Уравнения Лондона

Статьи о
Электромагнетизм
Электричество Магнетизм Оптика История Вычислительный Учебники Феномены
Электростатика Плотность заряда Дирижер закон Кулона Электрет Электрический заряд Электрический диполь Электрическое поле Электрический поток Электрический потенциал Электростатический разряд Электростатическая индукция закон Гаусса Изолятор Диэлектрическая проницаемость Поляризация Потенциальная энергия Статическое электричество Трибоэлектричество
Магнитостатика Закон Ампера Закон Био–Савара Магнитный закон Гаусса Магнитный диполь Магнитное поле Магнитный поток Магнитный скалярный потенциал Магнитный векторный потенциал Намагничивание Проницаемость Правило правой руки
Электродинамика Тормозное излучение Циклотронное излучение Ток смещения Вихревой ток Electromagnetic field Electromagnetic induction Electromagnetic pulse Electromagnetic radiation Faraday law Jefimenko equations Larmor formula Lenz law Liénard–Wiechert potential London equations Lorentz force Maxwell equations Maxwell tensor Poynting vector Synchrotron radiation
Electrical network Alternating current Capacitance Current density Direct current Electric current Electric power Electrolysis Electromotive force Impedance Inductance Joule heating Kirchhoff laws Network analysis Ohm law Parallel circuit Resistance Resonant cavities Series circuit Voltage Watt Waveguides
Magnetic circuit AC motor DC motor Electric machine Electric motor Gyrator–capacitor Induction motor Linear motor Magnetomotive force Permeance Reluctance (complex) Reluctance (real) Rotor Stator Transformer
Covariant formulation Electromagnetic tensor Electromagnetism and special relativity Four-current Four-potential Mathematical descriptions Maxwell equations in curved spacetime Relativistic electromagnetism Stress–energy tensor
Scientists Ampère Biot Coulomb Davy Einstein Faraday Fizeau Gauss Heaviside Helmholtz Henry Hertz Hopkinson Jefimenko Joule Kelvin Kirchhoff Larmor Lenz Liénard Lorentz Maxwell Neumann Ohm Ørsted Poisson Poynting Ritchie Savart Singer Steinmetz Tesla Thomson Volta Weber Wiechert
v t e

Уравнения Лондонов, разработанные братьями Фрицем и Хайнцем Лондонами в 1935 году, ^[1] являются определяющими соотношениями для сверхпроводника, связывающими его сверхпроводящий ток с электромагнитными полями внутри и вокруг него. В то время как закон Ома является простейшим определяющим соотношением для обычного проводника , уравнения Лондонов являются простейшим содержательным описанием сверхпроводящих явлений и формируют генезис почти любого современного вводного текста по этому предмету. ^{[2] [3] [4]} Главным триумфом уравнений является их способность объяснять эффект Мейсснера , ^[5] при котором материал экспоненциально вытесняет все внутренние магнитные поля при пересечении порога сверхпроводимости.

Существуют два уравнения Лондонов, выраженные в терминах измеримых полей:

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} _{\rm {s}}}{\partial t}}={\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {E} ,\qquad \mathbf {\nabla } \times \mathbf {j} _{\rm {s}}=-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} .}$

Здесь — плотность (сверхпроводящего) тока , E и B — соответственно электрическое и магнитное поля внутри сверхпроводника, — заряд электрона или протона, — масса электрона, а — феноменологическая константа, слабо связанная с плотностью числа сверхпроводящих носителей. ^[6]${\displaystyle {\mathbf {j} }_{\rm {s}}}$${\displaystyle e\,}$${\displaystyle m\,}$${\displaystyle n_{\rm {s}}\,}$

Два уравнения можно объединить в одно «уравнение Лондона» ^{[6] [7]} в терминах конкретного векторного потенциала , калибровка которого привязана к «калибровке Лондона», что дает: ^[8]${\displaystyle \mathbf {A} _{\rm {s}}}$

${\displaystyle \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {A} _{\rm {s}}.}$

В лондонской калибровке векторный потенциал подчиняется следующим требованиям, что гарантирует его интерпретацию как плотности тока: ^[9]

• ${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {A} _{\rm {s}}=0,}$
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{\rm {s}}=0}$в объеме сверхпроводника,
• ${\displaystyle \mathbf {A} _{\rm {s}}\cdot {\hat {\mathbf {n} }}=0,}$где - нормальный вектор на поверхности сверхпроводника.${\displaystyle {\hat {\mathbf {n} }}}$

Первое требование, также известное как условие калибровки Кулона , приводит к постоянной плотности сверхпроводящих электронов , как и ожидалось из уравнения непрерывности. Второе требование согласуется с тем фактом, что сверхток течет вблизи поверхности. Третье требование гарантирует отсутствие накопления сверхпроводящих электронов на поверхности. Эти требования устраняют всю свободу калибровки и однозначно определяют векторный потенциал. Можно также записать уравнение Лондона в терминах произвольной калибровки ^[10], просто определив , где — скалярная функция, а — изменение калибровки, которое сдвигает произвольную калибровку к калибровке Лондона. Выражение векторного потенциала справедливо для магнитных полей, которые медленно меняются в пространстве. ^[4]${\displaystyle {\dot {\rho }}_{\rm {s}}=0}$ ${\displaystyle \mathbf {A} }$${\displaystyle \mathbf {A} _{\rm {s}}=(\mathbf {A} +\nabla \phi )}$${\displaystyle \phi }$${\displaystyle \nabla \phi }$

Если второе уравнение Лондона преобразовать, применив закон Ампера , ^[11]

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} }$,

тогда его можно преобразовать в уравнение Гельмгольца для магнитного поля:

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{\lambda _{\rm {s}}^{2}}}\mathbf {B} }$

где обратное собственное значение лапласиана :

${\displaystyle \lambda _{\rm {s}}\equiv {\sqrt {\frac {m}{\mu _{0}n_{\rm {s}}e^{2}}}}}$

— характерный масштаб длины , на котором внешние магнитные поля экспоненциально подавляются: он называется лондонской глубиной проникновения : типичные значения составляют от 50 до 500 нм .${\displaystyle \lambda _{\rm {s}}}$

Например, рассмотрим сверхпроводник в свободном пространстве, где магнитное поле снаружи сверхпроводника является постоянной величиной, направленной параллельно сверхпроводящей граничной плоскости в направлении z . Если x ведет перпендикулярно границе, то можно показать, что решение внутри сверхпроводника будет

${\displaystyle B_{z}(x)=B_{0}e^{-x/\lambda _{\rm {s}}}.\,}$

Отсюда, пожалуй, легче всего понять физический смысл глубины проникновения Лондона.

Хотя важно отметить, что приведенные выше уравнения не могут быть выведены формально, ^[12] Лондоны следовали определенной интуитивной логике при формулировании своей теории. Вещества в потрясающе широком диапазоне составов ведут себя примерно в соответствии с законом Ома , который гласит, что ток пропорционален электрическому полю. Однако такая линейная зависимость невозможна в сверхпроводнике, поскольку, почти по определению, электроны в сверхпроводнике текут без какого-либо сопротивления. С этой целью братья Лондоны представили себе электроны так, как если бы они были свободными электронами под воздействием однородного внешнего электрического поля. Согласно закону силы Лоренца

${\displaystyle \mathbf {F} =m{\dot {\mathbf {v} }}=-e\mathbf {E} -e\mathbf {v} \times \mathbf {B} }$

эти электроны должны столкнуться с однородной силой, и, таким образом, они должны фактически ускоряться равномерно. Предположим, что электроны в сверхпроводнике теперь движутся электрическим полем, тогда согласно определению плотности тока мы должны иметь${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}=-n_{\rm {s}}e\mathbf {v} _{\rm {s}}}$

${\displaystyle {\frac {\partial \mathbf {j} _{s}}{\partial t}}=-n_{\rm {s}}e{\frac {\partial \mathbf {v} }{\partial t}}={\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {E} }$

Это первое уравнение Лондона. Чтобы получить второе уравнение, возьмите ротор первого уравнения Лондона и примените закон Фарадея ,

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {E} =-{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}}$,

чтобы получить

${\displaystyle {\frac {\partial }{\partial t}}\left(\nabla \times \mathbf {j} _{\rm {s}}+{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} \right)=0.}$

В его нынешнем виде это уравнение допускает как постоянные, так и экспоненциально затухающие решения. Лондоны поняли из эффекта Мейсснера, что постоянные ненулевые решения нефизичны, и таким образом постулировали, что не только производная по времени вышеприведенного выражения равна нулю, но и что выражение в скобках должно быть тождественно равно нулю:

${\displaystyle \nabla \times \mathbf {j} _{\rm {s}}+{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} =0}$

Это приводит ко второму уравнению Лондона и (с точностью до калибровочного преобразования, которое фиксируется выбором «калибровки Лондона»), поскольку магнитное поле определяется через${\displaystyle \mathbf {j} _{s}=-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {A} _{\rm {s}}}$${\displaystyle B=\nabla \times A_{\rm {s}}.}$

Кроме того, согласно закону Ампера , можно вывести, что:${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} _{\rm {s}}}$${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=\nabla \times \mu _{0}\mathbf {j} _{\rm {s}}=-{\frac {\mu _{0}n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} .}$

С другой стороны, поскольку , то имеем , что приводит к тому, что пространственное распределение магнитного поля подчиняется :${\displaystyle \nabla \cdot \mathbf {B} =0}$${\displaystyle \nabla \times (\nabla \times \mathbf {B} )=-\nabla ^{2}\mathbf {B} }$

${\displaystyle \nabla ^{2}\mathbf {B} ={\frac {1}{\lambda _{\rm {s}}^{2}}}\mathbf {B} }$

с глубиной проникновения . В одном измерении такое уравнение Гельмгольца имеет вид решения${\displaystyle \lambda _{\rm {s}}={\sqrt {\frac {m}{\mu _{0}n_{\rm {s}}e^{2}}}}}$${\displaystyle B_{z}(x)=B_{0}e^{-x/\lambda _{\rm {s}}}.\,}$

Внутри сверхпроводника магнитное поле экспоненциально затухает, что хорошо объясняет эффект Мейсснера. С распределением магнитного поля мы можем снова использовать закон Ампера, чтобы увидеть, что сверхток также течет вблизи поверхности сверхпроводника, как и ожидалось из требования интерпретации как физического тока.${\displaystyle (x>0)}$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {B} =\mu _{0}\mathbf {j} _{\rm {s}}}$${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}}$${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}}$

Хотя приведенное выше обоснование справедливо для сверхпроводника, можно также рассуждать таким же образом для идеального проводника. Однако один важный факт, который отличает сверхпроводник от идеального проводника, заключается в том, что идеальный проводник не демонстрирует эффект Мейсснера для . Фактически, постулат не справедлив для идеального проводника. Вместо этого производная по времени должна быть сохранена и не может быть просто удалена. Это приводит к тому, что производная по времени поля (вместо поля) подчиняется:${\displaystyle T<T_{c}}$${\displaystyle \nabla \times \mathbf {j} _{\rm {s}}+{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {B} =0}$${\displaystyle \mathbf {B} }$${\displaystyle \mathbf {B} }$

${\displaystyle \nabla ^{2}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}={\frac {1}{\lambda _{\rm {s}}^{2}}}{\frac {\partial \mathbf {B} }{\partial t}}.}$

Для , глубоко внутри идеального проводника мы имеем , а не как сверхпроводник. Следовательно, исчезнет ли магнитный поток внутри идеального проводника, зависит от начального состояния (охлаждается ли он в нулевом поле или нет).${\displaystyle T<T_{c}}$${\displaystyle {\dot {\mathbf {B} }}=0}$${\displaystyle \mathbf {B} =0}$

Также возможно обосновать уравнения Лондонов другими способами. ^{[13] [14]} Плотность тока определяется согласно уравнению

${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}=-n_{\rm {s}}e\mathbf {v} _{\rm {s}}.}$

Переводя это выражение из классического описания в квантово-механическое, мы должны заменить значения и на ожидаемые значения их операторов. Оператор скорости${\displaystyle \mathbf {j} _{\rm {s}}}$${\displaystyle \mathbf {v} _{\rm {s}}}$

${\displaystyle \mathbf {v} _{\rm {s}}={\frac {1}{m}}\left(\mathbf {p} +e\mathbf {A} _{\rm {s}}\right)}$

определяется делением калибровочно-инвариантного кинематического оператора импульса на массу частицы m . ^[15] Обратите внимание, что мы используем в качестве заряда электрона. Затем мы можем сделать эту замену в уравнении выше. Однако важное предположение из микроскопической теории сверхпроводимости состоит в том, что сверхпроводящее состояние системы является основным состоянием, и согласно теореме Блоха ^[16] в таком состоянии канонический импульс p равен нулю. Это оставляет${\displaystyle -e}$

${\displaystyle \mathbf {j} =-{\frac {n_{\rm {s}}e^{2}}{m}}\mathbf {A} _{\rm {s}},}$

что является уравнением Лондона согласно второй формуле выше.