Квантовая операция

В квантовой механике квантовая операция (также известная как квантовое динамическое отображение или квантовый процесс ) — это математический формализм, используемый для описания широкого класса преобразований, которые может претерпевать квантово-механическая система. Впервые это было рассмотрено как общее стохастическое преобразование для матрицы плотности Джорджем Сударшаном . ^[1] Формализм квантовой операции описывает не только унитарную временную эволюцию или преобразования симметрии изолированных систем, но также эффекты измерения и переходных взаимодействий с окружающей средой. В контексте квантовых вычислений квантовая операция называется квантовым каналом .

Обратите внимание, что некоторые авторы используют термин «квантовая операция» для обозначения полностью положительных (CP) и не увеличивающих след отображений на пространстве матриц плотности, а термин « квантовый канал » — для обозначения подмножества тех, которые строго сохраняют след. ^[2]

Квантовые операции формулируются в терминах описания операторов плотности квантово-механической системы. Строго говоря, квантовая операция — это линейное , полностью положительное отображение из набора операторов плотности в себя. В контексте квантовой информации часто накладывают дополнительное ограничение, что квантовая операция должна быть физической , ^[3], то есть удовлетворять для любого состояния .${\displaystyle {\mathcal {E}}}$${\displaystyle 0\leq \operatorname {Tr} [{\mathcal {E}}(\rho)]\leq 1}$${\displaystyle \ро}$

Некоторые квантовые процессы не могут быть зафиксированы в рамках формализма квантовых операций; ^[4] в принципе, матрица плотности квантовой системы может претерпевать совершенно произвольную эволюцию во времени. Квантовые операции обобщаются квантовыми инструментами , которые фиксируют классическую информацию, полученную во время измерений, в дополнение к квантовой информации .

Картина Шредингера дает удовлетворительное описание временной эволюции состояния квантово-механической системы при определенных предположениях. Эти предположения включают

• Система нерелятивистская
• Система изолирована.

Картина Шредингера для эволюции во времени имеет несколько математически эквивалентных формулировок. Одна из таких формулировок выражает скорость изменения состояния во времени через уравнение Шредингера . Более подходящая формулировка для этого изложения выражается следующим образом:

Это означает, что если система находится в состоянии, соответствующем v ∈ H в момент времени s , то состояние через t единиц времени будет U _t v . Для релятивистских систем не существует универсального параметра времени, но мы все равно можем сформулировать влияние определенных обратимых преобразований на квантово-механическую систему. Например, преобразования состояний, связывающие наблюдателей в разных системах отсчета, задаются унитарными преобразованиями. В любом случае эти преобразования состояний переводят чистые состояния в чистые состояния; это часто формулируется так, что в этой идеализированной структуре нет декогеренции .

Для взаимодействующих (или открытых) систем, таких как те, которые подвергаются измерению, ситуация совершенно иная. Начнем с того, что изменения состояния, испытываемые такими системами, не могут быть объяснены исключительно преобразованием на множестве чистых состояний (то есть тех, которые связаны с векторами нормы 1 в H ). После такого взаимодействия система в чистом состоянии φ может больше не находиться в чистом состоянии φ. В общем случае она будет находиться в статистической смеси последовательности чистых состояний φ ₁ , ..., φ _k с соответствующими вероятностями λ ₁ , ..., λ _k . Переход из чистого состояния в смешанное состояние известен как декогеренция.

Было создано множество математических формализмов для обработки случая взаимодействующей системы. Формализм квантовых операций появился около 1983 года из работы Карла Крауса , который опирался на более раннюю математическую работу Ман-Дуэн Чоя. Он имеет то преимущество, что выражает такие операции, как измерение, как отображение из состояний плотности в состояния плотности. В частности, эффект квантовых операций остается в пределах набора состояний плотности.

Напомним, что оператор плотности — это неотрицательный оператор в гильбертовом пространстве с единичным следом.

Математически квантовая операция представляет собой линейное отображение Φ между пространствами операторов следового класса в гильбертовых пространствах H и G, такое что

• Если S — оператор плотности, то Tr(Φ( S )) ≤ 1.
• Φ полностью положительно , то есть для любого натурального числа n , и любой квадратной матрицы размера n, элементы которой являются операторами класса следов и которая неотрицательна, то также неотрицательна. Другими словами, Φ полностью положительно, если положительно для всех n , где обозначает тождественное отображение на C*-алгебре матриц .$${\displaystyle {\begin{bmatrix}S_{11}&\cdots &S_{1n}\\\vdots &\ddots &\vdots \\S_{n1}&\cdots &S_{nn}\end{bmatrix}}}$$$${\displaystyle {\begin{bmatrix}\Фи (S_{11})&\cdots &\Фи (S_{1n})\\\vdots &\ddots &\vdots \\\Фи (S_{n1})&\cdots &\Фи (S_{nn})\end{bmatrix}}}$$${\displaystyle \Phi \otimes I_ {n}}$${\displaystyle I_{н}}$${\displaystyle n\times n}$

Обратите внимание, что по первому условию квантовые операции могут не сохранять свойство нормализации статистических ансамблей. В вероятностных терминах квантовые операции могут быть субмарковскими. Для того чтобы квантовая операция сохраняла набор матриц плотности, нам нужно дополнительное предположение, что она сохраняет след.

В контексте квантовой информации квантовые операции, определенные здесь, то есть полностью положительные отображения, которые не увеличивают след, также называются квантовыми каналами или стохастическими отображениями . Формулировка здесь ограничена каналами между квантовыми состояниями; однако ее можно расширить, включив также классические состояния, что позволяет обрабатывать квантовую и классическую информацию одновременно.

Теорема Крауса (названная в честь Карла Крауса ) характеризует полностью положительные отображения , которые моделируют квантовые операции между квантовыми состояниями. Неформально теорема гарантирует, что действие любой такой квантовой операции на состояние всегда можно записать как , для некоторого набора операторов, удовлетворяющих , где — оператор тождества.${\displaystyle \Фи}$${\displaystyle \ро}$${\textstyle \Phi (\rho )=\sum _{k}B_{k}\rho B_{k}^{*}}$${\displaystyle \{B_{k}\}_{k}}$${\textstyle \sum _{k}B_{k}^{*}B_{k}\leq \mathbf {1} }$${\displaystyle \mathbf {1} }$

Теорема . ^[5] Пусть и будут гильбертовыми пространствами размерности и соответственно, а будут квантовой операцией между и . Тогда существуют матрицы, отображающие в , такие, что для любого состояния , Обратно, любое отображение этого вида является квантовой операцией при условии .${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle n}$${\displaystyle m}$${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$$${\displaystyle \{B_{i}\}_{1\leq i\leq nm}}$$${\displaystyle {\mathcal {H}}}$${\displaystyle {\mathcal {G}}}$${\displaystyle \rho }$$${\displaystyle \Phi (\rho )=\sum _{i}B_{i}\rho B_{i}^{*}.}$$${\displaystyle \Phi }$${\textstyle \sum _{k}B_{k}^{*}B_{k}\leq \mathbf {1} }$

Матрицы называются операторами Крауса . (Иногда их называют шумовыми операторами или операторами ошибок , особенно в контексте квантовой обработки информации , где квантовая операция представляет шумные, вызывающие ошибки эффекты окружающей среды.) Теорема факторизации Стайнспринга распространяет приведенный выше результат на произвольные сепарабельные гильбертовы пространства H и G. Там S заменяется оператором класса следов и последовательностью ограниченных операторов.${\displaystyle \{B_{i}\}}$${\displaystyle \{B_{i}\}}$

Матрицы Крауса не определяются однозначно квантовой операцией в целом. Например, различные факторизации Холецкого матрицы Чоя могут давать различные наборы операторов Крауса. Следующая теорема утверждает, что все системы матриц Крауса, представляющие одну и ту же квантовую операцию, связаны унитарным преобразованием:${\displaystyle \Phi }$

Теорема . Пусть будет (не обязательно сохраняющей след) квантовой операцией на конечномерном гильбертовом пространстве H с двумя представляющими последовательностями матриц Крауса и . Тогда существует унитарная операторная матрица такая, что${\displaystyle \Phi }$${\displaystyle \{B_{i}\}_{i\leq N}}$${\displaystyle \{C_{i}\}_{i\leq N}}$${\displaystyle (u_{ij})_{ij}}$$${\displaystyle C_{i}=\sum _{j}u_{ij}B_{j}.}$$

В бесконечномерном случае это обобщается до отношения между двумя минимальными представлениями Стайнспринга .

Следствием теоремы Стайнспринга является то, что все квантовые операции могут быть реализованы посредством унитарной эволюции после присоединения подходящей вспомогательной функции к исходной системе.

Эти результаты могут быть также выведены из теоремы Чоя о полностью положительных отображениях , характеризующей полностью положительное конечномерное отображение единственным эрмитово-положительным оператором плотности (матрицей Чоя) относительно следа. Среди всех возможных представлений Крауса заданного канала существует каноническая форма, отличающаяся отношением ортогональности операторов Крауса, . Такой канонический набор ортогональных операторов Крауса может быть получен путем диагонализации соответствующей матрицы Чоя и преобразования ее собственных векторов в квадратные матрицы.${\displaystyle \operatorname {Tr} A_{i}^{\dagger }A_{j}\sim \delta _{ij}}$

Существует также бесконечномерное алгебраическое обобщение теоремы Чоя, известное как «теорема Радона-Никодима Белавкина для полностью положительных отображений», которое определяет оператор плотности как «производную Радона-Никодима» квантового канала относительно доминирующего полностью положительного отображения (опорного канала). Оно используется для определения относительных верностей и взаимной информации для квантовых каналов.

Для нерелятивистской квантово-механической системы ее временная эволюция описывается однопараметрической группой автоморфизмов {α _t } _t из Q. Это можно сузить до унитарных преобразований: при определенных слабых технических условиях (см. статью о квантовой логике и ссылку Варадараджана) существует сильно непрерывная однопараметрическая группа { U _t } _t унитарных преобразований базового гильбертова пространства, такая, что элементы E из Q эволюционируют в соответствии с формулой

${\displaystyle \alpha _{t}(E)=U_{t}^{*}EU_{t}.}$

Эволюция системы во времени может также рассматриваться двойственно как эволюция статистического пространства состояний. Эволюция статистического состояния задается семейством операторов {β _t } _t таким образом, что$${\displaystyle \operatorname {Tr} (\beta _{t}(S)E)=\operatorname {Tr} (S\alpha _{-t}(E))=\operatorname {Tr} (SU_{t}EU_{t}^{*})=\operatorname {Tr} (U_{t}^{*}SU_{t}E).}$$

Очевидно, что для каждого значения t , S → U * _t S U _t является квантовой операцией. Более того, эта операция обратима .

Это можно легко обобщить: если G — связная группа Ли симметрий Q , удовлетворяющая тем же слабым условиям непрерывности, то действие любого элемента g из G задается унитарным оператором U : Это отображение g → U _g известно как проективное представление G. Отображения S → U * _g S U _g являются обратимыми квантовыми операциями.$${\displaystyle g\cdot E=U_{g}EU_{g}^{*}.}$$

Квантовые операции могут быть использованы для описания процесса квантового измерения . Представление ниже описывает измерение в терминах самосопряженных проекций на сепарабельное комплексное гильбертово пространство H , то есть в терминах PVM ( проекционно-значная мера ). В общем случае измерения могут быть выполнены с использованием неортогональных операторов, через понятия POVM . Неортогональный случай интересен, так как он может улучшить общую эффективность квантового инструмента .

Квантовые системы могут быть измерены путем применения серии вопросов типа «да-нет» . Этот набор вопросов можно понимать как выбранный из ортодополненной решетки Q предложений в квантовой логике . Решетка эквивалентна пространству самосопряженных проекций на сепарабельном комплексном гильбертовом пространстве H.

Рассмотрим систему в некотором состоянии S с целью определения, обладает ли она некоторым свойством E , где E — элемент решетки квантовых вопросов типа «да-нет» . Измерение в этом контексте означает подчинение системы некоторой процедуре для определения того, удовлетворяет ли состояние свойству. Ссылке на состояние системы в этом обсуждении можно придать операциональный смысл , рассмотрев статистический ансамбль систем. Каждое измерение дает некоторое определенное значение 0 или 1; более того, применение процесса измерения к ансамблю приводит к предсказуемому изменению статистического состояния. Это преобразование статистического состояния задается квантовой операцией Здесь E можно понимать как оператор проекции .$${\displaystyle S\mapsto ESE+(I-E)S(I-E).}$$

В общем случае измерения проводятся над наблюдаемыми величинами, принимающими более двух значений.

Когда наблюдаемая величина A имеет чисто точечный спектр , ее можно записать в терминах ортонормированного базиса собственных векторов. То есть, A имеет спектральное разложение , где E _A (λ) — это семейство попарно ортогональных проекций , каждая из которых на соответствующее собственное пространство A , связанное со значением измерения λ.$${\displaystyle A=\sum _{\lambda }\lambda \operatorname {E} _{A}(\lambda )}$$

Измерение наблюдаемой величины A дает собственное значение A. Повторные измерения, выполненные на статистическом ансамбле систем S , приводят к распределению вероятностей по спектру собственных значений A. Это дискретное распределение вероятностей , которое задается формулой$${\displaystyle \operatorname {Pr} (\lambda )=\operatorname {Tr} (S\operatorname {E} _{A}(\lambda )).}$$

Измерение статистического состояния S задается отображением То есть сразу после измерения статистическое состояние представляет собой классическое распределение по собственным пространствам, связанным с возможными значениями λ наблюдаемой: S является смешанным состоянием .$${\displaystyle S\mapsto \sum _{\lambda }\operatorname {E} _{A}(\lambda )S\operatorname {E} _{A}(\lambda )\ .}$$

Шаджи и Сударшан утверждали в статье Physical Review Letters, что при внимательном рассмотрении полная положительность не является требованием для хорошего представления открытой квантовой эволюции. Их вычисления показывают, что при запуске с некоторыми фиксированными начальными корреляциями между наблюдаемой системой и окружающей средой карта, ограниченная самой системой, не обязательно даже положительна. Однако она не положительна только для тех состояний, которые не удовлетворяют предположению о форме начальных корреляций. Таким образом, они показывают, что для полного понимания квантовой эволюции следует также рассматривать не полностью положительные карты. ^{[4] [6] [7]}

• Квантовая динамическая полугруппа
• Супероператор

• Нильсен, Майкл А.; Чуан, Айзек Л. (2010). Квантовые вычисления и квантовая информация (10-е изд.). Кембридж: Cambridge University Press. ISBN 9781107002173. OCLC  665137861.
• Choi, Man-Duen (1975). "Полностью положительные линейные отображения на комплексных матрицах". Линейная алгебра и ее приложения . 10 (3). Elsevier BV: 285– 290. doi : 10.1016/0024-3795(75)90075-0 . ISSN  0024-3795.
• Сударшан, ECG; Мэтьюз, PM; Рау, Джаясита (1961-02-01). «Стохастическая динамика квантово-механических систем». Physical Review . 121 (3). Американское физическое общество (APS): 920– 924. Bibcode : 1961PhRv..121..920S. doi : 10.1103/physrev.121.920. ISSN  0031-899X.
• Белавкин, ВП; Сташевский, П. (1986). «Теорема Радона-Никодима для полностью положительных отображений». Reports on Mathematical Physics . 24 (1). Elsevier BV: 49– 55. Bibcode : 1986RpMP...24...49B. doi : 10.1016/0034-4877(86)90039-x. ISSN  0034-4877.
• К. Краус, Состояния, эффекты и операции: основные понятия квантовой теории , Springer Verlag 1983
• WF Stinespring, Положительные функции на C*-алгебрах , Труды Американского математического общества, 211–216, 1955
• В. Варадараджан, Геометрия квантовой механики, тома 1 и 2, Springer-Verlag, 1985