Теория подъемной линии
Математическая модель для количественной оценки подъемной силы

Теория подъемной линии Ланчестера-Прандтля [ 1] — это математическая модель в аэродинамике , которая предсказывает распределение подъемной силы по трехмерному крылу из геометрии крыла . [2] Теория была выражена независимо [3] Фредериком В. Ланчестером в 1907 году [4] и Людвигом Прандтлем в 1918–1919 годах [5] после работы с Альбертом Бецом и Максом Мунком . В этой модели вихрь, связанный с крылом, развивается по всему размаху крыла, поскольку он сбрасывается как вихревая пелена с задней кромки, а не просто как одиночный вихрь с законцовок крыла. [6] [7]

Введение

Профили в двух измерениях легче понять, но они не соответствуют напрямую трехмерным конечным крыльям.

Трудно аналитически предсказать общую величину подъемной силы, которую будет генерировать крыло заданной геометрии. При анализе трехмерного конечного крыла традиционный подход разрезает крыло на поперечные сечения и анализирует каждое поперечное сечение независимо как крыло в двумерном мире. Каждый из этих срезов называется аэродинамическим профилем , и легче понять аэродинамический профиль, чем полное трехмерное крыло.

Можно было бы ожидать, что понимание полного крыла просто включает в себя сложение независимо рассчитанных сил от каждого сегмента аэродинамического профиля. Однако это приближение является грубо неверным: на реальном крыле подъемная сила от каждой бесконечно малой секции крыла сильно зависит от воздушного потока над соседними секциями крыла. Теория подъемной линии исправляет некоторые ошибки в наивном двумерном подходе, включая некоторые взаимодействия между секциями крыла.

  • Схема крыла самолета, на которой вертикальные стрелки величины уменьшаются примерно линейно вдоль размаха
    Нереалистичное распределение подъемной силы, не учитывающее трехмерные эффекты
  • Схема крыла самолета с вертикальными стрелками, резко уменьшающимися вблизи фюзеляжа и законцовки крыла.
    Наблюдаемое распределение подъемной силы на (конечном) трапециевидном крыле

Принцип и происхождение

Теория подъемной линии предполагает крылья, которые являются длинными и тонкими с незначительным фюзеляжем , похожими на тонкий стержень (одноименный «подъемный стержень») размахом  2 s, движущийся через жидкость. Из теоремы Кутты-Жуковского , подъемная сила  L ( y ) на 2-мерном сегменте крыла на расстоянии  y от фюзеляжа пропорциональна циркуляции Γ  ( y ) вокруг стержня в y . Когда самолет неподвижен на земле, эти циркуляции все равны, но когда судно находится в движении, они изменяются с y . По теоремам Гельмгольца , генерация пространственно-изменяющейся циркуляции должна соответствовать испусканию вихревой нити равной прочности вниз по потоку от крыла . [8]

В теории подъемной линии предполагается, что образующаяся вихревая линия остается связанной с крылом , так что она изменяет эффективный вертикальный угол входящего свободного потока воздуха.

  • Вихрь слива можно смоделировать как распределение вертикальной скорости
    Вихрь слива можно смоделировать как распределение вертикальной скорости
  • Восходящий и нисходящий потоки, вызванные вихрем, можно рассчитать на каждом соседнем участке.
    Восходящий и нисходящий потоки, вызванные вихрем, можно рассчитать на каждом соседнем участке.

Вертикальное движение, вызванное вихревой линией силы  γ в воздухе на расстоянии  r, равно γ ⁄ 4π r , так что вся вихревая система вызывает вертикальное движение свободного потока в положении  y , где интеграл понимается в смысле главного значения Коши . Этот поток изменяет эффективный угол атаки в y ; если реакция циркуляции аэродинамических профилей, составляющих крыло, понимается в диапазоне углов атаки, то можно разработать интегральное уравнение для определения Γ( y ) . [9] ж ( у ) = ∫ − с с г Г ( у ~ ) 4 π ( у − у ~ ) , {\displaystyle w(y)=\int _{-s}^{s}{\frac {d\Gamma ({\tilde {y}})}{4\pi (y- {\tilde {y}} )}},}

Формально, существует некоторый угол ориентации, такой, что аэродинамический профиль в положении  y не развивает подъемной силы. Для воздушных потоков со скоростью  V, ориентированных под углом α относительно угла без подъемной силы, аэродинамический профиль будет развивать некоторую циркуляцию V ⋅ C ( y ,α) ; для малых α разложение Тейлора приближает эту циркуляцию как V ⋅ ∂ C ⁄ ∂α ( y ,0)⋅α . Если аэродинамический профиль идеален и имеет хорду c ( y ) , то теория предсказывает это, но реальные аэродинамические профили могут быть менее эффективными. [10] [11] С ( у , α ) = 2 π с ( у ) грех ⁡ ( α ) , {\displaystyle C(y,\alpha)=2\pi c(y)\sin(\alpha){\text{,}}}

Предположим, что свободный поток атакует аэродинамический профиль в позиции  y под углом α( y ) (относительно угла без подъемной силы для аэродинамического профиля в позиции y  — таким образом, равномерный поток через крыло может все еще иметь изменяющийся α( y ) ). В приближении малого угла эффективный угол атаки в y объединенной системы свободного потока и вихря равен α( y )+ w ( y ) ⁄ V . Объединяя приведенные выше формулы,

Г ( у ) = В ⋅ ∂ С ∂ α ( у , 0 ) ( α ( у ) + ж ( у ) В ) = ∂ α С ( у , 0 ) ( В α ( у ) + 1 4 π ∫ − с с Г ′ ( у ~ ) г у у − у ~ ) . {\displaystyle {\begin{aligned}\Gamma (y)&=V\cdot {\frac {\partial C}{\partial \alpha }}(y,0)\left(\alpha (y)+{\frac {w(y)}{V}}\right)\\&=\partial _{\alpha }C(y,0)\left(V\alpha (y)+{\frac {1}{4\pi }}\int _{-s}^{s}{\frac {\Gamma '({\tilde {y}})\,dy}{y-{\tilde {y}}}}\right){\text{.}}\end{aligned}}} ( 1 )

Все величины в этом уравнении, за исключением V и Γ, являются геометрическими свойствами крыла, и поэтому инженер может (в принципе) решить для Γ( y ) при фиксированном V . Как и при выводе теории тонкого аэродинамического профиля , распространенный подход заключается в разложении Γ в ряд Фурье вдоль крыла, а затем сохранении только первых нескольких членов. [12] [13] [14]

После того, как скорость V , циркуляция Γ и плотность жидкости  ρ известны, подъемная сила, создаваемая крылом, принимается равной чистой подъемной силе, создаваемой каждым аэродинамическим профилем с заданной циркуляцией... ...а сопротивление также является общим по аэродинамическим профилям: Из этих величин и соотношения сторон AR можно вычислить коэффициент эффективности размаха. [ 15 ] [16] [11] L = ρ V ∫ − s s Γ ( y ) d y {\displaystyle L=\rho V\int _{-s}^{s}{\Gamma (y)\,dy}} D = ρ V ∫ − s s Γ ( y ) α ( y ) d y . {\displaystyle D=\rho V\int _{-s}^{s}{\Gamma (y)\alpha (y)\,dy}{\text{.}}} e = 1 π A R ⋅ L 2 ρ V D {\displaystyle e={\frac {1}{\pi \mathrm {A\!R} }}\cdot {\frac {L^{2}}{\rho VD}}}

Эффекты управляющих входов

Отклонение управляющей поверхности изменяет форму каждого среза аэродинамического профиля, что может привести к разным углам отсутствия подъемной силы для этого аэродинамического профиля, а также к разным углам атаки. Это не требует существенных изменений в теории, а только изменения ∂ α C ( y ,0) и α( y ) в ( 1 ). Однако тело с быстро движущимися крыльями, такое как катящийся самолет или машущая птица, испытывает вертикальный поток через крыло из-за изменения ориентации крыла, что появляется как отсутствующий член в теории.

Вращающиеся крылья

Когда самолет вращается со скоростью p вокруг фюзеляжа, аэродинамический профиль в ( обозначенном ) положении y испытывает вертикальный поток воздуха со скоростью py , который соответственно добавляет py ⁄ V к эффективному углу атаки. Таким образом, ( 1 ) становится: что соответственно изменяет как подъемную силу, так и индуцированное сопротивление. [17] Эта «сила сопротивления» составляет основное производство тяги для машущих крыльев. [17] Γ ( y ) = ∂ α C ( y , 0 ) ( V α ( y ) + p y + 1 4 π ∫ − s s Γ ′ ( y ~ ) d y y − y ~ ) , {\displaystyle \Gamma (y)=\partial _{\alpha }C(y,0)\left(V\alpha (y)+py+{\frac {1}{4\pi }}\int _{-s}^{s}{\frac {\Gamma '({\tilde {y}})\,dy}{y-{\tilde {y}}}}\right){\text{,}}}

Эллиптические крылья

Эффективность e теоретически оптимизируется в эллиптическом крыле без закручивания, в котором θ — альтернативная параметризация станции вдоль крыла. Для такого крыла, которое дает уравнение для эллиптического коэффициента индуцированного сопротивления: Согласно теории подъемной линии, любая форма крыла в плане может достичь той же эффективности за счет закручивания (изменение положения в зависимости от увеличения шага ) относительно фюзеляжа. [14] y = s cos ⁡ θ c ( y ) = A R s sin ⁡ θ , {\displaystyle {\begin{aligned}y&=s\cos \theta \\c(y)&=\mathrm {A\!R} \,s\sin \theta {\text{,}}\end{aligned}}} e = 1 , {\displaystyle e=1{\text{,}}} C D i n d u c e d = C L 2 π A R {\displaystyle C_{D_{induced}}={\frac {C_{L}^{2}}{\pi A\!R}}}

Полезные приближения

Полезное приближение для трехмерного коэффициента подъемной силы для эллиптического распределения циркуляции [ требуется ссылка ]: Обратите внимание, что это уравнение становится уравнением тонкого аэродинамического профиля , если AR стремится к бесконечности. [18] [ неудачная проверка ]   C L = ∂ α C ( 0 , 0 ) ( 1 + 2 A R ) − 1 α {\displaystyle \ C_{L}=\partial _{\alpha }C(0,0)\left(1+{\frac {2}{\mathrm {A\!R} }}\right)^{-1}\alpha }

Ограничения

Теория подъемной линии не учитывает сжатие воздуха крыльями, вязкое течение в пограничном слое фюзеляжа или формы крыльев, отличные от длинных, прямых и тонких, таких как стреловидные или крылья с малым удлинением . Теория также предполагает, что поток вокруг крыльев находится в равновесии , и не рассматривает тела, которые быстро ускоряются относительно свободного потока воздуха.

Смотрите также

Примечания

  1. ^ Андерсон, Джон Д. (2001), Основы аэродинамики , стр. 360. McGraw-Hill, Бостон. ISBN  0-07-237335-0 .
  2. ^ Houghton, EL; Carpenter, PW (2003). Butterworth Heinmann (ред.). Аэродинамика для студентов-инженеров (5-е изд.). ISBN 0-7506-5111-3.
  3. ^ фон Карман, Теодор (2004) [1954]. Аэродинамика: избранные темы в свете их исторического развития . Дувр. ISBN 0-486-43485-0.
  4. ^ Ланчестер, Фредерик В. (1907). Констебль (ред.). Аэродинамика.
  5. ^ Прандтль, Людвиг (1918). Königliche Gesellschaft der Wissenschaften zu Göttingen (ред.). Трагфлюгельная теория .
  6. ^ Эбботт, Айра Х. и Фон Денхофф, Альберт Э., Теория сечений крыла , раздел 1.4.
  7. ^ Клэнси, Л.Дж., Аэродинамика , Раздел 8.11.
  8. ^ Batchelor, G. K. (1993) [1967]. Введение в гидродинамику (3-е индийское переиздание). Нью-Дели: Cambridge University Press (опубликовано в 2014 г.). стр. 580–585. ISBN 978-81-85618-24-1.
  9. ↑ Бэтчелор 1993, стр. 585-586.
  10. ^ Ачесон, Д. Дж. (1990). Элементарная гидродинамика . Оксфордская прикладная математика и вычислительная наука. Оксфорд: Clarendon Press (опубликовано в 2009 г.). С. 134–136, 138.
  11. ^ ab Auld, Douglass; Srinivas (1995). «Трехмерная теория подъемной линии». Аэродинамика для студентов. Сиднейский университет.
  12. ↑ Бэтчелор 1993, стр. 586-587.
  13. ^ Филлипс, Уоррен; Элли, Николас; Гудрич, Уэйн (2003-06-23), "Анализ подъемной линии управления креном и переменной круткой", 21-я конференция AIAA по прикладной аэродинамике , конференции по гидродинамике и смежным дисциплинам, Американский институт аэронавтики и астронавтики, doi :10.2514/6.2003-4061, ISBN 978-1-62410-092-5, получено 2020-12-02
  14. ^ ab Phillips, WF (2004-01-01). «Анализ подъемной линии для скрученных крыльев и крыльев, оптимизированных для вымывания». Journal of Aircraft . 41 (1): 128–136. doi :10.2514/1.262.
  15. ^ Эбботт, Айра Х. и Фон Денхофф, Альберт Э., Теория сечений крыла , Раздел 1.3
  16. ^ Клэнси, Л.Дж., Аэродинамика , Уравнение 5.7
  17. ^ ab Phillips, WF (2014-02-28). «Аналитическое разложение крена и взмахов крыла с использованием теории подъемной линии». Journal of Aircraft . 51 (3): 761–778. doi :10.2514/1.C032399.
  18. ^ Скотт, Джефф (10 августа 2003 г.). «Вопрос № 136: Коэффициент подъемной силы и теория тонкого аэродинамического профиля». Спросите ракетчика: Аэродинамика. Aerospaceweb.org.

Ссылки

  • LJ Clancy (1975), Аэродинамика , Pitman Publishing Limited, Лондон. ISBN 0-273-01120-0 
  • Эбботт, Айра Х. и фон Денхофф, Альберт Э. (1959), Теория сечений крыла , Dover Publications Inc., Нью-Йорк. Стандартный номер книги 486-60586-8
Retrieved from "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Lifting-line_theory&oldid=1248061248"