-\eta )^{2}}}=\lambda }$.

Вместо решения этих уравнений для и проще проверить путем подстановки, что следующие выражения являются решениями, т.е.${\displaystyle \xi}$${\displaystyle \эта}$

${\displaystyle (\xi ,\eta )={\bigg (}{\frac {\lambda x+x_{0}}{\lambda +1}},{\frac {\lambda y+y_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}.}$

Так как точка лежит на эллипсе , то имеем${\displaystyle А}$${\displaystyle С}$

${\displaystyle {\frac {1}{a^{2}}}{\bigg (}{\frac {\lambda x+x_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}^{2}+{\frac {1}{b^{2}}}{\bigg (}{\frac {\lambda y+y_{0}}{\lambda +1}}{\bigg )}^{2}=1,}$

или

${\displaystyle \lambda ^{2}{\bigg (}{\frac {x^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y^{2}}{b^{2}}}-1{\bigg )}+2\lambda {\bigg (}{\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}-1{\bigg )}+{\bigg (}{\frac {x_{0}^{2}}{a^{2}}}+{\frac {y_{0}^{2}}{b^{2}}}-1{\bigg )}=0.}$

Это уравнение - квадратичное по - называется уравнением Иоахимталя. Его два корня определяют положения и по отношению к и . Давайте свяжем с и с . Тогда различные отрезки прямой задаются как${\displaystyle \лямбда}$${\displaystyle \lambda _{1},\lambda _{2}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle P}$${\displaystyle Q}$${\displaystyle \лямбда _{1}}$${\displaystyle А}$${\displaystyle \лямбда _{2}}$${\displaystyle Б}$

${\displaystyle QA={\frac {1}{\lambda _{1}+1}}(xx_{0},yy_{0}),\;\;PA={\frac {\lambda _{1}}{\lambda _{1}+1}}(x_{0}-x,y_{0}-y)}$

и

${\displaystyle QB={\frac {1}{\lambda _{2}+1}}(x-x_{0},y-y_{0}),\;\;PB={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{2}+1}}(x_{0}-x,y_{0}-y).}$

Из этого следует, что

${\displaystyle {\frac {PB}{PA}}{\frac {QA}{QB}}={\frac {\lambda _{2}}{\lambda _{1}}}.}$

Когда это выражение равно , мы имеем${\displaystyle -1}$

${\displaystyle {\frac {QA}{PA}}=-{\frac {QB}{PB}}.}$

Таким образом, делит ``внутренне´´ в той же пропорции, что делит ``внешне´´. Выражение ${\displaystyle А}$${\displaystyle PQ}$${\displaystyle Б}$${\displaystyle PQ}$

${\displaystyle {\frac {PB}{PA}}{\frac {QA}{QB}}}$

со значением (что делает его самообратным) известно как гармоническое перекрестное отношение. При как выше, имеем и, следовательно, коэффициент в уравнении Иоахимталя исчезает, т.е.${\displaystyle -1}$${\displaystyle \lambda _{2}/\lambda _{1}=-1}$${\displaystyle \lambda _{1}+\lambda _{2}=0}$${\displaystyle \лямбда}$

${\displaystyle {\frac {xx_{0}}{a^{2}}}+{\frac {yy_{0}}{b^{2}}}-1=0.}$

Это уравнение прямой линии, называемой полярой (линией) точки (полюса) . Можно показать, что эта поляра является хордой касания касательных к эллипсу из . Если положить на эллипс ( ), то уравнение будет уравнением касательной в . Можно также показать, что директриса эллипса является полярой фокуса.${\displaystyle P(x_{0},y_{0})}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle P}$${\displaystyle \lambda _{1}=0,\lambda _{2}=0}$${\displaystyle P}$

В геометрии Галуа над полем Галуа GF( q ) прямая имеет q + 1 точек, где ∞ = (1,0) . В этой прямой четыре точки образуют гармоническую тетраду, когда две гармонически разделяют остальные. Условие

${\displaystyle (c,d;a,b)=-1,\ {\text{ equivalently }}\ \ 2(cd+ab)=(c+d)(a+b),}$

характеризует гармонические тетрады. Внимание к этим тетрадам привело Жана Дьедонне к его описанию некоторых случайных изоморфизмов проективных линейных групп PGL(2, q ) для q = 5, 7, 9 . ^[9]

Если q = 2 ⁿ и даны A и B , то гармоническое сопряжение C равно самому себе. ^[10]

Пусть P ₀ , P ₁ , P ₂ — три различные точки на вещественной проективной прямой. Рассмотрим бесконечную последовательность точек P _n , где P _n — гармонически сопряженная точка P _{n -3} относительно P _{n -1} , P _{n -2} для n > 2 . Эта последовательность сходится. ^[11]

Для конечного предела P имеем

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n+1}P}{P_{n}P}}=\Phi -2=-\Phi ^{-2}=-{\frac {3-{\sqrt {5}}}{2}},}$

где - золотое сечение , т.е. для больших n . Для бесконечного предела имеем${\displaystyle \Phi ={\tfrac {1}{2}}(1+{\sqrt {5}})}$${\displaystyle P_{n+1}P\approx -\Phi ^{-2}P_{n}P}$

${\displaystyle \lim _{n\to \infty }{\frac {P_{n+2}P_{n+1}}{P_{n+1}P_{n}}}=-1-\Phi =-\Phi ^{2}.}$

Для доказательства рассмотрим проективный изоморфизм

${\displaystyle f(z)={\frac {az+b}{cz+d}}}$

с

${\displaystyle f\left((-1)^{n}\Phi ^{2n}\right)=P_{n}.}$

• Хуан Карлос Альварес (2000) Проективная геометрия, см. Главу 2: Действительная проективная плоскость, раздел 3: Гармонические четверки и теорема фон Штаудта.
• Роберт Лахлан (1893) Элементарный трактат по современной чистой геометрии, ссылка из исторических математических монографий Корнелльского университета .
• Бертран Рассел (1903) Принципы математики , стр. 384.
• Рассел, Джон Уэлсли (1905). Чистая геометрия. Clarendon Press.