Стокса поток

Течение Стокса (названное в честь Джорджа Габриэля Стокса ), также называемое ползучим потоком или ползучим движением , ^[1] представляет собой тип течения жидкости , в котором адвективные инерционные силы малы по сравнению с вязкими силами. ^[2] Число Рейнольдса мало, т. е . Это типичная ситуация в потоках, в которых скорости жидкости очень малы, вязкости очень велики или масштабы длины потока очень малы. Ползучий поток был впервые изучен для понимания смазки . В природе этот тип течения встречается при плавании микроорганизмов и спермы . ^[3] В технологии он встречается в краске , устройствах МЭМС и в целом в течении вязких полимеров .${\displaystyle \mathrm {Re} \ll 1}$

Уравнения движения для течения Стокса, называемые уравнениями Стокса, являются линеаризацией уравнений Навье–Стокса и, таким образом, могут быть решены рядом известных методов для линейных дифференциальных уравнений. ^[4] Первичной функцией Грина течения Стокса является функция Стокса , которая связана с особой точечной силой, встроенной в течение Стокса. Из ее производных можно получить другие фундаментальные решения . ^[5] Функция Стокса была впервые выведена Озееном в 1927 году, хотя она не была названа так до 1953 года Хэнкоком. ^[6] Фундаментальные решения в замкнутой форме для обобщенных нестационарных течений Стокса и Озеена, связанных с произвольными зависящими от времени поступательными и вращательными движениями, были выведены для ньютоновских ^[7] и микрополярных ^[8] жидкостей.

Уравнение движения для течения Стокса может быть получено путем линеаризации стационарных уравнений Навье–Стокса . Инерционные силы предполагаются пренебрежимо малыми по сравнению с вязкими силами, и исключение инерционных членов баланса импульса в уравнениях Навье–Стокса сводит его к балансу импульса в уравнениях Стокса: ^[1]

${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}\cdot \sigma +\mathbf {f} ={\boldsymbol {0}}}$

где - напряжение (сумма вязких и давящих напряжений), ^{[9] [10]} и приложенная объемная сила. Полные уравнения Стокса также включают уравнение сохранения массы , обычно записываемое в виде:${\displaystyle \сигма}$${\displaystyle \mathbf {ф} }$

${\displaystyle {\frac {\partial \rho }{\partial t}}+\nabla \cdot (\rho \mathbf {u} )=0}$

где — плотность жидкости, а скорость жидкости. Для получения уравнений движения несжимаемого потока предполагается, что плотность, , является постоянной.${\displaystyle \ро}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \ро}$

Кроме того, иногда можно рассмотреть нестационарные уравнения Стокса, в которых член добавляется к левой части уравнения баланса импульса. ^[1]${\displaystyle \rho {\frac {\partial \mathbf {u} }{\partial t}}}$

Уравнения Стокса представляют собой значительное упрощение полных уравнений Навье–Стокса , особенно в несжимаемом ньютоновском случае. ^{[2] [4] [9] [10]} Они являются упрощением в главном порядке полных уравнений Навье–Стокса, справедливым в выделенном пределе ${\displaystyle \mathrm {Re} \to 0.}$

Мгновенность

Поток Стокса не имеет зависимости от времени, кроме как через зависящие от времени граничные условия . Это означает, что при заданных граничных условиях потока Стокса поток может быть найден без знания потока в любое другое время.

Обратимость времени

Непосредственное следствие мгновенности, обратимость во времени означает, что обращенный во времени поток Стокса решает те же уравнения, что и исходный поток Стокса. Это свойство иногда можно использовать (в сочетании с линейностью и симметрией в граничных условиях) для получения результатов о потоке без его полного решения. Обратимость во времени означает, что трудно смешать две жидкости с помощью ползучего потока.

Хотя эти свойства справедливы для несжимаемых ньютоновских потоков Стокса, нелинейная и иногда зависящая от времени природа неньютоновских жидкостей означает, что они не выполняются в более общем случае.

Интересное свойство течения Стокса известно как парадокс Стокса : не может быть течения Стокса жидкости вокруг диска в двух измерениях; или, что то же самое, тот факт, что не существует нетривиального решения для уравнений Стокса вокруг бесконечно длинного цилиндра. ^[13]

Система Тейлора-Куэта может создавать ламинарные потоки, в которых концентрические цилиндры жидкости движутся мимо друг друга по кажущейся спирали. ^[14] Жидкость, такая как кукурузный сироп с высокой вязкостью, заполняет зазор между двумя цилиндрами, при этом цветные области жидкости видны через прозрачный внешний цилиндр. Цилиндры вращаются относительно друг друга с низкой скоростью, что вместе с высокой вязкостью жидкости и тонкостью зазора дает низкое число Рейнольдса , так что кажущееся смешивание цветов на самом деле является ламинарным и затем может быть обращено приблизительно к исходному состоянию. Это создает драматическую демонстрацию кажущегося смешивания жидкости, а затем ее рассмешивания путем изменения направления миксера на обратное. ^{[15] [16] [17]}

В общем случае несжимаемой ньютоновской жидкости уравнения Стокса принимают (векторизованную) форму:

${\displaystyle {\begin{align}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p+\mathbf {f} &={\boldsymbol {0}}\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\end{align}}}$

где — скорость жидкости, — градиент давления , — динамическая вязкость, а — приложенная сила тела. Полученные уравнения линейны по скорости и давлению, и поэтому могут использовать преимущества различных решателей линейных дифференциальных уравнений. ^[4]${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle {\boldsymbol {\nabla }}p}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle \mathbf {f} }$

Раскрыв вектор скорости и, аналогично, вектор объемной силы , мы можем записать векторное уравнение явно:${\displaystyle \mathbf {u} =(u,v,w)}$${\displaystyle \mathbf {f} =(f_{x},f_{y},f_{z})}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \left({\frac {\partial ^{2}u}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}u}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial x}}+f_{x}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}v}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}v}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial y}}+f_{y}&=0\\\mu \left({\frac {\partial ^{2}w}{\partial x^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial y^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}w}{\partial z^{2}}}\right)-{\frac {\partial p}{\partial z}}+f_{z}&=0\\{\partial u \over \partial x}+{\partial v \over \partial y}+{\partial w \over \partial z}&=0\end{aligned}}}$

Мы приходим к этим уравнениям, делая предположения, что и плотность является постоянной. ^[9]${\displaystyle \mathbb {P} =\mu \left({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} +({\boldsymbol {\nabla }}\mathbf {u} )^{\mathsf {T}}\right)-p\mathbb {I} }$${\displaystyle \rho }$

Уравнение несжимаемого ньютоновского течения Стокса можно решить методом функции тока в плоском или трехмерном осесимметричном случаях.

Тип функции	Геометрия	Уравнение	Комментарии
Функция потока ,${\displaystyle \psi }$	2-D планарный	${\displaystyle \nabla ^{4}\psi =0}$или ( бигармоническое уравнение )${\displaystyle \Delta ^{2}\psi =0}$	${\displaystyle \Delta }$— оператор Лапласа в двух измерениях
Функция тока Стокса ,${\displaystyle \Psi }$	3-D сферический	${\displaystyle E^{2}\Psi =0,}$где${\displaystyle E={\partial ^{2} \over \partial r^{2}}+{\sin {\theta } \over r^{2}}{\partial \over \partial \theta }\left({1 \over \sin {\theta }}{\partial \over \partial \theta }\right)}$	Для вывода оператора см. функцию тока Стокса#Вихрь${\displaystyle E}$
	3-D цилиндрический	${\displaystyle L_{-1}^{2}\Psi =0,}$где${\displaystyle L_{-1}={\frac {\partial ^{2}}{\partial z^{2}}}+{\frac {\partial ^{2}}{\partial \rho ^{2}}}-{\frac {1}{\rho }}{\frac {\partial }{\partial \rho }}}$	Для просмотра [18]${\displaystyle L_{-1}}$

Линейность уравнений Стокса в случае несжимаемой ньютоновской жидкости означает, что существует функция Грина , ,. Функция Грина находится путем решения уравнений Стокса с заменой вынуждающего члена на точечную силу, действующую в начале координат, и граничными условиями, исчезающими на бесконечности:${\displaystyle \mathbb {J} (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mu \nabla ^{2}\mathbf {u} -{\boldsymbol {\nabla }}p&=-\mathbf {F} \cdot \mathbf {\delta } (\mathbf {r} )\\{\boldsymbol {\nabla }}\cdot \mathbf {u} &=0\\|\mathbf {u} |,p&\to 0\quad {\mbox{as}}\quad r\to \infty \end{aligned}}}$

где — дельта-функция Дирака , а представляет собой точечную силу, действующую в начале координат. Решение для давления p и скорости u с | u | и p, обращающимися в нуль на бесконечности, дается выражением ^[1]${\displaystyle \mathbf {\delta } (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \delta (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {r} )=\mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} ),\qquad p(\mathbf {r} )={\frac {\mathbf {F} \cdot \mathbf {r} }{4\pi |\mathbf {r} |^{3}}}}$

где

${\displaystyle \mathbb {J} (\mathbf {r} )={1 \over 8\pi \mu }\left({\frac {\mathbb {I} }{|\mathbf {r} |}}+{\frac {\mathbf {r} \mathbf {r} }{|\mathbf {r} |^{3}}}\right)}$

— тензор второго ранга (или, точнее, тензорное поле ), известный как тензор Озеена (в честь Карла Вильгельма Озеена ). Здесь r r — величина такая, что . ^{[ необходимо разъяснение ]}${\displaystyle \mathbf {F} \cdot (\mathbf {r} \mathbf {r} )=(\mathbf {F} \cdot \mathbf {r} )\mathbf {r} }$

Термины Стокса и решение с точечной силой используются для описания . Аналогично точечному заряду в электростатике , Стокса не имеет силы нигде, кроме начала координат, где она содержит силу прочности .${\displaystyle \mathbf {F} \cdot \mathbb {J} (\mathbf {r} )}$${\displaystyle \mathbf {F} }$

Для непрерывного распределения силы (плотности) решение (снова исчезающее на бесконечности) может быть построено путем суперпозиции:${\displaystyle \mathbf {f} (\mathbf {r} )}$

${\displaystyle \mathbf {u} (\mathbf {r} )=\int \mathbf {f} \left(\mathbf {r'} \right)\cdot \mathbb {J} \left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)\mathrm {d} \mathbf {r'} ,\qquad p(\mathbf {r} )=\int {\frac {\mathbf {f} \left(\mathbf {r'} \right)\cdot \left(\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right)}{4\pi \left|\mathbf {r} -\mathbf {r'} \right|^{3}}}\,\mathrm {d} \mathbf {r'} }$

Это интегральное представление скорости можно рассматривать как понижение размерности: от трехмерного уравнения в частных производных к двумерному интегральному уравнению для неизвестных плотностей. ^[1]

Решение Папковича –Нейбера представляет поля скорости и давления несжимаемого ньютоновского течения Стокса в терминах двух гармонических потенциалов.

Некоторые проблемы, такие как эволюция формы пузырька в потоке Стокса, поддаются численному решению методом граничных элементов . Этот метод может применяться как к 2-мерным, так и к 3-мерным потокам.

Поток Хеле-Шоу является примером геометрии, для которой силы инерции пренебрежимо малы. Он определяется двумя параллельными пластинами, расположенными очень близко друг к другу, причем пространство между пластинами частично занято жидкостью, а частично препятствиями в виде цилиндров с генераторами, перпендикулярными пластинам. ^[9]

Теория тонких тел в потоке Стокса является простым приближенным методом определения поля безвихревого течения вокруг тел, длина которых велика по сравнению с их шириной. Основой метода является выбор распределения особенностей течения вдоль линии (поскольку тело тонкое) таким образом, чтобы их безвихревое течение в сочетании с равномерным потоком приблизительно удовлетворяло условию нулевой нормальной скорости. ^[9]

Общее решение Лэмба возникает из того факта, что давление удовлетворяет уравнению Лапласа , и может быть разложено в ряд твердых сферических гармоник в сферических координатах. В результате решение уравнений Стокса можно записать:${\displaystyle p}$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {u} &=\sum _{n=-\infty ,n\neq -1}^{n=\infty }\left[{\frac {(n+3)r^{2}\nabla p_{n}}{2\mu (n+1)(2n+3)}}-{\frac {n\mathbf {x} p_{n}}{\mu (n+1)(2n+3)}}\right]+...\\\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }[\nabla \Phi _{n}+\nabla \times (\mathbf {x} \chi _{n})]\\p&=\sum _{n=-\infty }^{n=\infty }p_{n}\end{aligned}}}$

где и — сплошные сферические гармоники порядка :${\displaystyle p_{n},\Phi _{n},}$${\displaystyle \chi _{n}}$${\displaystyle n}$

${\displaystyle {\begin{aligned}p_{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(a_{mn}\cos m\phi +{\tilde {a}}_{mn}\sin m\phi )\\\Phi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(b_{mn}\cos m\phi +{\tilde {b}}_{mn}\sin m\phi )\\\chi _{n}&=r^{n}\sum _{m=0}^{m=n}P_{n}^{m}(\cos \theta )(c_{mn}\cos m\phi +{\tilde {c}}_{mn}\sin m\phi )\end{aligned}}}$

и являются связанными полиномами Лежандра . Решение Лэмба может быть использовано для описания движения жидкости как внутри, так и снаружи сферы. Например, его можно использовать для описания движения жидкости вокруг сферической частицы с заданным поверхностным потоком, так называемого сквирмера , или для описания потока внутри сферической капли жидкости. Для внутренних потоков члены с опускаются, в то время как для внешних потоков члены с опускаются (часто соглашение предполагается для внешних потоков, чтобы избежать индексации отрицательными числами). ^[1]${\displaystyle P_{n}^{m}}$${\displaystyle n<0}$${\displaystyle n>0}$${\displaystyle n\to -n-1}$

Здесь суммируется сопротивление движению сферы, также известное как решение Стокса. Если задана сфера радиусом , движущаяся со скоростью , в жидкости Стокса с динамической вязкостью , сила сопротивления определяется как: ^[9]${\displaystyle a}$${\displaystyle U}$${\displaystyle \mu }$${\displaystyle F_{D}}$

${\displaystyle F_{D}=6\pi \mu aU}$

Решение Стокса рассеивает меньше энергии, чем любое другое соленоидальное векторное поле с теми же граничными скоростями: это известно как теорема Гельмгольца о минимальной диссипации . ^[1]

Теорема Лоренца о взаимности устанавливает связь между двумя потоками Стокса в одной и той же области. Рассмотрим область, заполненную жидкостью, ограниченную поверхностью . Пусть поля скорости и решают уравнения Стокса в области , каждое с соответствующими полями напряжений и . Тогда выполняется следующее равенство:${\displaystyle V}$${\displaystyle S}$${\displaystyle \mathbf {u} }$${\displaystyle \mathbf {u} '}$${\displaystyle V}$${\displaystyle \mathbf {\sigma } }$${\displaystyle \mathbf {\sigma } '}$

${\displaystyle \int _{S}\mathbf {u} \cdot ({\boldsymbol {\sigma }}'\cdot \mathbf {n} )dS=\int _{S}\mathbf {u} '\cdot ({\boldsymbol {\sigma }}\cdot \mathbf {n} )dS}$

Где единичная нормаль на поверхности . Теорема взаимности Лоренца может быть использована для того, чтобы показать, что поток Стокса «передает» без изменений полную силу и крутящий момент от внутренней замкнутой поверхности к внешней охватывающей поверхности. ^[1] Теорема взаимности Лоренца может также быть использована для того, чтобы связать скорость плавания микроорганизма, такого как цианобактерия , со скоростью поверхности, которая предписывается деформациями формы тела через реснички или жгутики . ^[19] Теорема взаимности Лоренца также использовалась в контексте теории эластогидродинамики для вывода подъемной силы, действующей на твердый объект, движущийся по касательной к поверхности упругого интерфейса при низких числах Рейнольдса . ^{[20] [21]}${\displaystyle \mathbf {n} }$${\displaystyle S}$

Законы Факсена — это прямые соотношения, которые выражают мультипольные моменты в терминах окружающего потока и его производных. Впервые разработанные Хильдингом Факсеном для расчета силы, и крутящего момента, на сфере, они имеют следующий вид:${\displaystyle \mathbf {F} }$${\displaystyle \mathbf {T} }$

${\displaystyle {\begin{aligned}\mathbf {F} &=6\pi \mu a\left(1+{\frac {a^{2}}{6}}\nabla ^{2}\right)\mathbf {v} ^{\infty }(\mathbf {x} )|_{x=0}-6\pi \mu a\mathbf {U} \\\mathbf {T} &=8\pi \mu a^{3}(\mathbf {\Omega } ^{\infty }(\mathbf {x} )-\mathbf {\omega } )|_{x=0}\end{aligned}}}$

где — динамическая вязкость, — радиус частицы, — окружающий поток, — скорость частицы, — угловая скорость фонового потока, — угловая скорость частицы.${\displaystyle \mu }$${\displaystyle a}$${\displaystyle \mathbf {v} ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbf {U} }$${\displaystyle \mathbf {\Omega } ^{\infty }}$${\displaystyle \mathbf {\omega } }$

Законы Факсена можно обобщить для описания моментов других форм, таких как эллипсоиды, сфероиды и сферические капли. ^[1]

• Окендон, Х. и Окендон Дж. Р. (1995) Вязкое течение , Издательство Кембриджского университета. ISBN 0-521-45881-1 . 

• Видеодемонстрация обратимости течения Стокса во времени от UNM Physics and Astronomy