Супероператор

Для проверки этой статьи нужны дополнительные цитаты . Помогите улучшить эту статью , добавив ссылки на надежные источники . Материалы без ссылок могут быть оспорены и удалены. Найти источники:  "Superoperator" – новости  · газеты  · книги  · ученый  · JSTOR ( октябрь 2009 г. ) ( Узнайте, как и когда удалять это сообщение )

В физике супероператор — это линейный оператор, действующий в векторном пространстве линейных операторов . ^[1]

Иногда этот термин относится более конкретно к полностью положительному отображению , которое также сохраняет или не увеличивает след своего аргумента . Это специализированное значение широко используется в области квантовых вычислений , особенно квантового программирования , поскольку они характеризуют отображения между матрицами плотности .

Использование здесь префикса супер- никак не связано с его другим использованием в математической физике. То есть супероператоры не имеют никакого отношения к суперсимметрии и супералгебре , которые являются расширениями обычных математических понятий, определяемых путем расширения кольца чисел, чтобы включить числа Грассмана . Поскольку супероператоры сами являются операторами, использование префикса супер- используется для того, чтобы отличать их от операторов, на которые они действуют.

Зафиксируйте выбор базиса для базового гильбертова пространства .${\displaystyle \{|i\rangle \}_{i}}$

Определяя левый и правый супероператоры умножения как и соответственно, можно выразить коммутатор как${\displaystyle {\mathcal {L}}(A)[\rho ]=A\rho }$${\displaystyle {\mathcal {R}}(A)[\rho ]=\rho A}$

${\displaystyle [A,\rho ]={\mathcal {L}}(A)[\rho ]-{\mathcal {R}}(A)[\rho ].}$

Далее мы векторизуем матрицу , которая является отображением${\displaystyle \ро}$

${\displaystyle \rho =\sum _{i,j}\rho _{ij}|i\rangle \langle j|\to |\rho \rangle \!\rangle =\sum _{i,j}\rho _{ij}|i\rangle \otimes |j\rangle ,}$

где обозначает вектор в пространстве Фока-Лиувилля. Матричное представление затем вычисляется с использованием того же отображения${\displaystyle |\cdot \rangle \!\rangle }$${\displaystyle {\mathcal {L}}(A)}$

${\displaystyle A\rho =\sum _{i,j}\rho _{ij}A|i\rangle \langle j|\to \sum _{i,j}\rho _{ij}(A|i\rangle )\otimes |j\rangle =\sum _{i,j}\rho _{ij}(A\otimes I)(|i\rangle \otimes |j\rangle )=(A\otimes I)|\rho \rangle \!\rangle ={\mathcal {L}}(A)[\rho ],}$

указывая, что . Аналогично можно показать, что . Эти представления позволяют нам вычислять такие вещи, как собственные значения, связанные с супероператорами. Эти собственные значения особенно полезны в области открытых квантовых систем, где действительные части собственных значений супероператора Линдблада будут указывать, будет ли квантовая система релаксировать или нет.${\displaystyle {\mathcal {L}}(A)=A\otimes I}$${\displaystyle {\mathcal {R}}(A)=(I\otimes A^{T})}$

В квантовой механике уравнение Шредингера ,

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\Psi ={\hat {H}}\Psi }$,

выражает временную эволюцию вектора состояния посредством действия гамильтониана , который является оператором, отображающим векторы состояния в векторы состояния.${\displaystyle \пси}$${\displaystyle {\шляпа {H}}}$

В более общей формулировке Джона фон Неймана статистические состояния и ансамбли выражаются операторами плотности , а не векторами состояний. В этом контексте временная эволюция оператора плотности выражается через уравнение фон Неймана , в котором на оператор плотности действует супероператор, отображающий операторы в операторы. Он определяется путем взятия коммутатора относительно оператора Гамильтона:${\displaystyle {\mathcal {H}}}$

${\displaystyle i\hbar {\frac {\partial }{\partial t}}\rho ={\mathcal {H}}[\rho ]}$

где

${\displaystyle {\mathcal {H}}[\rho ]=[{\hat {H}},\rho ]\equiv {\hat {H}}\rho -\rho {\hat {H}}}$

Поскольку коммутаторные скобки широко используются в квантовой механике, это явное супероператорное представление действия гамильтониана обычно опускается.

При рассмотрении операторнозначной функции операторов , например, когда мы определяем квантово-механический гамильтониан частицы как функцию операторов положения и импульса, мы можем (по какой-либо причине) определить «производную оператора» как супероператор , отображающий оператор в оператор.${\displaystyle {\hat {H}} = {\hat {H}}({\hat {P}})}$${\displaystyle {\frac {\Delta {\hat {H}}}{\Delta {\hat {P}}}}}$

Например, если то его операторная производная является супероператором, определяемым формулой:${\displaystyle H(P)=P^{3}=PPP}$

${\displaystyle {\frac {\Delta H}{\Delta P}}[X]=XP^{2}+PXP+P^{2}X}$

Эта «производная оператора» — это просто матрица Якоби функции (операторов), где вход и выход оператора просто рассматриваются как векторы и расширяется пространство операторов в некотором базисе. Матрица Якоби тогда является оператором (на одном более высоком уровне абстракции), действующим на это векторное пространство (операторов).