Малоугловое приближение

Малоугловые приближения можно использовать для приближения значений основных тригонометрических функций , при условии, что рассматриваемый угол мал и измеряется в радианах :

${\displaystyle {\begin{align}\sin \theta &\approx \theta \\\cos \theta &\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}\approx 1\\\tan \theta &\approx \theta \end{align}}}$

Эти приближения имеют широкий спектр применения в областях физики и техники , включая механику , электромагнетизм , оптику , картографию , астрономию и информатику . ^{[1] [2]} Одной из причин этого является то, что они могут значительно упростить дифференциальные уравнения , которые не требуют решения с абсолютной точностью.

Существует несколько способов продемонстрировать справедливость приближений малых углов. Наиболее прямой метод — усечение ряда Маклорена для каждой из тригонометрических функций. В зависимости от порядка приближения , приближается как или как . ^[3]${\displaystyle \textstyle \cos \theta}$${\displaystyle 1}$${\textstyle 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$

Точность приближений можно увидеть ниже на рисунках 1 и 2. По мере того, как мера угла приближается к нулю, разница между приближением и исходной функцией также приближается к 0.

• 
  Рисунок 1. Сравнение основных нечетных тригонометрических функций с θ . Видно, что по мере приближения угла к 0 приближения становятся лучше.
• 
  Рисунок 2. Сравнение cos θ с 1 − ⁠θ ²/2⁠ . Видно, что по мере приближения угла к 0 приближение улучшается.

Красный участок справа, d , представляет собой разницу между длинами гипотенузы H и прилегающей стороны A. Как показано, H и A имеют почти одинаковую длину, что означает, что cos θ близок к 1 и ⁠θ ²/2⁠ помогает убрать красноту.$${\displaystyle \cos {\theta }\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$$

Противоположный катет, O , приблизительно равен длине синей дуги, s . Собирая факты из геометрии, s = Aθ , из тригонометрии, sin θ = ⁠О/ЧАС⁠ и тангенс θ = ⁠О/А⁠ , и из рисунка следует, что O ≈ s и H ≈ A приводит к:$${\displaystyle \sin \theta ={\frac {O}{H}}\approx {\frac {O}{A}}=\tan \theta ={\frac {O}{A}}\approx {\frac {s}{A}}={\frac {A\theta }{A}}=\theta .}$$

Упрощение листьев,$${\displaystyle \sin \theta \approx \tan \theta \approx \theta .}$$

Используя теорему о сжатии ^[4], можно доказать, что является формальным переформулированием приближения для малых значений θ .$${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\sin(\theta )}{\theta }}=1,}$$${\displaystyle \sin(\theta )\approx \theta }$

Более тщательное применение теоремы о сжатии доказывает, что из этого следует, что при малых значениях θ .$${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\tan(\theta )}{\theta }}=1,}$$${\displaystyle \tan(\theta )\approx \theta }$

Наконец, правило Лопиталя говорит нам, что что перестраивается в для малых значений θ . В качестве альтернативы мы можем использовать формулу двойного угла . Позволяя , мы получаем, что .$${\displaystyle \lim _{\theta \to 0}{\frac {\cos(\theta )-1}{\theta ^{2}}}=\lim _{\theta \to 0}{\frac {-\sin(\theta )}{2\theta }}=-{\frac {1}{2}},}$$${\textstyle \cos(\theta )\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$ ${\displaystyle \cos 2A\equiv 1-2\sin ^{2}A}$${\displaystyle \тета =2A}$${\textstyle \cos \theta =1-2\sin ^{2}{\frac {\theta }{2}}\approx 1-{\frac {\theta ^{2}}{2}}}$

Разложение Маклорена (разложение Тейлора около 0) соответствующей тригонометрической функции равно ^[5], где θ — угол в радианах. В более понятных терминах, $${\displaystyle {\begin{align}\sin \theta &=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{n}}{(2n+1)!}}\theta ^{2n+1}\\&=\theta -{\frac {\theta ^{3}}{3!}}+{\frac {\theta ^{5}}{5!}}-{\frac {\theta ^{7}}{7!}}+\cdots \end{align}}}$$$${\displaystyle \sin \theta =\theta -{\frac {\theta ^{3}}{6}}+{\frac {\theta ^{5}}{120}}-{\frac {\theta ^{7}}{5040}}+\cdots }$$

Легко видеть, что второй по значимости (третий порядок) член уменьшается как куб первого члена; таким образом, даже для не столь малого аргумента, такого как 0,01, значение второго по значимости члена имеет порядок0,000 001 , или ⁠1/10 000⁠ первый член. Таким образом, можно безопасно аппроксимировать: $${\displaystyle \sin \theta \approx \theta }$$

В более широком смысле, поскольку косинус малого угла очень близок к 1, а тангенс равен синусу, деленному на косинус, $${\displaystyle \tan \theta \approx \sin \theta \approx \theta ,}$$

Можно также использовать двойные числа , определяемые как числа в форме , с и удовлетворяющие по определению и . Используя ряд Маклорена косинуса и синуса, можно показать, что и . Более того, несложно доказать, что тождество Пифагора выполняется:${\displaystyle a+b\varepsilon }$${\displaystyle a,b\in \mathbb {R} }$${\displaystyle \varepsilon}$${\displaystyle \varepsilon^{2}=0}$${\displaystyle \varepsilon \neq 0}$${\displaystyle \cos(\theta \varepsilon)=1}$${\displaystyle \sin(\theta \varepsilon) =\theta \varepsilon }$$${\displaystyle \sin ^{2}(\theta \varepsilon)+\cos ^{2}(\theta \varepsilon)=(\theta \varepsilon )^{2}+1^{2}=\theta ^{ 2}\varepsilon ^{2}+1=\theta ^{2}\cdot 0+1=1}$$

Рисунок 3 показывает относительные погрешности приближений малых углов. Углы, при которых относительная погрешность превышает 1%, следующие:

• cos θ ≈ 1 при примерно 0,1408 радиан (8,07°)
• tan θ ≈ θ при примерно 0,1730 радиан (9,91°)
• sin θ ≈ θ при примерно 0,2441 радиан (13,99°)
• соз θ ≈ 1 − ⁠θ ²/2⁠ примерно 0,6620 радиан (37,93°)

Теоремы сложения и вычитания углов сводятся к следующему, когда один из углов мал ( β ≈ 0):

cos( α + β )	≈ cos( α ) − β sin( α ),
cos( α − β )	≈ cos( α ) + β sin( α ),
sin( α + β )	≈ sin( α ) + β cos( α ),
sin( α − β )	≈ грех( α ) − β потому что ( α ).

В астрономии угловой размер или угол, образуемый изображением удаленного объекта, часто составляет всего несколько угловых секунд (обозначается символом ″), поэтому он хорошо подходит для приближения малых углов. ^[6] Линейный размер ( D ) связан с угловым размером ( X ) и расстоянием от наблюдателя ( d ) простой формулой:

${\displaystyle D=X{\frac {d}{206\,265{''}}}}$

где X измеряется в угловых секундах.

Количество206 265 ″ приблизительно равно числу угловых секунд в окружности (1 296 000 ″ ), деленное на 2π , или количество угловых секунд в 1 радиане.

Точная формула:

${\displaystyle D=d\tan \left(X{\frac {2\pi }{1\,296\,000{''}}}\right)}$

и приведенное выше приближение получается, когда tan X заменяется на X.

Косинусное приближение второго порядка особенно полезно при вычислении потенциальной энергии маятника , которую затем можно применить с лагранжианом для нахождения косвенного (энергетического) уравнения движения.

При вычислении периода простого маятника используется приближение малых углов для синуса, что позволяет легко решить полученное дифференциальное уравнение по сравнению с дифференциальным уравнением, описывающим простое гармоническое движение .

В оптике малоугловые приближения составляют основу параксиального приближения .

Малоугловые приближения синуса и тангенса используются в отношении эксперимента с двумя щелями или дифракционной решеткой для разработки упрощенных уравнений, подобных следующим, где y — расстояние полосы от центра максимальной интенсивности света, m — порядок полосы, D — расстояние между щелями и проекционным экраном, а d — расстояние между щелями: ^[7]$${\displaystyle y\approx {\frac {m\lambda D}{d}}}$$

Малоугловое приближение также используется в строительной механике, особенно в анализах устойчивости и бифуркации (в основном, аксиально нагруженных колонн, готовых к потере устойчивости ). Это приводит к значительным упрощениям, хотя и за счет точности и понимания истинного поведения.

Правило 1 из 60, используемое в аэронавигации, основано на приближении малых углов, а также на том факте, что один радиан равен приблизительно 60 градусам.

Формулы сложения и вычитания с малым углом можно использовать для интерполяции между значениями тригонометрической таблицы :

Пример: sin(0.755) , где значения sin(0.75) и cos(0.75) получены из тригонометрической таблицы. Результат имеет точность до четырех указанных цифр.$${\displaystyle {\begin{align}\sin(0,755)&=\sin(0,75+0,005)\\&\approx \sin(0,75)+(0,005)\cos(0,75)\\&\approx (0,6816)+(0,005)(0,7317)\\&\approx 0,6853.\end{align}}}$$

• Узкий треугольник
• Малые колебания маятника
• Версин и гаверсин
• Экссекант и экскосекант