Линдбладиан

В квантовой механике уравнение Горини –Коссаковского–Сударшана–Линдблада ( уравнение GKSL , названное в честь Витторио Горини, Анджея Коссаковского , Джорджа Сударшана и Йорана Линдблада ), основное уравнение в форме Линдблада , квантовый лиувиллиан или линдбладиан является одной из общих форм марковских основных уравнений, описывающих открытые квантовые системы. Оно обобщает уравнение Шредингера на открытые квантовые системы; то есть системы, находящиеся в контакте с их окружением. Результирующая динамика больше не является унитарной, но по-прежнему удовлетворяет свойству сохранения следа и полной положительности для любого начального условия. ^[1]

Уравнение Шредингера или, на самом деле, уравнение фон Неймана является частным случаем уравнения GKSL, что привело к некоторым предположениям о том, что квантовая механика может быть продуктивно расширена и расширена посредством дальнейшего применения и анализа уравнения Линдблада. ^[2] Уравнение Шредингера имеет дело с векторами состояния , которые могут описывать только чистые квантовые состояния и, таким образом, являются менее общими, чем матрицы плотности , которые могут описывать также и смешанные состояния .

В канонической формулировке квантовой механики эволюция системы во времени управляется унитарной динамикой. Это подразумевает, что нет распада и фазовая когерентность сохраняется на протяжении всего процесса, и является следствием того факта, что все участвующие степени свободы рассматриваются. Однако любая реальная физическая система не является абсолютно изолированной и будет взаимодействовать со своей средой. Это взаимодействие со степенями свободы, внешними по отношению к системе, приводит к рассеиванию энергии в окружающую среду, вызывая распад и рандомизацию фазы. Более того, понимание взаимодействия квантовой системы с ее средой необходимо для понимания многих обычно наблюдаемых явлений, таких как спонтанное излучение света возбужденными атомами или производительность многих квантовых технологических устройств, таких как лазер.

Были введены некоторые математические методы для обработки взаимодействия квантовой системы с ее окружением. Одним из них является использование матрицы плотности и связанного с ней основного уравнения. Хотя в принципе этот подход к решению квантовой динамики эквивалентен картине Шредингера или картине Гейзенберга , он позволяет легче включать некогерентные процессы, которые представляют взаимодействия с окружающей средой. Оператор плотности обладает тем свойством, что он может представлять классическую смесь квантовых состояний, и, таким образом, жизненно важен для точного описания динамики так называемых открытых квантовых систем.

Основное уравнение Линдблада для матрицы плотности системы ρ можно записать как ^[1] ​​(для педагогического введения вы можете обратиться к ^[3] )

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{i}^{}\gamma _{i}\left(L_{i}\rho L_{i}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},\rho \right\}\right)}$

где находится антикоммутатор .${\displaystyle \{a,b\}=ab+ba}$

${\displaystyle H}$— гамильтониан системы , описывающий унитарные аспекты динамики.

${\displaystyle \{L_{i}\}_{i}}$представляют собой набор операторов скачков , описывающих диссипативную часть динамики. Форма операторов скачков описывает, как окружающая среда действует на систему, и должна быть либо определена из микроскопических моделей динамики система-окружающая среда, либо феноменологически смоделирована .

${\displaystyle \gamma _{i}\geq 0}$представляют собой набор неотрицательных действительных коэффициентов, называемых коэффициентами затухания . Если все они восстанавливают уравнение фон Неймана , описывающее унитарную динамику, которое является квантовым аналогом классического уравнения Лиувилля .${\displaystyle \гамма _{i}=0}$${\displaystyle {\dot {\rho }}=-(i/\hbar )[H,\rho ]}$

Все уравнение можно записать в супероператорной форме : что напоминает классическое уравнение Лиувилля . По этой причине супероператор называется линдбладовым супероператором или лиувиллевским супероператором . ^[3]$${\displaystyle {\dot {\rho }}={\mathcal {L}}(\rho )}$$ ${\displaystyle {\dot {\rho }}=\{H,\rho \}}$${\displaystyle {\mathcal {L}}}$

В более общем виде уравнение GKSL имеет вид

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{n,m}h_{nm}\left(A_{n}\rho A_{m}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{A_{m}^{\dagger }A_{n},\rho \right\}\right)}$

где - произвольные операторы, а h - положительно полуопределенная матрица. Последнее является строгим требованием для обеспечения сохранения следов и полной положительности динамики. Количество операторов произвольно, и они не должны удовлетворять каким-либо специальным свойствам. Но если система -мерна , можно показать ^[1] , что основное уравнение может быть полностью описано набором операторов, при условии, что они образуют базис для пространства операторов. ${\displaystyle \{A_{м}\}}$${\displaystyle A_{m}}$${\displaystyle N}$${\displaystyle N^{2}-1}$

Общая форма на самом деле не является более общей и может быть сведена к специальной форме. Поскольку матрица h является положительно полуопределенной, ее можно диагонализировать с помощью унитарного преобразования u :

${\displaystyle u^{\dagger }hu={\begin{bmatrix}\gamma _{1}&0&\cdots &0\\0&\gamma _{2}&\cdots &0\\\vdots &\vdots &\ddots &\vdots \\0&0&\cdots &\gamma _{N^{2}-1}\end{bmatrix}}}$

где собственные значения γ _i неотрицательны. Если мы определим другой ортонормированный операторный базис

${\displaystyle L_{i}=\sum _{j}u_{ji}A_{j}}$

Это сводит основное уравнение к той же форме, что и раньше:$${\displaystyle {\dot {\rho }}=-{i \over \hbar }[H,\rho ]+\sum _{i}^{}\gamma _{i}\left(L_{i}\rho L_{i}^{\dagger }-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},\rho \right\}\right)}$$

Карты, генерируемые линдбладианом для различных времен, в совокупности называются квантовой динамической полугруппой — семейством квантовых динамических карт на пространстве матриц плотности , индексированных одним временным параметром , которые подчиняются свойству полугруппы${\displaystyle \phi _{t}}$${\displaystyle t\geq 0}$

${\displaystyle \phi _{s}(\phi _{t}(\rho ))=\phi _{t+s}(\rho ),\qquad t,s\geq 0.}$

Уравнение Линдблада можно получить следующим образом:

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\rho )=\mathrm {lim} _{\Delta t\to 0}{\frac {\phi _{\Delta t}(\rho )-\phi _{0}(\rho )}{\Delta t}}}$

который, в силу линейности , является линейным супероператором. Полугруппа может быть восстановлена ​​как${\displaystyle \phi _{t}}$

${\displaystyle \phi _{t+s}(\rho )=e^{{\mathcal {L}}s}\phi _{t}(\rho ).}$

Уравнение Линдблада инвариантно относительно любого унитарного преобразования v операторов Линдблада и констант,

${\displaystyle {\sqrt {\gamma _{i}}}L_{i}\to {\sqrt {\gamma _{i}'}}L_{i}'=\sum _{j}v_{ij}{\sqrt {\gamma _{j}}}L_{j},}$

а также при неоднородном преобразовании

${\displaystyle L_{i}\to L_{i}'=L_{i}+a_{i}I,}$

${\displaystyle H\to H'=H+{\frac {1}{2i}}\sum _{j}\gamma _{j}\left(a_{j}^{*}L_{j}-a_{j}L_{j}^{\dagger }\right)+bI,}$

где a _i — комплексные числа, а b — действительное число. Однако первое преобразование разрушает ортонормированность операторов L _i (если только все γ _i не равны), а второе преобразование разрушает бесследовость. Поэтому, с точностью до вырождений среди γ _i , L _i диагональной формы уравнения Линдблада однозначно определяются динамикой, пока мы требуем, чтобы они были ортонормированными и бесследовыми.

Эволюция матрицы плотности типа Линдблада в картине Шредингера может быть эквивалентно описана в картине Гейзенберга с использованием следующего (диагонализованного) уравнения движения ^[4] для каждой квантовой наблюдаемой X :

${\displaystyle {\dot {X}}={\frac {i}{\hbar }}[H,X]+\sum _{i}\gamma _{i}\left(L_{i}^{\dagger }XL_{i}-{\frac {1}{2}}\left\{L_{i}^{\dagger }L_{i},X\right\}\right).}$

Аналогичное уравнение описывает эволюцию во времени ожидаемых значений наблюдаемых, заданных теоремой Эренфеста . В соответствии со свойством сохранения следа уравнения картины Шредингера Линдблада, уравнение картины Гейзенберга является унитарным , т.е. оно сохраняет оператор тождества.

Основное уравнение Линдблада описывает эволюцию различных типов открытых квантовых систем, например, системы, слабо связанной с марковским резервуаром. ^[1] Обратите внимание, что H, появляющийся в уравнении, не обязательно равен чистому гамильтониану системы, но может также включать эффективную унитарную динамику, возникающую из взаимодействия системы и окружающей среды.

Эвристический вывод, например , в заметках Прескилла ^[5] начинается с более общей формы открытой квантовой системы и преобразует ее в форму Линдблада, делая марковское предположение и расширяясь за малое время. Более физически мотивированное стандартное рассмотрение [ ^{6] [7]} охватывает три общих типа выводов линдбладиана, начиная с гамильтониана, действующего как на систему, так и на окружающую среду: предел слабой связи (подробно описанный ниже), приближение низкой плотности и предел сингулярной связи. Каждый из них опирается на определенные физические предположения относительно, например, корреляционных функций окружающей среды. Например, при выводе предела слабой связи обычно предполагается, что (a) корреляции системы с окружающей средой развиваются медленно, (b) возбуждения окружающей среды, вызванные системой, быстро затухают и (c) члены, которые являются быстро осциллирующими по сравнению с интересующей системной шкалой времени, могут быть проигнорированы. Эти три приближения называются борновскими, марковскими и вращающимися волнами соответственно. ^[8]

Вывод предела слабой связи предполагает квантовую систему с конечным числом степеней свободы, связанную с ванной, содержащей бесконечное число степеней свободы. Система и ванна обладают гамильтонианом, записанным в терминах операторов, действующих только на соответствующее подпространство полного гильбертова пространства. Эти гамильтонианы управляют внутренней динамикой несвязанной системы и ванны. Существует третий гамильтониан, который содержит произведения операторов системы и ванны, таким образом связывая систему и ванну. Наиболее общая форма этого гамильтониана:

${\displaystyle H=H_{S}+H_{B}+H_{BS}\,}$

Динамика всей системы может быть описана уравнением движения Лиувилля, . Это уравнение, содержащее бесконечное число степеней свободы, невозможно решить аналитически, за исключением очень частных случаев. Более того, при определенных приближениях нет необходимости учитывать степени свободы ванны, и эффективное основное уравнение может быть выведено в терминах матрицы плотности системы, . Проблему можно проанализировать более легко, перейдя к картине взаимодействия, определяемой унитарным преобразованием , где — произвольный оператор, а . Также следует отметить, что — полный унитарный оператор всей системы. Несложно подтвердить, что уравнение Лиувилля становится${\displaystyle {\dot {\chi }}=-i[H,\chi ]}$${\displaystyle \rho =\operatorname {tr} _{B}\chi }$${\displaystyle {\tilde {M}}=U_{0}MU_{0}^{\dagger }}$${\displaystyle M}$${\displaystyle U_{0}=e^{i(H_{S}+H_{B})t}}$${\displaystyle U(t,t_{0})}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\chi }}}=-i[{\tilde {H}}_{BS},{\tilde {\chi }}]\,}$

где гамильтониан явно зависит от времени. Также, согласно картине взаимодействия, , где . Это уравнение можно интегрировать напрямую, чтобы получить${\displaystyle {\tilde {H}}_{BS}=e^{i(H_{S}+H_{B})t}H_{BS}e^{-i(H_{S}+H_{B})t}}$${\displaystyle {\tilde {\chi }}=U_{BS}(t,t_{0})\chi U_{BS}^{\dagger }(t,t_{0})}$${\displaystyle U_{BS}=U_{0}^{\dagger }U(t,t_{0})}$

${\displaystyle {\tilde {\chi }}(t)={\tilde {\chi }}(0)-i\int _{0}^{t}dt'[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]}$

Это неявное уравнение для можно подставить обратно в уравнение Лиувилля, чтобы получить точное дифференциально-интегральное уравнение${\displaystyle {\tilde {\chi }}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\chi }}}=-i[{\tilde {H}}_{BS}(t),{\tilde {\chi }}(0)]-\int _{0}^{t}dt'[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]]}$

Продолжаем вывод, предполагая, что взаимодействие инициируется в , и в это время нет корреляций между системой и ванной. Это подразумевает, что начальное условие факторизуемо как , где — оператор плотности ванны изначально.${\displaystyle t=0}$${\displaystyle \chi (0)=\rho (0)R_{0}}$${\displaystyle R_{0}}$

Прослеживая по степеням свободы ванны, вышеупомянутого дифференциально-интегрального уравнения, получаем${\displaystyle \operatorname {tr} _{R}{\tilde {\chi }}={\tilde {\rho }}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\chi }}(t')]]\}}$

Это уравнение является точным для динамики времени матрицы плотности системы, но требует полного знания динамики степеней свободы ванны. Упрощающее предположение, называемое приближением Борна, основывается на величине ванны и относительной слабости связи, то есть связь системы с ванной не должна существенно изменять собственные состояния ванны. В этом случае полная матрица плотности факторизуема для всех времен как . Основное уравнение становится${\displaystyle {\tilde {\chi }}(t)={\tilde {\rho }}(t)R_{0}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\rho }}(t')R_{0}]]\}}$

Уравнение теперь явно в степенях свободы системы, но его очень трудно решить. Окончательное предположение — это приближение Борна-Маркова, что производная по времени матрицы плотности зависит только от ее текущего состояния, а не от ее прошлого. Это предположение справедливо при быстрой динамике ванны, когда корреляции внутри ванны теряются чрезвычайно быстро, и равносильно замене в правой части уравнения.${\displaystyle \rho (t')\rightarrow \rho (t)}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {H}}_{BS}(t),[{\tilde {H}}_{BS}(t'),{\tilde {\rho }}(t)R_{0}]]\}}$

Если предположить, что гамильтониан взаимодействия имеет вид

${\displaystyle H_{BS}=\sum _{i}\alpha _{i}\Gamma _{i}}$

для системных операторов и операторов ванны тогда . Основное уравнение становится${\displaystyle \alpha _{i}}$${\displaystyle \Gamma _{i}}$${\displaystyle {\tilde {H}}_{BS}=\sum _{i}{\tilde {\alpha }}_{i}{\tilde {\Gamma }}_{i}}$

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\sum _{i,j}\int _{0}^{t}dt'\operatorname {tr} _{R}\{[{\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\Gamma }}_{i}(t),[{\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\Gamma }}_{j}(t'),{\tilde {\rho }}(t)R_{0}]]\}}$

который может быть расширен как

${\displaystyle {\dot {\tilde {\rho }}}=-\sum _{i,j}\int _{0}^{t}dt'\left[\left({\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\rho }}(t)-{\tilde {\alpha }}_{i}(t){\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t')\right)\langle {\tilde {\Gamma }}_{i}(t){\tilde {\Gamma }}_{j}(t')\rangle +\left({\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\alpha }}_{i}(t)-{\tilde {\alpha }}_{j}(t'){\tilde {\rho }}(t){\tilde {\alpha }}_{i}(t)\right)\langle {\tilde {\Gamma }}_{j}(t'){\tilde {\Gamma }}_{i}(t)\rangle \right]}$

Ожидаемые значения относятся к степеням свободы ванны. Предполагая быстрое затухание этих корреляций (в идеале ), достигается указанная выше форма супероператора Линдблада L.${\displaystyle \langle \Gamma _{i}\Gamma _{j}\rangle =\operatorname {tr} \{\Gamma _{i}\Gamma _{j}R_{0}\}}$${\displaystyle \langle \Gamma _{i}(t)\Gamma _{j}(t')\rangle \propto \delta (t-t')}$

В простейшем случае есть только один оператор скачка и нет унитарной эволюции. В этом случае уравнение Линдблада имеет вид${\displaystyle F}$

${\displaystyle {\mathcal {L}}(\rho )={F\rho F^{\dagger }}-{\frac {1}{2}}\left(F^{\dagger }F\rho +\rho F^{\dagger }F\right)}$

Этот случай часто используется в квантовой оптике для моделирования поглощения или испускания фотонов из резервуара.

Для моделирования как поглощения, так и испускания, для каждого из них понадобится оператор скачка. Это приводит к наиболее общему уравнению Линдблада, описывающему затухание квантового гармонического осциллятора (представляющего, например, полость Фабри–Перо ), связанного с термальной ванной , с операторами скачка:

${\displaystyle {\begin{aligned}F_{1}&=a,&\gamma _{1}&={\tfrac {\gamma }{2}}\left({\overline {n}}+1\right),\\F_{2}&=a^{\dagger },&\gamma _{2}&={\tfrac {\gamma }{2}}{\overline {n}}.\end{aligned}}}$

Здесь — среднее число возбуждений в резервуаре, демпфирующих осциллятор, а γ — скорость затухания.${\displaystyle {\overline {n}}}$

Чтобы смоделировать гамильтониан квантового гармонического осциллятора с частотой фотонов, мы можем добавить еще одну унитарную эволюцию:${\displaystyle \omega _{c}}$

${\displaystyle {\dot {\rho }}=-i[\omega _{c}a^{\dagger }a,\rho ]+\gamma _{1}{\mathcal {D}}[F_{1}](\rho )+\gamma _{2}{\mathcal {D}}[F_{2}](\rho ).}$

Дополнительные операторы Линдблада могут быть включены для моделирования различных форм дефазировки и колебательной релаксации. Эти методы были включены в методы распространения матрицы плотности на основе сетки.

• Основное квантовое уравнение
• Уравнение Редфилда
• Открытая квантовая система
• Метод квантового скачка
• Теорема Сохоцкого–Племеля § Функция Гайтлера

• Chruściński, Dariusz; Pascazio, Saverio (2017). "Краткая история уравнения GKLS". Open Systems & Information Dynamics . 24 (3). arXiv : 1710.05993 . Bibcode :2017OSID...2440001C. doi :10.1142/S1230161217400017. S2CID  90357.
• Коссаковский, А. (1972). "О квантовой статистической механике негамильтоновых систем". Rep. Math. Phys . 3 (4): 247. Bibcode :1972RpMP....3..247K. doi :10.1016/0034-4877(72)90010-9.
• Белавин, А.А.; Зельдович, Б.Я.; Переломов, А.М.; Попов, В.С. (1969). "Релаксация квантовых систем с эквидистантными спектрами". ЖЭТФ . 29 : 145. Bibcode :1969JETP...29..145B.
• Линдблад, Г. (1976). "О генераторах квантовых динамических полугрупп". Commun. Math. Phys . 48 (2): 119. Bibcode :1976CMaPh..48..119L. doi :10.1007/BF01608499. S2CID  55220796.
• Gorini, V.; Kossakowski, A.; Sudarshan, ECG (1976). "Полностью положительные динамические полугруппы систем N-го уровня". J. Math. Phys . 17 (5): 821. Bibcode :1976JMP....17..821G. doi :10.1063/1.522979.
• Banks, T.; Susskind, L.; Peskin, ME (1984). «Трудности эволюции чистых состояний в смешанные состояния». Nuclear Physics B. 244 ( 1): 125–134. Bibcode : 1984NuPhB.244..125B. doi : 10.1016/0550-3213(84)90184-6. OSTI  1447054.
• Аккарди, Луиджи; Лу, Юн Ган; Волович, ИВ (2002). Квантовая теория и ее стохастический предел . Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 978-3-5404-1928-0.
• Alicki, Robert (2002). "Приглашение в квантовые динамические полугруппы". Динамика диссипации . Конспект лекций по физике. 597 : 239. arXiv : quant-ph/0205188 . Bibcode : 2002LNP...597..239A. doi : 10.1007/3-540-46122-1_10. ISBN 978-3-540-44111-3. S2CID  118089738.
• Алики, Роберт; Ленди, Карл (1987). Квантовые динамические полугруппы и их приложения . Берлин: Springer Verlag. ISBN 978-0-3871-8276-6.
• Атталь, Стефан; Джой, Ален; Пийе, Клод-Ален (2006). Открытые квантовые системы II: Марковский подход . Спрингер. ISBN 978-3-5403-0992-5.
• Гардинер, CW; Золлер, Питер (2010). Квантовый шум . Серия Спрингера по синергетике (3-е изд.). Берлин Гейдельберг: Springer-Verlag. ISBN 978-3-642-06094-6.
• Ингарден, Роман С.; Коссаковски, А.; Ойя, М. (1997). Информационная динамика и открытые системы: классический и квантовый подход . Нью-Йорк: Springer Verlag. ISBN 978-0-7923-4473-5.

• Тарасов, Василий Е. (2008). Квантовая механика негамильтоновых и диссипативных систем . Амстердам, Бостон, Лондон, Нью-Йорк: Elsevier Science. ISBN 978-0-0805-5971-1.
• Pearle, P. (2012). "Простой вывод уравнения Линдблада". European Journal of Physics , 33 (4), 805.

• Набор инструментов квантовой оптики для Matlab
• mcsolve Решатель квантового скачка (Монте-Карло) от QuTiP.
• QuantumOptics.jl — набор инструментов квантовой оптики в Julia.
• Основное уравнение Линдблада