Элементарный симметричный многочлен

Эта статья включает список ссылок , связанных чтений или внешних ссылок , но ее источники остаются неясными, поскольку в ней отсутствуют встроенные цитаты . Пожалуйста, помогите улучшить эту статью, введя более точные цитаты. ( Январь 2017 ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В математике , в частности в коммутативной алгебре , элементарные симметрические многочлены являются одним из типов базовых строительных блоков для симметрических многочленов , в том смысле, что любой симметрический многочлен может быть выражен как многочлен от элементарных симметрических многочленов. То есть любой симметрический многочлен P задается выражением, включающим только сложения и умножения констант и элементарных симметрических многочленов. Существует один элементарный симметрический многочлен степени d от n переменных для каждого положительного целого числа d ≤ n , и он образован путем сложения всех различных произведений d различных переменных.

Элементарные симметрические многочлены от n переменных X ₁ , ..., X _n , обозначаемые как e _k ( X ₁ , ..., X _n ) для k = 1, ..., n , определяются как

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},\dots,X_{n})&=\sum _{1\leq j\leq n}X_{j} ,\\e_{2}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j<k\leq n}X_{j}X_{k} ,\\e_{3}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})&=\sum _{1\leq j<k<l\leq n}X_{j}X_{ k}X_{l},\\\end{aligned}}}$

и так далее, заканчивая

${\displaystyle e_{n}(X_{1},X_{2},\dots ,X_{n})=X_{1}X_{2}\cdots X_{n}.}$

В общем случае для k ≥ 0 определяем

${\displaystyle e_{k}(X_{1},\ldots ,X_{n})=\sum _{1\leq j_{1}<j_{2}<\cdots <j_{k}\leq n}X_{j_{1}}\dotsm X_{j_{k}},}$

так что e _k ( X ₁ , ..., X _n ) = 0, если k > n . (Иногда 1 = e ₀ ( X ₁ , ..., X _n ) включается в число элементарных симметричных многочленов, но его исключение обычно позволяет упростить формулировку результатов и свойств.)

Таким образом, для каждого положительного целого числа k, меньшего или равного n, существует ровно один элементарный симметрический многочлен степени k от n переменных. Чтобы сформировать тот, который имеет степень k , мы берем сумму всех произведений k -подмножеств n переменных. (Напротив, если выполнить ту же операцию с использованием мультимножеств переменных, то есть, взяв переменные с повторением, мы придем к полным однородным симметрическим многочленам .)

Если задано целочисленное разбиение (то есть конечная невозрастающая последовательность положительных целых чисел) λ = ( λ ₁ , ..., λ _m ) , то определяется симметрический многочлен e _λ ( X ₁ , ..., X _n ) , также называемый элементарным симметрическим многочленом, следующим образом:

${\displaystyle e_{\lambda }(X_{1},\dots ,X_{n})=e_{\lambda _{1}}(X_{1},\dots ,X_{n})\cdot e_{\lambda _{2}}(X_{1},\dots ,X_{n})\cdots e_{\lambda _{m}}(X_{1},\dots ,X_{n})}$.

Иногда вместо e _k используют обозначение σ _k .

Ниже приведен список n элементарных симметричных многочленов для первых четырех положительных значений  n .

Для n = 1 :

${\displaystyle e_{1}(X_{1})=X_{1}.}$

Для n = 2 :

${\displaystyle {\begin{align}e_{1}(X_{1},X_{2})&=X_{1}+X_{2},\\e_{2}(X_{1},X_{2})&=X_{1}X_{2}.\,\\\end{align}}}$

Для n = 3 :

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}+X_{2}+X_{3},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{2}X_{3},\\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3})&=X_{1}X_{2}X_{3}.\,\\\end{aligned}}}$

Для n = 4 :

${\displaystyle {\begin{aligned}e_{1}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}+X_{2}+X_{3}+X_{4},\\e_{2}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}+X_{1}X_{3}+X_{1}X_{4}+X_{2}X_{3}+X_{2}X_{4}+X_{3}X_{4}, \\e_{3}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}+X_{1}X_{2}X_{4}+X_{1}X_{3}X_{4}+X_{2}X_{3}X_{4},\\e_{4}(X_{1},X_{2},X_{3},X_{4})&=X_{1}X_{2}X_{3}X_{4}.\,\\\end{aligned}}}$

Элементарные симметричные многочлены появляются, когда мы разлагаем линейную факторизацию монического многочлена : мы имеем тождество

${\displaystyle \prod _{j=1}^{n}(\lambda -X_{j})=\lambda ^{n}-e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-1}+e_{2}(X_{1},\ldots ,X_{n})\lambda ^{n-2}+\cdots +(-1)^{n}e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}).}$

То есть, когда мы подставляем числовые значения вместо переменных X ₁ , X ₂ , ..., X _n , мы получаем монический одномерный многочлен (с переменной λ ), корни которого являются значениями, подставленными вместо X ₁ , X ₂ , ..., X _{n ,} а коэффициенты являются – с точностью до знака – элементарными симметричными многочленами. Эти соотношения между корнями и коэффициентами многочлена называются формулами Виета .

Характеристический многочлен квадратной матрицы является примером применения формул Виета. Корни этого многочлена являются собственными значениями матрицы . Подставляя эти собственные значения в элементарные симметрические многочлены, мы получаем — с точностью до знака — коэффициенты характеристического многочлена, которые являются инвариантами матрицы . В частности, след (сумма элементов диагонали) есть значение e ₁ , а значит, и сумма собственных значений. Аналогично, определитель — с точностью до знака — есть свободный член характеристического многочлена, т.е. значение e _n . Таким образом, определитель квадратной матрицы есть произведение собственных значений.

Набор элементарных симметрических многочленов от n переменных порождает кольцо симметрических многочленов от n переменных. Более конкретно, кольцо симметрических многочленов с целыми коэффициентами равно кольцу целочисленных многочленов [ e 1 ₍ X 1 _, ..., X _n ), ..., e _n ( X ₁ , ..., X _n )] . (См. ниже более общее утверждение и доказательство .) Этот факт является одним из оснований теории инвариантов . Для другой системы симметрических многочленов с тем же свойством см. Полные однородные симметрические многочлены , а для системы с похожим, но немного более слабым свойством см. Симметричный многочлен степенной суммы . ${\displaystyle \mathbb {Z} }$

Для любого коммутативного кольца A обозначим кольцо симметрических многочленов от переменных X ₁ , ..., X _n с коэффициентами в A через A [ X ₁ , ..., X _n ] ^{S _n} . Это кольцо многочленов от n элементарных симметрических многочленов e _k ( X ₁ , ..., X _n ) для k = 1, ..., n .

Это означает, что каждый симметричный многочлен P ( X ₁ , ..., X _n ) ∈ A [ X ₁ , ..., X _n ] ^{S _n} имеет единственное представление

${\displaystyle P(X_{1},\ldots ,X_{n})=Q{\big (}e_{1}(X_{1},\ldots ,X_{n}),\ldots ,e_{n}(X_{1},\ldots ,X_{n}){\big )}}$

для некоторого полинома Q ∈ A [ Y ₁ , ..., Y _n ] . Другими словами, гомоморфизм колец , который переводит Y _k в e _k ( X ₁ , ..., X _n ) для k = 1, ..., n , определяет изоморфизм между A [ Y ₁ , ..., Y _n ] и A [ X ₁ , ..., X _n ] ^{S _n} .

Теорема может быть доказана для симметричных однородных многочленов двойной индукцией по числу переменных n и, при фиксированном n , по степени однородного многочлена. Общий случай затем следует путем разбиения произвольного симметричного многочлена на его однородные компоненты (которые снова симметричны).

В случае n = 1 результат тривиален, поскольку каждый многочлен от одной переменной автоматически симметричен.

Предположим теперь, что теорема доказана для всех многочленов от m < n переменных и всех симметричных многочленов от n переменных со степенью < d . Каждый однородный симметричный многочлен P из A [ X ₁ , ..., X _n ] ^{S _n} можно разложить в сумму однородных симметричных многочленов

${\displaystyle P(X_{1},\ldots ,X_{n})=P_{\text{лакунарный}}(X_{1},\ldots ,X_{n})+X_{1}\cdots X_{n}\cdot Q(X_{1},\ldots ,X_{n}).}$

Здесь «лакунарная часть» P _{лакунарной} определяется как сумма всех одночленов в P , которые содержат только собственное подмножество n переменных X ₁ , ..., X _n , т.е. где отсутствует по крайней мере одна переменная X _{j .}

Поскольку P симметричен, лакунарная часть определяется его членами, содержащими только переменные X ₁ , ..., X _{n − 1} , т. е. которые не содержат X _n . Точнее: если A и B — два однородных симметричных многочлена от X ₁ , ..., X _{n ,} имеющих одинаковую степень, и если коэффициент A перед каждым одночленом, содержащим только переменные X ₁ , ..., X _{n − 1 ,} равен соответствующему коэффициенту B , то A и B имеют равные лакунарные части. (Это потому, что каждый одночлен, который может появиться в лакунарной части, должен не содержать по крайней мере одну переменную, и, таким образом, может быть преобразован перестановкой переменных в одночлен, содержащий только переменные X ₁ , ..., X _{n − 1} .)

Но члены P , которые содержат только переменные X ₁ , ..., X _{n − 1 ,} являются как раз теми членами, которые выдерживают операцию установки X _n в 0, поэтому их сумма равна P ( X ₁ , ..., X _{n − 1} , 0) , который является симметричным многочленом от переменных X ₁ , ..., X _{n − 1} , который мы обозначим через P̃ ( X ₁ , ..., X _{n − 1} ) . По индуктивному предположению этот многочлен можно записать как

${\displaystyle {\tilde {P}}(X_{1},\ldots ,X_{n-1})={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n-1},\ldots ,\sigma _{n-1,n-1})}$

для некоторого Q̃ . Здесь дважды индексированные σ _{j , n − 1} обозначают элементарные симметричные многочлены от n − 1 переменных.

Рассмотрим теперь многочлен

${\displaystyle R(X_{1},\ldots ,X_{n}):={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n},\ldots ,\sigma _{n-1,n}).}$

Тогда R ( X ₁ , ..., X _n ) является симметричным многочленом от X ₁ , ..., X _n той же степени, что и _{лакунарный} P , который удовлетворяет условию

${\displaystyle R(X_{1},\ldots ,X_{n-1},0)={\tilde {Q}}(\sigma _{1,n-1},\ldots ,\sigma _{n-1,n-1})=P(X_{1},\ldots ,X_{n-1},0)}$

(первое равенство выполняется, поскольку приравнивание X _n к 0 в σ _{j , n} дает σ _{j , n − 1} , для всех j < n ). Другими словами, коэффициент R перед каждым одночленом, который содержит только переменные X ₁ , ..., X _{n − 1 ,} равен соответствующему коэффициенту P . Как мы знаем, это показывает, что лакунарная часть R совпадает с таковой исходного многочлена P . Следовательно, разность P − R не имеет лакунарной части и, следовательно, делится на произведение X ₁ ··· X _n всех переменных, что равно элементарному симметрическому многочлену σ _{n , n} . Тогда, записывая P − R = σ _{n , n} Q , частное Q является однородным симметрическим многочленом степени, меньшей d (на самом деле степени, не превышающей d − n ), который по индуктивному предположению может быть выражен как многочлен от элементарных симметрических функций. Объединяя представления для P − R и R, можно найти полиномиальное представление для P .

Единственность представления может быть доказана индуктивно аналогичным образом. (Это эквивалентно тому, что n многочленов e ₁ , ..., e _n алгебраически независимы над кольцом A .) Тот факт, что многочленное представление единственно, означает, что A [ X ₁ , ..., X _n ] ^{S _n} изоморфно A [ Y ₁ , ..., Y _n ] .

Следующее доказательство также является индуктивным, но не задействует другие многочлены, кроме симметричных относительно X ₁ , ..., X _n , и также приводит к довольно прямой процедуре эффективной записи симметричного многочлена как многочлена от элементарных симметричных. Предположим, что симметричный многочлен однороден степени d ; различные однородные компоненты могут быть разложены по отдельности. Упорядочим одночлены от переменных X _i лексикографически , где отдельные переменные упорядочены X ₁ > ... > X _n , другими словами, доминирующим членом многочлена является тот, у которого наивысшая встречающаяся степень X ₁ , а среди них тот, у которого наивысшая степень X ₂ , и т. д. Кроме того, параметризуем все произведения элементарных симметричных многочленов, которые имеют степень d ( они фактически однородны), следующим образом с помощью разбиений d . Упорядочим отдельные элементарные симметричные многочлены e _i ( X ₁ , ..., X _n ) в произведении так, чтобы те, у которых индексы i были больше, оказались первыми, затем построим для каждого такого множителя столбец из i ячеек и расположим эти столбцы слева направо, чтобы сформировать диаграмму Юнга, содержащую всего d ячеек. Форма этой диаграммы представляет собой разбиение d , и каждое разбиение λ из d возникает ровно для одного произведения элементарных симметричных многочленов, которое мы обозначим как e _{λ ^t}  ( X ₁ , ..., X _n ) ( t присутствует только потому, что традиционно это произведение связано с транспонированным разбиением λ ). Существенным ингредиентом доказательства является следующее простое свойство, которое использует многоиндексную нотацию для мономов от переменных X _i .

Лемма . Главный член e _{λ ^t}  ( X ₁ , ..., X _n ) равен X ^λ .

Доказательство . Главный член произведения является произведением главных членов каждого множителя (это верно всякий раз, когда используется порядок монома , как лексикографический порядок, используемый здесь), и главный член множителя e _i  ( X ₁ , ..., X _n ) очевидно равен X ₁ X ₂ ··· X _i . Чтобы подсчитать вхождения отдельных переменных в результирующий моном, заполните столбец диаграммы Юнга, соответствующий рассматриваемому множителю, числами 1, ..., i переменных, затем все ячейки в первой строке содержат 1, во второй строке — 2 и т. д., что означает, что главный член равен X  ^λ .

Теперь доказывается индукцией по ведущему моному в лексикографическом порядке, что любой ненулевой однородный симметрический многочлен P степени d может быть записан как многочлен от элементарных симметрических многочленов. Поскольку P симметричен, его ведущий моном имеет слабо убывающие показатели, поэтому он является некоторым X ^λ с λ разбиением d . Пусть коэффициент этого члена равен c , тогда P − ce _{λ ^t}  ( X ₁ , ..., X _n ) является либо нулем, либо симметрическим многочленом со строго меньшим ведущим мономом. Записывая эту разность индуктивно как многочлен от элементарных симметрических многочленов и добавляя к ней ce _{λ ^t}  ( X ₁ , ..., X _n ) , получаем искомое полиномиальное выражение для P .

Тот факт, что это выражение уникально, или, что эквивалентно, что все произведения (мономы) e _{λ ^t}  ( X ₁ , ..., X _n ) элементарных симметричных многочленов линейно независимы, также легко доказывается. Лемма показывает, что все эти произведения имеют различные ведущие мономы, и этого достаточно: если бы нетривиальная линейная комбинация e λ _{t ⁽}  X 1 _, ..., X _n ) была нулевой, мы сосредоточились бы на вкладе в линейной комбинации с ненулевым коэффициентом и с (как полином от переменных X _i ) наибольшим ведущим мономом; ведущий член этого вклада не может быть отменен никаким другим вкладом линейной комбинации, что дает противоречие.

• Симметричный многочлен
• Полный однородный симметричный многочлен
• полином Шура
• Тождества Ньютона
• Неравенства Ньютона
• Неравенство Маклорена
• Теорема мастера Мак-Магона
• Симметричная функция
• Теория представления

• Macdonald, IG (1995). Симметричные функции и многочлены Холла (2-е изд.). Oxford: Clarendon Press. ISBN 0-19-850450-0.
• Стэнли, Ричард П. (1999). Перечислительная комбинаторика, т. 2. Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 0-521-56069-1.

• Трифонов, Мартин (5 марта 2024 г.). Прелюдия к теории Галуа: исследование симметричных многочленов (видео). YouTube . Получено 26.03.2024 .