Функция Клаузена

В математике функция Клаузена , введенная Томасом Клаузеном  (1832), является трансцендентной , специальной функцией одной переменной. Она может быть выражена в виде определенного интеграла , тригонометрического ряда и различных других форм. Она тесно связана с полилогарифмом , интегралом арктангенса , полигамма-функцией , дзета-функцией Римана , эта-функцией Дирихле и бета-функцией Дирихле .

Функция Клаузена 2-го порядка — часто называемая функцией Клаузена, несмотря на то, что она является всего лишь одной из многих функций — задается интегралом:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=-\int _{0}^{\varphi }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx:}$

В диапазоне функция синуса внутри знака абсолютной величины остается строго положительной, поэтому знаки абсолютной величины можно опустить. Функция Клаузена также имеет представление в виде ряда Фурье :${\displaystyle 0<\varphi <2\pi \,}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\varphi )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\varphi }{k^{2}}}=\ sin \varphi +{\frac {\sin 2\varphi }{2^{2}}}+{\frac {\sin 3\varphi }{3^{2}}}+{\frac {\sin 4\ varphi {4^{2}}}+\cdots }$

Функции Клаузена, как класс функций, широко представлены во многих областях современных математических исследований, особенно в связи с оценкой многих классов логарифмических и полилогарифмических интегралов, как определенных, так и неопределенных. Они также имеют многочисленные приложения в отношении суммирования гипергеометрических рядов , суммирования, включающего обратный центральный биномиальный коэффициент , суммы полигамма-функции и ряды Дирихле L.

Функция Клаузена (порядка 2) имеет простые нули при всех (целых) кратных, поскольку если — целое число, то${\displaystyle \пи ,\,}$${\displaystyle k\in \mathbb {Z} \,}$${\displaystyle \sin k\пи =0}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(m\pi )=0,\quad m=0,\,\pm 1,\,\pm 2,\,\pm 3,\,\cdots }$

Имеет максимумы при${\displaystyle \theta ={\frac {\pi }{3}}+2m\pi \quad [m\in \mathbb {Z} ]}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}+2m\pi \right)=1,01494160\ldots }$

и минимумы при${\displaystyle \theta =-{\frac {\pi }{3}}+2m\pi \quad [m\in \mathbb {Z} ]}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left(-{\frac {\pi }{3}}+2m\pi \right)=-1,01494160\ldots }$

Следующие свойства являются непосредственными следствиями определения ряда:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta +2m\pi )=\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(-\theta )=-\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}$

См. Лу и Перес (1992).

В более общем смысле можно определить две обобщенные функции Клаузена:

${\displaystyle \operatorname {S} _{z}(\theta)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{z}}}}$

${\displaystyle \operatorname {C} _{z}(\theta)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{z}}}}$

которые справедливы для комплексного z с Re z > 1. Определение может быть распространено на всю комплексную плоскость посредством аналитического продолжения .

Если z заменить на неотрицательное целое число, стандартные функции Клаузена определяются следующим рядом Фурье :

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+2}}}}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}}$

Примечание. Функции Клаузена типа SL имеют альтернативную нотацию и иногда называются функциями Глейшера–Клаузена (в честь Джеймса Уитбреда Ли Глейшера , отсюда и GL-нотация).${\displaystyle \operatorname {Gl} _{m}(\theta )\,}$

Функция Клаузена типа SL является полиномом от и тесно связана с полиномами Бернулли . Эта связь очевидна из представлений рядов Фурье полиномов Бернулли:${\displaystyle \,\тета \,}$

${\displaystyle B_{2n-1}(x)={\frac {2(-1)^{n}(2n-1)!}{(2\pi)^{2n-1}}}\,\ sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin 2\pi kx}{k^{2n-1}}}.}$

${\displaystyle B_{2n}(x)={\frac {2(-1)^{n-1}(2n)!}{(2\pi )^{2n}}}\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos 2\pi kx}{k^{2n}}}.}$

Подставив вышеприведенные выражения и переставив члены, получим следующие замкнутые (полиномиальные) выражения:${\displaystyle \,x=\тета /2\пи \,}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m}(\theta )={\frac {(-1)^{m-1}(2\pi )^{2m}}{2(2m)!}}B_{2m}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right),}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2m-1}(\theta )={\frac {(-1)^{m}(2\pi )^{2m-1}}{2(2m-1)!}}B_{2m-1}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right),}$

где полиномы Бернулли определяются через числа Бернулли соотношением:${\displaystyle \,B_{n}(x)\,}$ ${\displaystyle \,B_{n}\equiv B_{n}(0)\,}$

${\displaystyle B_{n}(x)=\sum _{j=0}^{n}{\binom {n}{j}}B_{j}x^{n-j}.}$

Явные оценки, полученные из вышеизложенного, включают:

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{1}(\theta )={\frac {\pi }{2}}-{\frac {\theta }{2}},}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{2}(\theta )={\frac {\pi ^{2}}{6}}-{\frac {\pi \theta }{2}}+{\frac {\theta ^{2}}{4}},}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{3}(\theta )={\frac {\pi ^{2}\theta }{6}}-{\frac {\pi \theta ^{2}}{4}}+{\frac {\theta ^{3}}{12}},}$

${\displaystyle \operatorname {Sl} _{4}(\theta )={\frac {\pi ^{4}}{90}}-{\frac {\pi ^{2}\theta ^{2}}{12}}+{\frac {\pi \theta ^{3}}{12}}-{\frac {\theta ^{4}}{48}}.}$

Для формула удвоения может быть доказана непосредственно из определения интеграла (см. также Lu & Perez (1992) для получения результата – хотя доказательство не приведено):${\displaystyle 0<\theta <\pi }$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )}$

Обозначая константу Каталана через , непосредственные следствия формулы удвоения включают соотношения:${\displaystyle K=\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)-\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)={\frac {K}{2}}}$

${\displaystyle 2\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=3\operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)}$

Для функций Клаузена более высокого порядка формулы удвоения можно получить из приведенной выше; просто замените ее фиктивной переменной и проинтегрируйте по интервалу. Повторное применение того же процесса дает:${\displaystyle \,\theta \,}$ ${\displaystyle x}$${\displaystyle \,[0,\theta ].\,}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{3}(2\theta )=4\operatorname {Cl} _{3}(\theta )+4\operatorname {Cl} _{3}(\pi -\theta )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{4}(2\theta )=8\operatorname {Cl} _{4}(\theta )-8\operatorname {Cl} _{4}(\pi -\theta )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{5}(2\theta )=16\operatorname {Cl} _{5}(\theta )+16\operatorname {Cl} _{5}(\pi -\theta )}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{6}(2\theta )=32\operatorname {Cl} _{6}(\theta )-32\operatorname {Cl} _{6}(\pi -\theta )}$

И в более общем плане, при введении в должность${\displaystyle \,m,\;m\geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{m+1}(2\theta )=2^{m}\left[\operatorname {Cl} _{m+1}(\theta )+(-1)^{m}\operatorname {Cl} _{m+1}(\pi -\theta )\right]}$

Использование обобщенной формулы удвоения позволяет расширить результат для функции Клаузена 2-го порядка, включив в него константу Каталана . Для${\displaystyle \,m\in \mathbb {Z} \geq 1\,}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=2^{2m-1}\left[\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{4}}\right)-\operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)\right]=\beta (2m)}$

Где находится бета-функция Дирихле .${\displaystyle \,\beta (x)\,}$

Из интегрального определения,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=-\int _{0}^{2\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx}$

Применим формулу удвоения для синусоидальной функции , чтобы получить${\displaystyle \sin x=2\sin {\frac {x}{2}}\cos {\frac {x}{2}}}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&-\int _{0}^{2\theta }\log \left|\left(2\sin {\frac {x}{4}}\right)\left(2\cos {\frac {x}{4}}\right)\right|\,dx\\={}&-\int _{0}^{2\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{4}}\right|\,dx-\int _{0}^{2\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{4}}\right|\,dx\end{aligned}}}$

Применим замену к обоим интегралам:${\displaystyle x=2y,dx=2\,dy}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{2}}\right|\,dx\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{2}}\right|\,dx\end{aligned}}}$

В этом последнем интеграле положим и используем тригонометрическое тождество, чтобы показать, что:${\displaystyle y=\pi -x,\,x=\pi -y,\,dx=-dy}$${\displaystyle \cos(x-y)=\cos x\cos y-\sin x\sin y}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\cos \left({\frac {\pi -y}{2}}\right)=\sin {\frac {y}{2}}\\\Longrightarrow \qquad &\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\int _{0}^{\theta }\log \left|2\cos {\frac {x}{2}}\right|\,dx\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )+2\int _{\pi }^{\pi -\theta }\log \left|2\sin {\frac {y}{2}}\right|\,dy\\={}&2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )+2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi )\end{aligned}}}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\pi )=0\,}$

Поэтому,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\theta )=2\,\operatorname {Cl} _{2}(\theta )-2\,\operatorname {Cl} _{2}(\pi -\theta )\,.\,\Box }$

Прямое дифференцирование разложений в ряд Фурье для функций Клаузена дает:

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+2}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}=\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m}}}=-\operatorname {Cl} _{2m}(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Sl} _{2m+2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+2}}}=-\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=-\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )}$

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m}}}=\operatorname {Sl} _{2m}(\theta )}$

Обращаясь к первой основной теореме исчисления , мы также имеем:

${\displaystyle {\frac {d}{d\theta }}\operatorname {Cl} _{2}(\theta )={\frac {d}{d\theta }}\left[-\int _{0}^{\theta }\log \left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx\,\right]=-\log \left|2\sin {\frac {\theta }{2}}\right|=\operatorname {Cl} _{1}(\theta )}$

Обратный тангенс интеграла определяется на интервале как${\displaystyle 0<z<1}$

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(z)=\int _{0}^{z}{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx=\sum _{k=0}^{\infty }(-1)^{k}{\frac {z^{2k+1}}{(2k+1)^{2}}}}$

В терминах функции Клаузена она имеет следующую замкнутую форму:

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\theta \log(\tan \theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )}$

Из интегрального определения арктангенса имеем

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx}$

Выполнение интегрирования по частям

${\displaystyle \int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\tan ^{-1}x}{x}}\,dx=\tan ^{-1}x\log x\,{\Bigg |}_{0}^{\tan \theta }-\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\log x}{1+x^{2}}}\,dx=}$

${\displaystyle \theta \log \tan \theta -\int _{0}^{\tan \theta }{\frac {\log x}{1+x^{2}}}\,dx}$

Примените замену, чтобы получить${\displaystyle x=\tan y,\,y=\tan ^{-1}x,\,dy={\frac {dx}{1+x^{2}}}\,}$

${\displaystyle \theta \log \tan \theta -\int _{0}^{\theta }\log(\tan y)\,dy}$

Для этого последнего интеграла применим преобразование: чтобы получить${\displaystyle y=x/2,\,dy=dx/2\,}$

${\displaystyle {\begin{aligned}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(\tan {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left({\frac {\sin(x/2)}{\cos(x/2)}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left({\frac {2\sin(x/2)}{2\cos(x/2)}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta -{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\sin {\frac {x}{2}}\right)\,dx+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx\\[6pt]={}&\theta \log \tan \theta +{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx.\end{aligned}}}$

Наконец, как и при доказательстве формулы удвоения, подстановка сводит последний интеграл к${\displaystyle x=(\pi -y)\,}$

${\displaystyle \int _{0}^{2\theta }\log \left(2\cos {\frac {x}{2}}\right)\,dx=\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )-\operatorname {Cl} _{2}(\pi )=\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )}$

Таким образом

${\displaystyle \operatorname {Ti} _{2}(\tan \theta )=\theta \log \tan \theta +{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )+{\frac {1}{2}}\operatorname {Cl} _{2}(\pi -2\theta )\,.\,\Box }$

Для действительных чисел функция Клаузена второго порядка может быть выражена через G-функцию Барнса и гамма-функцию (Эйлера) :${\displaystyle 0<z<1}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(1+z)}}\right)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)}$

Или эквивалентно

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)}$

См. Адамчик (2003).

Функции Клаузена представляют собой действительную и мнимую части полилогарифма на единичной окружности :

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}(\theta )=\Im (\operatorname {Li} _{2m}(e^{i\theta })),\quad m\in \mathbb {Z} \geq 1}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )=\Re (\operatorname {Li} _{2m+1}(e^{i\theta })),\quad m\in \mathbb {Z} \geq 0}$

Это легко увидеть, обратившись к определению полилогарифма через ряд .

${\displaystyle \operatorname {Li} _{n}(z)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {z^{k}}{k^{n}}}\quad \Longrightarrow \operatorname {Li} _{n}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\left(e^{i\theta }\right)^{k}}{k^{n}}}=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {e^{ik\theta }}{k^{n}}}}$

По теореме Эйлера,

${\displaystyle e^{i\theta }=\cos \theta +i\sin \theta }$

и по теореме Муавра ( формула Муавра )

${\displaystyle (\cos \theta +i\sin \theta )^{k}=\cos k\theta +i\sin k\theta \quad \Rightarrow \operatorname {Li} _{n}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{n}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{n}}}}$

Следовательно

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2m}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m}}}=\operatorname {Sl} _{2m}(\theta )+i\operatorname {Cl} _{2m}(\theta )}$

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2m+1}\left(e^{i\theta }\right)=\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\cos k\theta }{k^{2m+1}}}+i\,\sum _{k=1}^{\infty }{\frac {\sin k\theta }{k^{2m+1}}}=\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )+i\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )}$

Функции Клаузена тесно связаны с функцией полигаммы . Действительно, функции Клаузена можно выразить как линейные комбинации функций синуса и функций полигаммы. Одно из таких соотношений показано здесь и доказано ниже:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)={\frac {1}{(2p)^{2m}(2m-1)!}}\,\sum _{j=1}^{p}\sin \left({\tfrac {qj\pi }{p}}\right)\,\left[\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j}{2p}}\right)+(-1)^{q}\psi _{2m-1}\left({\tfrac {j+p}{2p}}\right)\right].}$

Непосредственным следствием является эта эквивалентная формула в терминах дзета-функции Гурвица:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {q\pi }{p}}\right)={\frac {1}{(2p)^{2m}}}\,\sum _{j=1}^{p}\sin \left({\tfrac {qj\pi }{p}}\right)\,\left[\zeta \left(2m,{\tfrac {j}{2p}}\right)+(-1)^{q}\zeta \left(2m,{\tfrac {j+p}{2p}}\right)\right].}$

Обобщенный логсинусный интеграл определяется как:

${\displaystyle {\mathcal {L}}s_{n}^{m}(\theta )=-\int _{0}^{\theta }x^{m}\log ^{n-m-1}\left|2\sin {\frac {x}{2}}\right|\,dx}$

В этой обобщенной записи функция Клаузена может быть выражена в виде:

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(\theta )={\mathcal {L}}s_{2}^{0}(\theta )}$

Эрнст Куммер и Роджерс дают соотношение

${\displaystyle \operatorname {Li} _{2}(e^{i\theta })=\zeta (2)-\theta (2\pi -\theta )/4+i\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}$

действительно для .${\displaystyle 0\leq \theta \leq 2\pi }$

Функция Лобачевского Λ или Л по сути является той же функцией с заменой переменной:

${\displaystyle \Lambda (\theta )=-\int _{0}^{\theta }\log |2\sin(t)|\,dt=\operatorname {Cl} _{2}(2\theta )/2}$

хотя название «функция Лобачевского» не совсем верно с исторической точки зрения, поскольку в формулах Лобачевского для гиперболического объема использовалась несколько иная функция

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\log |\sec(t)|\,dt=\Lambda (\theta +\pi /2)+\theta \log 2.}$

Для рациональных значений (то есть для некоторых целых чисел p и q ) функцию можно понимать как представление периодической орбиты элемента в циклической группе и, таким образом, ее можно выразить как простую сумму с использованием дзета-функции Гурвица . ^{[ необходима ссылка ]} Это позволяет легко вычислять соотношения между некоторыми L-функциями Дирихле .${\displaystyle \theta /\pi }$${\displaystyle \theta /\pi =p/q}$${\displaystyle \sin(n\theta )}$${\displaystyle \operatorname {Cl} _{s}(\theta )}$

Ускорение ряда для функции Клаузена определяется выражением

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=1-\log |\theta |+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}}$

что справедливо для . Здесь — дзета-функция Римана . Более быстро сходящаяся форма задается выражением${\displaystyle |\theta |<2\pi }$${\displaystyle \zeta (s)}$

${\displaystyle {\frac {\operatorname {Cl} _{2}(\theta )}{\theta }}=3-\log \left[|\theta |\left(1-{\frac {\theta ^{2}}{4\pi ^{2}}}\right)\right]-{\frac {2\pi }{\theta }}\log \left({\frac {2\pi +\theta }{2\pi -\theta }}\right)+\sum _{n=1}^{\infty }{\frac {\zeta (2n)-1}{n(2n+1)}}\left({\frac {\theta }{2\pi }}\right)^{2n}.}$

Сходимости способствует тот факт, что быстро приближается к нулю для больших значений n . Обе формы могут быть получены с помощью типов методов повторного суммирования, используемых для получения рациональных дзета-рядов (Borwein et al. 2000).${\displaystyle \zeta (n)-1}$

Вспомним G-функцию Барнса , постоянную Каталана K и постоянную Гизекинга V. Некоторые специальные значения включают

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=K}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=V}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{3}}\right)=3\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-3\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+\pi \log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {2\pi }{3}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {2}{3}}\right)}{G\left({\frac {1}{3}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{3}}\right)+{\frac {2\pi }{3}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {3}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{8}}\right)}{G\left({\frac {1}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{8}}\right)+{\frac {\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2-{\sqrt {2}}}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {3\pi }{4}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {5}{8}}\right)}{G\left({\frac {3}{8}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {3}{8}}\right)+{\frac {3\pi }{4}}\log \left({\frac {2\pi }{\sqrt {2+{\sqrt {2}}}}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {11}{12}}\right)}{G\left({\frac {1}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {1}{12}}\right)+{\frac {\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}-1}}\right)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}\left({\frac {5\pi }{6}}\right)=2\pi \log \left({\frac {G\left({\frac {7}{12}}\right)}{G\left({\frac {5}{12}}\right)}}\right)-2\pi \log \Gamma \left({\frac {5}{12}}\right)+{\frac {5\pi }{6}}\log \left({\frac {2\pi {\sqrt {2}}}{{\sqrt {3}}+1}}\right)}$

В общем случае, из формулы отражения G-функции Барнса ,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log \left({\frac {\pi }{\sin \pi z}}\right)}$

Эквивалентно, используя формулу отражения Эйлера для гамма-функции, тогда,

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(2\pi z)=2\pi \log \left({\frac {G(1-z)}{G(z)}}\right)-2\pi \log \Gamma (z)+2\pi z\log {\big (}\Gamma (z)\Gamma (1-z){\big )}}$

Некоторые специальные значения для функций Клаузена более высокого порядка включают в себя

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}(0)=\operatorname {Cl} _{2m}(\pi )=\operatorname {Cl} _{2m}(2\pi )=0}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=\beta (2m)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(0)=\operatorname {Cl} _{2m+1}(2\pi )=\zeta (2m+1)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}(\pi )=-\eta (2m+1)=-\left({\frac {2^{2m}-1}{2^{2m}}}\right)\zeta (2m+1)}$

${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2m+1}\left({\frac {\pi }{2}}\right)=-{\frac {1}{2^{2m+1}}}\eta (2m+1)=-\left({\frac {2^{2m}-1}{2^{4m+1}}}\right)\zeta (2m+1)}$

где — бета-функция Дирихле , — эта-функция Дирихле (также называемая знакопеременной дзета-функцией), — дзета-функция Римана .${\displaystyle \beta (x)}$${\displaystyle \eta (x)}$${\displaystyle \zeta (x)}$

Следующие интегралы легко доказываются из рядов представлений функции Клаузена:

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Cl} _{2m}(x)\,dx=\zeta (2m+1)-\operatorname {Cl} _{2m+1}(\theta )}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Cl} _{2m+1}(x)\,dx=\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Sl} _{2m}(x)\,dx=\operatorname {Sl} _{2m+1}(\theta )}$

${\displaystyle \int _{0}^{\theta }\operatorname {Sl} _{2m+1}(x)\,dx=\zeta (2m+2)-\operatorname {Cl} _{2m+2}(\theta )}$

Для нахождения первых моментов квадрата функции на интервале можно использовать методы анализа Фурье : ^[1]${\displaystyle \operatorname {Cl} _{2}(x)}$${\displaystyle [0,\pi ]}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx=\zeta (4),}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }t\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx={\frac {221}{90720}}\pi ^{6}-4\zeta ({\overline {5}},1)-2\zeta ({\overline {4}},2),}$

${\displaystyle \int _{0}^{\pi }t^{2}\operatorname {Cl} _{2}^{2}(x)\,dx=-{\frac {2}{3}}\pi \left[12\zeta ({\overline {5}},1)+6\zeta ({\overline {4}},2)-{\frac {23}{10080}}\pi ^{6}\right].}$