Метод линий
Численный метод
Метод линий - пример, показывающий происхождение названия метода.

Метод прямых (MOL, NMOL, NUMOL [1] [2] [3] ) — это метод решения уравнений в частных производных (УЧП), в котором все измерения, кроме одного, дискретизированы. Сводя УЧП к одному непрерывному измерению, метод прямых позволяет вычислять решения с помощью методов и программного обеспечения, разработанных для численного интегрирования обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ) и дифференциально-алгебраических систем уравнений (ДАУ). За эти годы было разработано множество процедур интегрирования на многих языках программирования, и некоторые из них были опубликованы как ресурсы с открытым исходным кодом . [4]

Метод прямых чаще всего относится к построению или анализу численных методов для уравнений с частными производными, которые сначала дискретизируют только пространственные производные и оставляют временную переменную непрерывной. Это приводит к системе обыкновенных дифференциальных уравнений, к которой может быть применен численный метод для обыкновенных уравнений с начальным значением. Метод прямых в этом контексте восходит по крайней мере к началу 1960-х годов. [5] С тех пор появилось много статей, в которых обсуждалась точность и устойчивость метода прямых для различных типов уравнений с частными производными. [6] [7]

Применение к эллиптическим уравнениям

MOL требует, чтобы задача PDE была корректно поставлена ​​как задача с начальными значениями ( Коши ) по крайней мере в одном измерении, поскольку интеграторы ODE и DAE являются решателями задач с начальными значениями (IVP). Таким образом, его нельзя использовать напрямую для чисто эллиптических уравнений с частными производными , таких как уравнение Лапласа . Однако MOL использовался для решения уравнения Лапласа с использованием метода ложных переходных процессов . [1] [8] В этом методе производная по времени зависимой переменной добавляется к уравнению Лапласа. Затем конечные разности используются для аппроксимации пространственных производных, и полученная система уравнений решается с помощью MOL. Также возможно решать эллиптические задачи полуаналитическим методом прямых . [9] В этом методе процесс дискретизации приводит к набору ODE, которые решаются путем использования свойств связанной экспоненциальной матрицы.

Недавно для преодоления проблем устойчивости, связанных с методом ложных переходных процессов, был предложен подход возмущения, который оказался более надежным, чем стандартный метод ложных переходных процессов для широкого диапазона эллиптических уравнений в частных производных. [10]

Ссылки

  1. ^ ab Schiesser, WE (1991). Численный метод линий . Academic Press. ISBN 0-12-624130-9.
  2. ^ Хамди, С.; В. Э. Шиссер; Г. В. Гриффитс (2007), «Метод линий», Scholarpedia , 2 (7): 2859, Bibcode : 2007SchpJ...2.2859H, doi : 10.4249/scholarpedia.2859
  3. ^ Schiesser, WE; GW Griffiths (2009). Сборник моделей уравнений с частными производными: метод анализа линий с помощью Matlab . Cambridge University Press. ISBN 978-0-521-51986-1.
  4. ^ Ли, Х. Дж.; В. Э. Шиссер (2004). Обыкновенные и частные дифференциальные уравнения в процедурах на языках C, C++, Fortran, Java, Maple и Matlab . CRC Press. ISBN 1-58488-423-1.
  5. ^ Е. Н. Сармин; Л. А. Чудов (1963), «Об устойчивости численного интегрирования систем обыкновенных дифференциальных уравнений, возникающих при использовании метода прямой», Журнал вычислительной математики и математической физики СССР , 3 (6): 1537–1543, doi :10.1016/0041-5553(63)90256-8
  6. ^ А. Зафарулла (1970), «Применение метода прямых к параболическим уравнениям в частных производных с оценками погрешности», Журнал Ассоциации вычислительной техники , т. 17, № 2, стр. 294–302, doi : 10.1145/321574.321583 , S2CID  15114435
  7. ^ JG Verwer; JM Sanz-Serna (1984), "Сходимость метода линейных аппроксимаций для уравнений с частными производными", Computing , 33 (3–4): 297–313, doi :10.1007/bf02242274, S2CID  30171258
  8. ^ Schiesser, WE (1994). Вычислительная математика в инженерии и прикладной науке: ОДУ, ДАУ и УЧП . CRC Press. ISBN 0-8493-7373-5.
  9. ^ Subramanian, VR; RE White (2004), "Полуаналитический метод прямых для решения эллиптических уравнений в частных производных", Chemical Engineering Science , 59 (4): 781–788, Bibcode : 2004ChEnS..59..781S, doi : 10.1016/j.ces.2003.10.019
  10. ^ PWC Northrop; PA Ramachandran; WE Schiesser; VR Subramanian (2013), "Надежный ложный переходный метод линий для эллиптических уравнений в частных производных", Chem. Eng. Sci. , т. 90, стр. 32–39, Bibcode : 2013ChEnS..90...32N, doi : 10.1016/j.ces.2012.11.033
  • Метод ложных переходов линий - пример кода
  • Численный метод линий
В Wikibook Partial Differential Equations есть страница по теме: Метод прямых


Значок заглушки

Эта статья по прикладной математике – заглушка . Вы можете помочь Википедии, расширив ее.

Взято с "https://en.wikipedia.org/w/index.php?title=Метод_линий&oldid=1228739399"