Лерх трансцендентный

В математике трансцендент Лерха — это специальная функция , обобщающая дзета-функцию Гурвица и полилогарифм . Она названа в честь чешского математика Матиаса Лерха , который опубликовал статью о подобной функции в 1887 году. ^[1] Трансцендент Лерха определяется по формуле:

${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}}$.

Он сходится только для любого действительного числа , где , или , и . ^[2]${\displaystyle \alpha >0}$${\displaystyle |z|<1}$${\displaystyle {\mathfrak {R}}(s)>1}$${\displaystyle |z|=1}$

Трансцендент Лерха связан с различными специальными функциями и обобщает их.

Дзета- функция Лерха определяется по формуле:

${\displaystyle L(\lambda ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {e^{2\pi i\lambda n}}{(n+\alpha )^{s}}}=\Phi (e^{2\pi i\lambda },s,\alpha )}$

Дзета- функция Гурвица является частным случаем ^[3]

${\displaystyle \zeta (s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {1}{(n+\alpha )^{s}}}=\Phi (1,s,\alpha )}$

Полилогарифм — еще один частный случай: ^[3]

${\displaystyle {\textrm {Li}}_{s}(z)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {z^{n}}{n^{s}}}=z\Phi (z,s,1)}$

Дзета -функция Римана является частным случаем обеих вышеупомянутых функций: ^[3]

${\displaystyle \zeta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {1}{n^{s}}}=\Phi (1,s,1)}$

Функция Дирихле эта : ^[3]

${\displaystyle \eta (s)=\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {(-1)^{n-1}}{n^{s}}}=\Phi (-1,s,1)}$

Бета-функция Дирихле : [ ^3]

${\displaystyle \beta (s)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}}{(2k+1)^{s}}}=2^{-s}\Phi (-1,s,{\tfrac {1}{2}})}$

Функция Лежандра хи : ^[3]

${\displaystyle \chi _{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{s}}}={\frac {z}{2^{s}}}\Phi (z^{2},s,{\tfrac {1}{2}})}$

Обратный тангенс интеграла : ^[4]

${\displaystyle {\textrm {Ti}}_{s}(z)=\sum _{k=0}^{\infty }{\frac {(-1)^{k}z^{2k+1}}{(2k+1)^{s}}}={\frac {z}{2^{s}}}\Phi (-z^{2},s,{\tfrac {1}{2}})}$

Полигамма -функции для положительных целых чисел n : ^{[5] [6]}

${\displaystyle \psi ^{(n)}(\alpha )=(-1)^{n+1}n!\Phi (1,n+1,\alpha )}$

Функция Клаузена : ^[7]

${\displaystyle {\text{Cl}}_{2}(z)={\frac {ie^{-iz}}{2}}\Phi (e^{-iz},2,1)-{\frac {ie^{iz}}{2}}\Phi (e^{iz},2,1)}$

Трансцендент Лерха имеет интегральное представление:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}$

Доказательство основано на использовании интегрального определения гамма-функции, которое записывается следующим образом:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)\Gamma (s)=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {z^{n}}{(n+a)^{s}}}\int _{0}^{\infty }x^{s}e^{-x}{\frac {dx}{x}}=\sum _{n=0}^{\infty }\int _{0}^{\infty }t^{s}z^{n}e^{-(n+a)t}{\frac {dt}{t}}}$

и затем меняем местами сумму и интеграл. Полученное интегральное представление сходится при Re( s ) > 0 и Re( a ) > 0. Это аналитически продолжается до z за пределами единичного круга. Интегральная формула также верна, если z = 1, Re( s ) > 1 и Re( a ) > 0; см. дзета-функция Гурвица . ^{[8] [9]}${\displaystyle z\in \mathbb {C} \setminus [1,\infty ),}$ ${\displaystyle \Phi (z,s,a)}$

Контурное интегральное представление имеет вид

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=-{\frac {\Gamma (1-s)}{2\pi i}}\int _{C}{\frac {(-t)^{s-1}e^{-at}}{1-ze^{-t}}}\,dt}$

где C — контур Ганкеля против часовой стрелки вокруг положительной действительной оси, не охватывающий ни одной из точек (для целого числа k ), которые являются полюсами подынтегральной функции. Интеграл предполагает Re( a ) > 0. ^[10]${\displaystyle t=\log(z)+2k\pi i}$

Интегральное представление типа Эрмита имеет вид

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {z^{t}}{(a+t)^{s}}}\,dt+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}$

для

${\displaystyle \Re (a)>0\wedge |z|<1}$

и

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {\log ^{s-1}(1/z)}{z^{a}}}\Gamma (1-s,a\log(1/z))+{\frac {2}{a^{s-1}}}\int _{0}^{\infty }{\frac {\sin(s\arctan(t)-ta\log(z))}{(1+t^{2})^{s/2}(e^{2\pi at}-1)}}\,dt}$

для

${\displaystyle \Re (a)>0.}$

Подобные представления включают в себя

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t\log z)\sin {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}-\sin(t\log z)\cos {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}}{{\big (}a^{2}+t^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}\tanh \pi t}}\,dt,}$

и

${\displaystyle \Phi (-z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+\int _{0}^{\infty }{\frac {\cos(t\log z)\sin {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}-\sin(t\log z)\cos {\Big (}s\arctan {\tfrac {t}{a}}{\Big )}}{{\big (}a^{2}+t^{2}{\big )}^{\frac {s}{2}}\sinh \pi t}}\,dt,}$

справедливо для положительных z (и, в более общем смысле, везде, где интегралы сходятся). Более того,

${\displaystyle \Phi (e^{i\varphi },s,a)=L{\big (}{\tfrac {\varphi }{2\pi }},s,a{\big )}={\frac {1}{a^{s}}}+{\frac {1}{2\Gamma (s)}}\int _{0}^{\infty }{\frac {t^{s-1}e^{-at}{\big (}e^{i\varphi }-e^{-t}{\big )}}{\cosh {t}-\cos {\varphi }}}\,dt,}$

Последняя формула также известна как формула Липшица .

Для λ rational слагаемое является корнем единицы и, таким образом, может быть выражено как конечная сумма по дзета-функции Гурвица. Предположим, что и . Тогда и .${\displaystyle L(\lambda ,s,\alpha )}$${\textstyle \lambda ={\frac {p}{q}}}$${\displaystyle p,q\in \mathbb {Z} }$${\displaystyle q>0}$${\displaystyle z=\omega =e^{2\pi i{\frac {p}{q}}}}$${\displaystyle \omega ^{q}=1}$

${\displaystyle \Phi (\omega ,s,\alpha )=\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{n}}{(n+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\sum _{n=0}^{\infty }{\frac {\omega ^{qn+m}}{(qn+m+\alpha )^{s}}}=\sum _{m=0}^{q-1}\omega ^{m}q^{-s}\zeta \left(s,{\frac {m+\alpha }{q}}\right)}$

Различные идентичности включают в себя:

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{n}\Phi (z,s,a+n)+\sum _{k=0}^{n-1}{\frac {z^{k}}{(k+a)^{s}}}}$

и

${\displaystyle \Phi (z,s-1,a)=\left(a+z{\frac {\partial }{\partial z}}\right)\Phi (z,s,a)}$

и

${\displaystyle \Phi (z,s+1,a)=-{\frac {1}{s}}{\frac {\partial }{\partial a}}\Phi (z,s,a).}$

Представление ряда для трансцендента Лерха имеет вид

${\displaystyle \Phi (z,s,q)={\frac {1}{1-z}}\sum _{n=0}^{\infty }\left({\frac {-z}{1-z}}\right)^{n}\sum _{k=0}^{n}(-1)^{k}{\binom {n}{k}}(q+k)^{-s}.}$

(Обратите внимание, что это биномиальный коэффициент .)${\displaystyle {\tbinom {n}{k}}}$

Ряд действителен для всех s и для комплексного z с Re( z )<1/2. Обратите внимание на общее сходство с аналогичным представлением ряда для дзета-функции Гурвица. ^[11]

Ряд Тейлора по первому параметру был дан Артуром Эрдейи . Его можно записать в виде следующего ряда, который справедлив для ^[12]

${\displaystyle \left|\log(z)\right|<2\pi ;s\neq 1,2,3,\dots ;a\neq 0,-1,-2,\dots }$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\left[\Gamma (1-s)\left(-\log(z)\right)^{s-1}+\sum _{k=0}^{\infty }\zeta (s-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}\right]}$

Если n — положительное целое число, то

${\displaystyle \Phi (z,n,a)=z^{-a}\left\{\sum _{{k=0} \atop k\neq n-1}^{\infty }\zeta (n-k,a){\frac {\log ^{k}(z)}{k!}}+\left[\psi (n)-\psi (a)-\log(-\log(z))\right]{\frac {\log ^{n-1}(z)}{(n-1)!}}\right\},}$

где - дигамма-функция .${\displaystyle \psi (n)}$

Ряд Тейлора по третьей переменной задается выражением

${\displaystyle \Phi (z,s,a+x)=\sum _{k=0}^{\infty }\Phi (z,s+k,a)(s)_{k}{\frac {(-x)^{k}}{k!}};|x|<\Re (a),}$

где находится символ Поххаммера .${\displaystyle (s)_{k}}$

Ряд при a = − n задается выражением

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=\sum _{k=0}^{n}{\frac {z^{k}}{(a+k)^{s}}}+z^{n}\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {(a+n)^{m}}{m!}};\ a\rightarrow -n}$

Частный случай при n = 0 имеет следующий ряд

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{m=0}^{\infty }(1-m-s)_{m}\operatorname {Li} _{s+m}(z){\frac {a^{m}}{m!}};|a|<1,}$

где полилогарифм .​${\displaystyle \operatorname {Li} _{s}(z)}$

Асимптотический ряд для${\displaystyle s\rightarrow -\infty }$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }[2k\pi i-\log(z)]^{s-1}e^{2k\pi ai}}$

для и${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0;z\notin (-\infty ,0)}$

${\displaystyle \Phi (-z,s,a)=z^{-a}\Gamma (1-s)\sum _{k=-\infty }^{\infty }[(2k+1)\pi i-\log(z)]^{s-1}e^{(2k+1)\pi ai}}$

для${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0;z\notin (0,\infty ).}$

Асимптотический ряд в неполной гамма-функции

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{2a^{s}}}+{\frac {1}{z^{a}}}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{-2\pi i(k-1)a}\Gamma (1-s,a(-2\pi i(k-1)-\log(z)))}{(-2\pi i(k-1)-\log(z))^{1-s}}}+{\frac {e^{2\pi ika}\Gamma (1-s,a(2\pi ik-\log(z)))}{(2\pi ik-\log(z))^{1-s}}}}$

для${\displaystyle |a|<1;\Re (s)<0.}$

Представление в виде обобщенной гипергеометрической функции имеет вид ^[13]

${\displaystyle \Phi (z,s,\alpha )={\frac {1}{\alpha ^{s}}}{}_{s+1}F_{s}\left({\begin{array}{c}1,\alpha ,\alpha ,\alpha ,\cdots \\1+\alpha ,1+\alpha ,1+\alpha ,\cdots \\\end{array}}\mid z\right).}$

Функция полилогарифма определяется как${\displaystyle \mathrm {Li} _{n}(z)}$

${\displaystyle \mathrm {Li} _{0}(z)={\frac {z}{1-z}},\qquad \mathrm {Li} _{-n}(z)=z{\frac {d}{dz}}\mathrm {Li} _{1-n}(z).}$

Позволять

${\displaystyle \Omega _{a}\equiv {\begin{cases}\mathbb {C} \setminus [1,\infty )&{\text{if }}\Re a>0,\\{z\in \mathbb {C} ,|z|<1}&{\text{if }}\Re a\leq 0.\end{cases}}}$

Для и асимптотическое разложение для больших и фиксированных и имеет вид${\displaystyle |\mathrm {Arg} (a)|<\pi ,s\in \mathbb {C} }$${\displaystyle z\in \Omega _{a}}$${\displaystyle \Phi (z,s,a)}$${\displaystyle a}$${\displaystyle s}$${\displaystyle z}$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)={\frac {1}{1-z}}{\frac {1}{a^{s}}}+\sum _{n=1}^{N-1}{\frac {(-1)^{n}\mathrm {Li} _{-n}(z)}{n!}}{\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O(a^{-N-s})}$

для , где — символ Похгаммера . ^[14]${\displaystyle N\in \mathbb {N} }$${\displaystyle (s)_{n}=s(s+1)\cdots (s+n-1)}$

Позволять

${\displaystyle f(z,x,a)\equiv {\frac {1-(ze^{-x})^{1-a}}{1-ze^{-x}}}.}$

Пусть будут его коэффициентами Тейлора при . Тогда для фиксированных и ,${\displaystyle C_{n}(z,a)}$${\displaystyle x=0}$${\displaystyle N\in \mathbb {N} ,\Re a>1}$${\displaystyle \Re s>0}$

${\displaystyle \Phi (z,s,a)-{\frac {\mathrm {Li} _{s}(z)}{z^{a}}}=\sum _{n=0}^{N-1}C_{n}(z,a){\frac {(s)_{n}}{a^{n+s}}}+O\left((\Re a)^{1-N-s}+az^{-\Re a}\right),}$

как . ^[15]${\displaystyle \Re a\to \infty }$

Трансцендент Лерха реализован как LerchPhi в Maple и Mathematica и как lerchphi в mpmath и SymPy.

• Апостол, ТМ (2010), «Трансцендент Лерча», в Олвер, Фрэнк У. Дж .; Лозье, Дэниел М.; Бойсверт, Рональд Ф.; Кларк, Чарльз У. (ред.), Справочник по математическим функциям NIST , Издательство Кембриджского университета, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248..
• Бейтман, Х.; Эрдейи , А. (1953), Высшие трансцендентные функции, т. I (PDF) , Нью-Йорк: McGraw-Hill. (См. § 1.11, «Функция Ψ( z , s , v )», стр. 27)
• Градштейн Израиль Соломонович ; Рыжик Иосиф Моисеевич ; Героним Юрий Вениаминович ; Цейтлин Михаил Юльевич ; Джеффри, Алан (2015) [октябрь 2014 г.]. «9.55.». В Цвиллингере, Дэниел; Молл, Виктор Гюго (ред.). Таблица интегралов, рядов и произведений . Перевод Scripta Technica, Inc. (8-е изд.). Академическая пресса. ISBN 978-0-12-384933-5. LCCN  2014010276.
• Guillera, Jesus; Sondow, Jonathan (2008), «Двойные интегралы и бесконечные произведения для некоторых классических констант с помощью аналитических продолжений трансцендент Лерха», The Ramanujan Journal , 16 (3): 247–270 , arXiv : math.NT/0506319 , doi :10.1007/s11139-007-9102-0, MR  2429900, S2CID  119131640. (Включает в себя различные основные идентичности во введении.)
• Джексон, М. (1950), «О трансценденте Лерха и основном двустороннем гипергеометрическом ряде ₂ ψ ₂ », J. London Math. Soc. , 25 (3): 189– 196, doi :10.1112/jlms/s1-25.3.189, MR  0036882.
• Йоханссон, Ф.; Благушин, Я. (2019), «Вычисление констант Стилтьеса с использованием комплексного интегрирования», Математика вычислений , 88 (318): 1829– 1850, arXiv : 1804.01679 , doi : 10.1090/mcom/3401, MR  3925487, S2CID  4619883.
• Лауринчикас, Антанас; Гарункштис, Рамунас (2002), Дзета-функция Лерха , Дордрехт: Kluwer Academic Publishers, ISBN 978-1-4020-1014-9, МР  1979048.

• Аксенов Сергей В.; Йентшура, Ульрих Д. (2002), Программы C и Mathematica для расчета трансцендента Лерха.
• Рамунас Гарункстис, Домашняя страница (2005) (Содержит многочисленные ссылки и препринты.)
• Гарункстис, Рамунас (2004). "Аппроксимация дзета-функции Лерха" (PDF) . Литовский математический журнал . 44 (2): 140– 144. doi :10.1023/B:LIMA.0000033779.41365.a5. S2CID  123059665.
• Канемицу, С.; Танигава, Ю.; Цукада, Х. (2015). «Обобщение формулы Бохнера». Канемицу, С.; Танигава, И.; Цукада , Х. (2004). «Обобщение формулы Бохнера». Hardy-Ramanujan Journal . 27. doi : 10.46298/hrj.2004.150 .
• Вайсштейн, Эрик В. «Трансцендентный Лерх». Математический мир .
• Olver, Frank WJ ; Lozier, Daniel M.; Boisvert, Ronald F.; Clark, Charles W., ред. (2010), «Трансцендент Лерча», Справочник по математическим функциям NIST , Cambridge University Press, ISBN 978-0-521-19225-5, г-н  2723248.